高考数学二轮复习 解答题题型练习1 三角函数的单调性及求值问题


解答题题型练 题型一 三角函数的单调性及求值问题
(推荐时间:30 分钟)
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1.(2010·天津)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1(x∈R). R π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, ]上的最大值和最小值; 2 6 π π (2)若 f(x0)= ,x0∈[ , ],求 cos 2x0 的值. 5 4 2
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2.已知直线 y=2 与函数 f(x)=2sin ωx+2 3sin ωxcos ωx-1 (ω>0)的图象的两 个相邻交点之间的距离为 π. (1)求 f(x)的解析式,并求出 f(x)的单调递增区间; π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值 4 及 g(x)取得最大值时 x 的取值集合. 答 案
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1.解 (1)由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1,得

f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1)
π = 3sin 2x+cos 2x=2sin (2x+ ), 6 所以函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 因为 f(x)=2sin (2x+ )在区间[0, ]上为增函数,在区间[ , ]上为减函数, 6 6 6 2 π π π 又 f(0)=1,f( )=2,f( )=-1,所以函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值为 2,最小 6 2 2 值为-1. π (2)由(1)可知 f(x0)=2sin (2x0+ ). 6 6 π 3 因为 f(x0)= ,所以 sin (2x0+ )= . 5 6 5 π π π 2π 7π 由 x0∈[ , ],得 2x0+ ∈[ , ], 4 2 6 3 6 π 4 2 1-sin ?2x0+ ?=- . 6 5 π π 所以 cos 2x0=cos[(2x0+ )- ] 6 6 π π π π 3-4 3 =cos(2x0+ )cos +sin (2x0+ )·sin = . 6 6 6 6 10
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π 从而 cos(2x0+ )=- 6

2.解 (1)f(x)=2sin ωx+2 3sin ωxcos ωx-1=1-cos 2ωx+ 3sin 2ωx-1 π? ? =2sin?2ωx- ?. 6? ? 2π 由题意可知函数的周期 T= =π, 2ω π? ? 即 ω=1,所以 f(x)=2sin?2x- ?. 6? ?
用心 爱心 专心 1

π π π 令 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 2 6 2 其中 k∈Z, Z π π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ ,其中 k∈Z, Z 6 3 π π? ? 即 f(x)的单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. Z 6 3? ? π? ? ? π? π? ? π? ? (2)g(x)=f?x+ ?=2sin?2?x+ ?- ?=2sin?2x+ ?, 4? 6? 4? 3? ? ? ? ? 则 g(x)的最大值为 2, π? ? 此时有 2sin?2x+ ?=2, 3? ? π? ? 即 sin?2x+ ?=1, 3? ? π π 即 2x+ =2kπ+ ,k∈Z. Z 3 2 π 解得 x=kπ+ (k∈Z), Z 12
? ? π Z 所以当 g(x)取得最大值时 x 的取值集合为?x|x=kπ+ ,k∈Z?. 12 ? ?

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