四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第6课时双曲线及其标准方程同步测试新人教A版选修2_1


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第 6 课时

双曲线及其标准方程

基础达标(水平一 )

1.已知双曲线 - =1 上的点 P 到(5,0)的距离为 15,则点 P 到点(-5,0)的距离为( A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23 【解析】设点 F1(-5,0),F2(5,0), 则由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=8, 而|PF2|=15,解得|PF1|=7 或 23. 【解析】D

).

2.已知双曲线 - =1 上一点 P 到点 F(3,0)的距离为 6,O 为坐标原点,

=(

+

),则

|

|=(

).

A.1 B.5 C.2 或 5 D.1 或 5 【解析】 设双曲线的另一个焦点为 F1,则由双曲线的定义知||PF1|-|PF||=4,所以|PF1|=2

或 10.因为

=

(

+

),所以 Q 为 PF 的中点.又因为 O 为 F1F 的中点,所以

|

|=

|

|=1 或 5,故选 D.

【答案】D

3.设 F1、F2 分别是双曲线 x - =1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则 △PF1F2 的面积等于( A.4 B.8 ). C.24 D.48

2

【解析】由 3|PF1|=4|PF2|知,|PF1|>|PF2|.由双曲线的定义知 |PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=8,|PF2|=6.又∵c2=a2+b2=25,∴c=5,∴|F1F2|=10,∴△PF1F2 为直角三 角形,


【答案】C

=

|PF1|·|PF2|=

×8×6=24.

4.设 P 是双曲线 - =1 右支上的一点,M 和 N 分别是圆(x+5) +y =4 和(x-5) +y =1 上的点,则

2

2

2

2

|PM|—|PN|的最大值为(
A.6 B.7 C.8 D.9

).

1

【解析】设 F1,F2 分别为双曲线的左,右焦点,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=6, 由数形结合可知,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1, ∴(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=6+3=9. 【答案】D

5.已知点 P(2,-3)是双曲线 - =1(a>0,b>0)上的一点,双曲线两个焦点间的距离等于 4,则 该双曲线方程是

.

【解析】由题意知 c=2,设该双曲线方程是

-

=1,

把点 P(2,-3)代入,得 解得 a =1 或 a =16(舍去).
2 2

-

=1,

所以该双曲线方程为 x -

2

=1.

【答案】x -

2

=1

6.已知双曲线 C 的中心为坐标原点,点 F(2,0)是双曲线 C 的一个焦点,过点 F 作渐近线的垂 线 l,垂足为 M,直线 l 交 y 轴于点 E,若|FM|=3|ME|,则双曲线 C 的方程为 .

【解析】设双曲线 C 的方程为

-

=1,由已知得|FM|=b,所以|OE|=

,

所以

=

,因为 a =4-b ,所以 b =3,a =1,所以双曲线 C 的方程为 x -

2

2

2

2

2

=1.

【答案】x -

2

=1

7.已知 B(-5,0),C(5,0)是△ABC 的两个顶点,且 sin B-sin C= sin A,求顶点 A 的轨迹方程.

【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=

|BC|=

×10=6.

又|AC|>|AB|,6<|BC|,则点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的双曲线的左支(除去左顶点). 2 2 2 由 2a=6,2c=10,得 a=3,c=5,b =c -a =16,

故顶点 A 的轨迹方程为

-

=1(x<-3).

2

拓展提升(水平二)

8.椭圆 + =1 与双曲线 y - =1 有公共点 P,则点 P 与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积 为( ). A.48 B.24 C.24 D.12

2

【解析】 由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点 F1(0,5)和 F2(0,-5),又由椭圆与双曲线

的定义可得

解得



又|F1F2|=10,所以△PF1F2 为直角三角形,∠F1PF2=90°.

所以△PF1F2 的面积 S= 【答案】B

|PF1||PF2|=

×6×8=24.

9.已知方程 + =1 表示的曲线为 C.给出以下四个判断:

①当 1<t<4 时,曲线 C 表示椭圆; ②当 t>4 或 t<1 时,曲线 C 表示双曲线;

③若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t< ; ④若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 t>4. 其中判断正确的是 .(只填正确命题的序号)

【解析】①错误,当 t=

时,曲线 C 表示圆;②正确,若 C 为双曲线,则

(4-t)(t-1)<0,∴t<1 或 t>4;③正确,若 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则

4-t>t-1>0,∴1<t< 【答案】②③④

;④正确,若曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线,则

∴t>4.

10.已知双曲线 - =1 的左焦点为 F,点 P 为双曲线右支上一点,且 PF 与圆 x +y =16 相切于点

2

2

N,M 为线段 PF 的中点,O 为坐标原点,则|MN|-|MO|= 【解析】设 F'是双曲线的右焦点,连接 PF'(图略).

.

因为 M,O 分别是 FP,FF'的中点,所以|MO|=

|PF'|,所以|FN|=

=5.

3

由双曲线的定义知|PF|-|PF'|=8,所以

|MN|-|MO|=|MF|-|FN|-

|PF'|=

(|PF|-|PF'|)-|FN|=

×8-5=-1.

【答案】-1 2 2 11.当 0°≤α ≤180°时,方程 x cos α +y sin α =1 表示的曲线如何变化? 2 【解析】当 α =0°时,方程为 x =1,它表示两条平行直线 x=±1.

当 0°<α <90°时,方程为

+

=1.

①当 0°<α <45°时,0<

<

,它表示焦点在 y 轴上的椭圆; ;

②当 α =45°时,它表示圆 x2+y2=

③当 45°<α <90°时,
2

>

>0,它表示焦点在 x 轴上的椭圆.

当 α =90°时,方程为 y =1,它表示两条平行直线 y=±1.

当 90°<α <180°时,方程为
2

-

=1,它表示焦点在 y 轴上的双曲线.

当 α =180°时,方程为 x =-1,它不表示任何曲线.

4


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