浙江省杭州市余杭区2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题Word版含答案


2015 学年第一学期期末教学质量检测 高二数学试题卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的)

1.在平面直角坐标系中,过(1,0)点且倾率为-1 的直线不.经过

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

? ? 2.已知数列 an 是等差数列,若 a1 ? a9 ? a17 ? 7 ,则 a3 ? a15 ?

A. 7

B.14

C. 21

D. 7(n ?1)

3.圆 (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 的圆心坐标、半径分别是

A.(2,-3)、5

B.(-2, 3)、5

C.(-2, 3)、 5

D.( 3,-2)、 5

4.设 a,b, c ? R ,且 a ? b ,则

A. ac ? bc

B. 1 ? 1 ab

C. a2 ? b2

D. a3 ? b3

5.无论 m 取何实数,直线 l : mx ? y ?1? 2m ? 0 恒过一定点,则该定点坐标为

A. ?? 2,1?

B. ?? 2,?1?

C. ?2,1?

6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别 为 AA1,AB,BB1,B1C1 的中点, 则异面直线 EF 与 GH

D. ?2,?1?
D1
A1

所成的角等于 A.45°

B.60°

E

C.90° D.120°

D

C1 H B1
G C

7.已知点

A

(2,3)、B

(-5,2),若直线

l

过点

P

A
(-1,6),且与线段 AB

相交F,则直线B

l

斜率

的取值范围是

A. [?1,1]

B. (??, ?1] [1, ??)

C. (?1,1)

D. (??, ?1) (1, ??)

8.设 a、b 是两条不同的直线,?、? 是两个不同的平面,则下列四个命题正确的是

A. 若 a ? b, a ? ?,则b //?

B.若 a //?,? ? ? ,则a ? ?

C. 若 a ? ? ,? ? ? ,则a //?

D.若 a ? b, a ? ?,b ? ? ,则? ? ?

?x ? y ? 0,

9.

若变量 x, y 满足约束条件

? ?

x

?

y

?

4,



z

?

3x

?

y

的最小值为

?

8

,则

k

?

?? y ? k ? 0,

A. 2

B. ? 2

C. 3

D. ? 3

10.不等式 x ? 3 ? x ?1 ? 2a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是

A. (??, ?2]

B. (??, ?2] [2, ??)

C. [2, ??)

D. a ? R

11.若正实数 a, b 满足 a ? b ? 1,则 A. 1 ? 1 有最大值 4 ab

B. ab 有最小值 1 4

C. a ? b 有最大值 2

D. a2 ? b2 有最小值 2 2

12.已知直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 4 交于不同的两点 A 、B ,O 是坐标原点, 若

| OA ? OB |?| AB | ,则实数 m 的取值范围是

A. (??, ?2] [2, ??)
C.??2, 2?

B. (?2 2, ?2] [2, 2 2) D. (?2 2, 2 2) [

二、填空题(本大题共 6 小题,单空每小题 4 分,多空每小题 6 分,共 28 分.将答案填在答题

卷的相应位置.)

13.数列 ?1, 4, ?16,64, ?256, 的一个通项公式 an=

▲.

14.已知直线 ax+y+2=0 与直线 x-(3a-1)y-1=0 互相垂直,则 a = ▲ .

15.若 2, a,b, c,9 成等差数列,则 c ? a ?



.

16.在圆 x2 ? y2 ? 5x 内过点 ( 5 , 3 ) 有 n 条弦的长度成等差数列, 22

最小弦长为数列的首项 a1 ,最大 弦长为 an ,若公差

d ?[1 , 1] , 那么 n 的取值集合为 63

▲.

17.如图是某几何体的三视图(单位:cm),则该几何
体的表面积是 ▲ c m2 ,体积是 ▲ cm3 .

5 正视图
5

22 侧视图

4

3

俯视图
第 17 题图

18.已知两矩形 ABCD 与 ADEF 所在的平面互相垂直,

F

AB=1,若将 ? DEF 沿直线 FD 翻折,使得点 E 落在

边 BC 上(即点 P),则当 AD 取最小值时,边 AF

A

的长是 ▲ ;此时四面体 F—ADP 的外接球的半径

是▲. B

E D PC

三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤)
19.(本题满分 10 分)已知函数 f (x) ? ax2 ? x ? a, a ? R , (1)当 a ? 2 时,解不等式 f (x) ? 3 ; (2)若函数 f (x) 有最大值 ?2 ,求实数 a 的值.

