上海重点中学2012学年高一第二学期数学期末考试(试卷含答案)


2012 学年度第二学期高一年级数学期末考试试卷 命题: 审卷: 打印: (完卷时间:90 分钟 满分:100 分) 一填空题 二选择题 三解答题 题号 1~12 13~16 17 18 19 20 21 应得分 实得分 一、填空题 1. 若 sin ? ? co s ? ? 1 ,则 co s ? ? sin ? ? _______________. 2. 设 x1 , x 2 是方程 x ? x s in
2

2013.6

总分 100 分

36 分

16 分

8分

8分

10 分

10 分

12 分

3 5

? ? cos

3 5

? ? 0 的两解,则 arctan x1 ? arctan x 2 ? ________.

3. sin 2 0 ? sin 4 0 ? sin 8 0 ?
0 0 0

.

4. 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列 { a n } 中,若 a 1 ? 1, a n ? 7 3 ,则 n ? d 的最小值等 于 . x 5. 解方程 x+log2(2 -31)=5 __________________。 6. 若 tanθ=-2,则 7. 函数 y=arcos(
1 2
cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? cos
2

?

=______________

-x2)的值域是_______________.
a
2

8. 在 ? ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 9. 已知函数 f ( x ) ?

?b c
2

2

=

.

sin( πx ) ? cos( πx ) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值为_____ 4 4 x
1 2

10. 设 f ( x ) ? co s 2 x ? 2 a (1 ? co s x ) 的最小值为 ? 11. 已知 a>0 且 a? 试求使方程 1,
r s

,则 a

?

_____________. 有解的 k 的取值范围是___。

12. 设 r , s , t 为整数,集合 { a | a ? 2 ? 2 ? 2 , 0 ? t ? s ? r } 中的数由小到大组成数列
t

{ a n } : 7 ,11 ,13 ,14 , ? ,则 a 36 ?



二、选择题 13. 设 f(x)=x2-?x, ?=arcsin
1 3

, ?=arctan

5 4

, ?=arcos(-

1 3

), ?=arccot(-

5 4

),则(



A.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) B.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) C.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) D.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) 14. 已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn。则满足不等式 |Sn-n-6|< A.5
1 125

的最小整数 n 是( B.6

) C.7 D.8

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 1 页

15. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x?c)=1 对任意实数 x 恒成立, 则
b cos c a

的值等于(
1 2

) B.
1 2
A cot C ? cos A

A. ?

C. ?1

D. 1 的取值范围是(
)

16. ? A B C 中,边 a , b , c 成等比数列,则 s in A. (0, ? ? ) C. (
5 ?1 2 , 5 ?1 2 )



s in B c o t C ? c o s B

B. ( 0 , D. (

5 ?1 2
5 ?1 2

, ?? )

三、解答题 17. 已知函数 f ( x ) ? 2 sin x ? sin(
?
3 ? x) ? 3 sin x ? cos x ? cos
2

x.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期,最大值及取最大值时相应的 x 值; (2)如果 0 ? x ?
?
2

,求 f ( x ) 的取值范 围.

18. 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 S n (1)求 a1,a3;

?

n ( a n ? a1 ) 2



(2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 2 页

19. 已知 f ( x ) ? sin x ? a sin x ?
2

a ? b ?1
2

.

a

(1)若 b ? ? 2 ,对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ) ? 0 成立,求 a 的取值范围; (2)设 a ? 2 ,若存在 x ? R ,使 f ( x ) ? 0 成立,求 a ? b ? 8 a 的最小值;当取得最小值
2 2

时,求 a , b 的值.

20. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且对于任意 n ? N * ,总有 S n ? 2(a n ? 1) . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)在 a n 与 a n ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成等差数列,当公差 d 满足
3 ? d ? 4 时,求 n 的值并求这个等差数列所有项的和 T ;

(3)记 a n ? f (n) ,如果 c n ? n ? f (n ? log

2

,问是否存在正实数 m , m) ( n ? N )
*

使得数列 {c n } 是单调递减数列?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 3 页

21. 已知函数 y ? f ( x ),

x ? D, y ? A ; g (x) ? x

2

? ( 4 7 tan ? ) x ? 1 ,

(1)当 f ( x ) ? sin( x ? ? ) 为偶函数时,求 ? 的值。 (2)当 f ( x ) ? sin( 2 x ? 值范围。
( ( ( ( 3 ) 当 f ( x ) ? a 1 s i n? x ? ? 1 ) ? a 2 s i n? x ? ? 2 ) ? ? ? a n s i n? x ? ? n ) 时 ,( 其 中 a i ? R , i ? 1, 2 , 3 , ? , n , ? ? 0 ) ,若 f
2

?
6

)?

3 sin( 2 x ?

