2016


2016-2017 学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概 念高效测评 新人教 A 版选修 2-2

1.由定积分的几何意义可得? ?02dx 的值等于( A.1 C.3 B. 2 D. 4

2

x

)

2 x x 1 解析: 定积分? x=2, y=0 围成三角形的面积 S= ×2×1 ?02dx 等于直线 y=2与 x=0, 2

=1. 答案: A

? 2.已知 f(x)为偶函数,且? ? f(x)dx=8,则? f(x)dx 等于(
0 -6

6

6

)

A.0 C.8 解析: ∵被积函数 f(x)是偶函数,

B. 4 D.16

∴在 y 轴两侧的函数图象对称,从而对应的曲边梯形的面积相等.

? ∴? ? f(x)dx=2? f(x)dx=2×8=16.
-6 0

6

6

答案: D

? 3.定积分? ?0xdx 与?0 xdx 的大小关系是( ? A.? ?0xdx=?0 xdx ? C.? ? xdx<?
0 1 1 0 1 1

1

1

)

? B.? ?0xdx>?0 xdx
D.无法确定
1 1 0

1

1

xdx

? 解析: 由定积分的几何意义结合右图可知? ? xdx<?
0

xdx.

4.函数 y=? ?-x(cos t+t +2)dt(x>0)(
2

x

) B.是偶函数 D.以上都不正确

A.是奇函数 C.是非奇非偶函数

1

? ? 解析: y=?sin t+ +2t?| 3 ? ?
答案: A

t3

x
-x

2x =2sin x+ +4x,为奇函数. 3

3

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.定积分? ?-1|x|dx=________.
2

2 1 5 解析: 如图,? ?-1|x|dx=2+2=2.

答案:

5 2

6.下列等式成立的是________.(填序号)

? ? ①? ?a[mf(x)+ng(x)]dx=m?af(x)dx+n?ag(x)dx; ? ②? ? [f(x)+1]dx=? f(x)dx+b-a;
a a b b

b

b

b

? ? ③? ? f(x)g(x)dx=? f(x)dx·? g(x)dx;
a a a

b

b

b

④? ?

2π -2π

-2π sin xdx+∫0 sin xdx. sin xdx=? ?
0 2π

解析: 利用定积分的性质进行判断③不成立.
1 1 1 1 1 ?1 2 1 ?1 3 1 ? x3dx≠? xdx·? x2dx. 例如? x d x = , x d x = , x d x = ,但 ?0 ?0 ?0 ?0 2 ?0 3 ?0 4

答案: ①②④ 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
1 2 2 2 x ? exdx=e2-e,? x2dx=8,? 2dx=2ln 2.求: 7.已知? e d x = e - 1 , ?0 ?1 ?0 3 ? 1x

(1)? ?0e dx;
x

2

(2)? ?0(e +3x )dx;
x
2 2 ? x 1? (3)? ?1?e + ?dx.

2

?

x?

? ? 解析: (1)? ? e dx=? e dx+? e dx
x x x
0 0 1

2

1

2

=e-1+e -e=e -1.

2

2

? ? (2)? ?0(e +3x )dx=?0e dx+?0(3x )dx
x
2

2

2

2

x

2

2

? =? ? e dx+3? x dx=e -1+8=e +7.
x
2 2 2 0 0 2 2 2 ?ex+1?dx=? exdx+1? 2dx (3)? ? ? ?1? ?1 x? 2?1x

2

2

=e -e+ln 2.

2

x x∈[-1,1? ? ? 8. 已知函数 f(x)=?x x∈[1,π ? ? ?sin x x∈[π ,3π ]
解析: 由定积分的几何意义知
1 5 ? x dx=0.∫π sin xdx=0(如图所示). ?-1 3π

5

, 求 f(x)在区间[-1,3π ]上的定积分.

π ? f(x)dx= 1 x5dx+∫1 xdx+? ?-1 ?π sin xdx ? ?-1 π 1 2 =? ?1 xdx=2(π -1).





? 尖子生题库 ? 9.(10 分)计算?3 解析: 如图,

☆☆☆ ( 9-x -x )dx 的值.
2 3

?-3

由定积分的几何意义,得?3

?-3

π ×3 9π 2 9-x dx= = , 2 2

2

? x dx=0. ?-3
由定积分的性质,得
2 3 2 3 3 3 3 ? ( 9-x -x )dx=? 9-x dx-? x dx= 2 . ?-3 ?-3 ? -3

3

3



3


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