20.(本题满分 10 分)已知圆 C : x2 ? y2 ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0 ,点 P (6,0). (1) 求过点 P 且与圆 C 相切的直线方程 l ; (2) 若圆 M 与圆 C 外切,且与 x 轴切于点 P ,求圆 M 的方程.

21. (本题满分 12 分)如图,几何体 ABCDE 中,△ABC 是正三角形,EA 和 DC 都垂直于平面 ABC,
且 EA = AB = 2a, DC = a , F 为 EB 的中点,G 为 AB 的中点. (1) 求证:FD∥平面 ABC;
E
(2) 求二面角 B—FC—G 的正切值.
D F

A G

C B

22.(本题满分 12 分)已知数列?bn ?是首项 b1 ? 1,b4 ? 10 的等差数列,

设 bn ? 2 ? 3log 1 an (n ? N*) .
4

(1)求证:{an } 是等比数列;

(2)记 cn

?

1 bnbn?1

,求数列{cn}的前 n 项和 Sn ;

(3)记 dn ? (3n ?1) ? Sn ,若对任意正整数 n ,

不等式 1 ? 1 ? ? 1 ? m 恒成立,求整数 m 的最大值.

n ? d1 n ? d2

n ? dn 24

2015 学年第一学期期末教学质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)

题号 答案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBCDABBDACCB

二、填 空 题(本大

题共 6 小题,前 4 题每空 4 分,后 2 题每空 3 分,共 28 分,将答案填在答题卷的相应位置)

13. an ? ?(?4)n?1

14. 1 2

15. 7 2

16. ?4,5,6,7?

17.



18.



三、解答题(本大题有 4 小题,前 2 题每题 10 分,后 2 题每题 12 分,共 44 分.解答应写出 文字说明,证明过程或验算步骤)

19.解:(1)当

时,

,由





2分







……………… 4 分

故不等式的解集为

……………… 5 分

(2)二次函数有最大值,必须 分





解得

…………………… 6 …………………… 9分

由于 分

,故实数

…………………… 10

20.(1)解法 1:圆 C 化为标准方程是 故圆心坐标为 C(3,2)半径 ,

………… 1 分

. 设切线

的方程为



由点到直线的距离公式得

解得

所以



……………………4 分



也是切线方程

所以切线

的方程为



………… 5 分 解法 2:圆 C 化为标准方程是

………… 1 分

故圆心坐标为 C(3,2)半径 ………… 2 分

. 设切线

的方程为



,由点到直线的距离公式得

,解得

所以切线

的方程为



(2) 设圆心

………… 5 分 ,则半径

∴要使圆 M 与圆 C 外切,则须有:

……………… 8 分



化简得

解得



所以圆 M 的方程为



.… 10 分

21. 解:∵F、G 分别为 EB、AB 的中点,∴FG=

EA,



……… 2

又 EA 、 DC 都 垂 直 于 面 ABC, 所 以



DC,

……… 4 分

∴四边形 FGCD 为平行四边形, ∴FD∥GC, 又 E

且 FG =

GC
ABC. ∴FD∥面 ABC.

面 ABC, FD ……………… 6 分

(2) 因为

是正三角形,

面 A


D F
H
C G
B

的中点,

所以 又



于点







即为所求二面角的平面角.

……… 8 分

…………… 12 分

方法二(向量法)

分别以 图,…… 7 分

所在直线为



E

z

轴建系如
A

D F
y
C G
Bx

…………… 9 分

平面

的法向量

设平面 则

的法向量 …………… 10 分



设二面角 B—FC—G 的大小为



故二面角 B—FC—G 的正切值为

.



…………… 12

22.(1)

……………… 2 分 …3 分

∴数列 (2)

的等比数列

……………… 5 分

………………… 7 分

……………… 9 分

(3) 因为

. 则问题转化为对任意正整数

使

不等式

恒成立。

…… 10 分



,则

……………… 11 分

所以

,故

的最小值是

由 11.

恒成立知整数 ……………… 12 分

可取最大值为


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