?
3

) 时, g ( x ) 在 A 上是单调递增函数,求 ? 的取

?0 ? ?

f

2

? ? ? ? ? ? 0 ,且函数 f ( x ) 的图像关于点 ? 2? ?

?? ? ? , 0 ? 对称,在 x ? ? 处取得最小值,试探讨 ? 应该满足的条件。 ? 2 ?

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 4 页

2012 学年度第二学期高一年级数学期末考试答案 二、填空题 1. 若 sin ? ? co s ? ? 1 ,则 co s ? ? sin ? ? _______________. 0 2. 设 x1 , x 2 是方程 x ? x s in
2
0 0 0

2013.6

3 5

? ? cos
3 8

3 5

? ? 0 的两解,则 arctan x1 ? arctan x 2 ? ___

? 5

__.

3. sin 2 0 ? sin 4 0 ? sin 8 0 ?

.

4. 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列 { a n } 中,若 a 1 ? 1, a n ? 7 3 ,则 n ? d 的最小值等 于 18 . 5. 解方程 x+log2(2x-31)=5 ____ x=5______。 6. 若 tanθ=-2,则 7. 函数 y=arcos(
1 2
cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? cos
2

?

=_____
?
3

1 6

___

-x2)的值域是____[

,??_____.
a
2

8. 在 ? ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 9. 已知函数 f ( x ) ?

?b c
2

2

=

3 .

4 5 sin( πx ) ? cos( πx ) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值为_ __ 5 4 4 x
1 2

10. 设 f ( x ) ? co s 2 x ? 2 a (1 ? co s x ) 的最小值为 ? 11. 已知 a>0 且 a? 1,试求使方程 (-∞,-1)∪(0,1)。

,则 a

?

?2 ?

3



有解的 k 的取值范围是

12. 设 r , s , t 为整数,集合 { a | a ? 2 ? 2 ? 2 , 0 ? t ? s ? r } 中的数由小到大组成数列
r s t

{ a n } : 7 ,11 ,13 ,14 , ? ,则 a 36 ?

131



二、选择题 13. 设 f(x)=x2-?x, ?=arcsin
1 3

, ?=arctan

5 4

, ?=arcos(-

1 3

), ?=arccot(-

5 4

),则( B )

A.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) B.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) C.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) D.f(?)>f(?)>f(?)>f(?) 14. 已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn。则满足不等式 |Sn-n-6|< A.5
1 125

的最小整数 n 是( B.6

C ) C.7 D.8

15. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x?c)=1 对任意实数 x 恒成立, 则
b cos c a

的值等于( C )
1 2

A. ?

B.

1 2

C. ?1

D. 1

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 5 页

16. ? A B C 中,边 a , b , c 成等比数列,则 s in A. (0, ? ? ) C. (
5 ?1 2 , 5 ?1 2 )

A cot C ? cos A

的取值范围是( C
)



s in B c o t C ? c o s B

B. ( 0 , D. (

5 ?1 2
5 ?1 2

, ?? )

三、解答题 17. 已知函数 f ( x ) ? 2 sin x ? sin(
?
3 ? x) ? 3 sin x ? cos x ? cos
2

x.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期,最大值及取最大值时相应的 x 值; (2)如果 0 ? x ?
?
2

,求 f ( x ) 的取值范 围.
?
6 )
f ( x ) 的最小正周期等于 ? .

解:(1) f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ? 当2x ?
?
6 ? 2 k? ?

?
2

, x ? k? ?
?
6 ? 2x ?

?
6

( k ? z ) 时, f ( x ) 取得最大值 2.

(2)由 0 ? x ?

?
2

,得

?
6

?

7? 6

,?

1 2

? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1,

f ( x ) 的值域为 [ ? 1,

2]

18. 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 S n (1)求 a1,a3;

?

n ( a n ? a1 ) 2



(2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; 解:(1)令 n=1,则 a1=S1= (2)由 S n
? 2 1( a 1 ? a 1 ) 2

=0.
? nan 2

; , ① 得

a3=2;
S n ?1 ? ( n ? 1 a n ?1 ) 2

n ( a n ? a1 )

,即 S n





②-①,得 于是, n a n ? 2

( n ? 1 a n ?1 ? n a n ) ? ( n ? 1) a n ? 1 .

. ④



③+④,得 n a n ? 2 ? n a n ? 2 n a n ? 1 ,即 a n ? 2 ? a n ? 2 a n ? 1 . 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1. ) 法二②-①,得 ( n ? 1 a n ? 1 ? n a n . 于是,
? an n ?1



a n ?1 n
?1

?

an n ?1

,?

an n ?1

?

a n ?1 n?2

?? ?

a2 1

所以,an=n-1.

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 6 页

19. 已知 f ( x ) ? sin x ? a sin x ?
2

a ? b ?1
2

.

a

(1)若 b ? ? 2 ,对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ) ? 0 成立,求 a 的取值范围; (2)设 a ? 2 ,若存在 x ? R ,使 f ( x ) ? 0 成立,求 a ? b ? 8 a 的最小值;当取得最小值
2 2

时,求 a , b 的值. 解: (1)设 t ? sin x ,则 f ( x ) 转化为 g ( t ) ? t ? a t ? a ?
2

3 a

,因此,对任意的 x ? R ,都有

f ( x ) ? 0 ,等价于对任意 t ? [ ? 1,1] ,都有 g ( t ) ? 0 . 所以

3 ? 1 ? 2a ? ? 0 ? ? g ( ? 1) ? 0 ? a ? ? ? 0 ? a ?1. ? ? g (1) ? 0 ?1 ? 3 ? 0 ? a ?
n (2) t ? si x , f ( x ) 转化为 g ( t ) ? t ? a t ? a ? 设 则
2

b ?1 a

, 因此, 存在 x ? R , f ( x) ?0 使
a 2 ? ?1 ,

成立,等价于存在 t ? [ ? 1,1] ,使 g ( t) ?0 成立,又 a ? 2 ,所以 g ( t ) 的对称轴 t ? ? 在此条件下,当且仅当 g ( ? 1) ? 0 时,满足题设要求. 由 g ( ? 1) ? 1 ?
2 2

b ?1 a

? 0 及 a ? 2 ,得 b ? 1 ? a ? ? 1 ,于是
2

a ? b ? 8 a ? a ? (1 ? a ) ? 8 a ? 2 ( a ?
2

5 2

) ?
2

23 2

? ?

23 2



当且仅当 a ?

5 2

,b ? ?

3 2

时,原式取得最小值 ?

23 2

.

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 7 页

20. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且对于任意 n ? N * ,总有 S n ? 2(a n ? 1) . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)在 a n 与 a n ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成等差数列,当公差 d 满足
3 ? d ? 4 时,求 n 的值并求这个等差数列所有项的和 T ;

(3)记 a n ? f (n) ,如果 c n ? n ? f (n ? log

2

,问是否存在正实数 m , m) ( n ? N )
*

使得数列 {c n } 是单调递减数列?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. (1)当 n ? 1 时,由已知 a1 ? 2(a1 ? 1) ,得 a1 ? 2 . 当 n ? 2 时,由 S n ? 2(a n ? 1) , S n ?1 ? 2(a n ?1 ? 1) ,两式相减得 a n ? 2a n ? 2a n ?1 , 即 a n ? 2a n ?1 ,所以 {a n } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列. 所以, a n ? 2 n ( n ? N * ) . (2)由题意, a n ?1 ? a n ? (n ? 1)d ,故 d ?
n

a n ?1 ? a n n ?1

,即 d ?

2

n

n ?1



因为 3 ? d ? 4 ,所以 3 ?
16 5

2

n ?1

? 4 ,即 3n ? 3 ? 2 ? 4n ? 4 ,解得 n ? 4 ,
n

所以 d ?

.所以所得等差数列首项为 16 ,公差为
6 ? (16 ? 32) 2

16 3

,共有 6 项.

所以这个等差数列所有项的和 T ? 所以, n ? 4 , T ? 144 .

? 144 .

(3)由(1)知 f (n) ? 2 , 所以 c n ? n ? f (n ? log
n

2

m) ? n ? 2

n?log

2

m

? n?2

n?log 2 m

2

? n?2

2 n?log 2 m

? n ? (2

log 2 m

)

2n

? n?m

2n


? n?m
2n

由题意, c n ?1 ? c n ,即 (n ? 1) ? m 所以 m 2 ?
n n ?1 ? 1? 1 n ?1 1 n ?1

2n?2

对任意 n ? N * 成立,

对任意 n ? N * 成立.
1 2

因为 g (n) ? 1 ? 所以 m 2 ?
1 2

在 n ? N * 上是单调递增的,所以 g (n) 的最小值为 g (1) ?
? ? ? 2? ?. 2 ? ?



.由 m ? 0 得 m 的取值范围是 ? 0 ,
? ? ?

所以,当 m ? ? 0 ,

2? ? 时,数列 {c n } 是单调递减数列. 2 ? ?

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 8 页

21. 已知函数 y ? f ( x ),

x ? D, y ? A ; g (x) ? x

2

? ( 4 7 tan ? ) x ? 1 ,

(1)当 f ( x ) ? sin( x ? ? ) 为偶函数时,求 ? 的值。 (2)当 f ( x ) ? sin( 2 x ? 值范围。
( ( ( ( 3 ) 当 f ( x ) ? a 1 s i n? x ? ? 1 ) ? a 2 s i n? x ? ? 2 ) ? ? ? a n s i n? x ? ? n ) 时 ,( 其 中 a i ? R , i ? 1, 2 , 3 , ? , n , ? ? 0 ) ,若 f
2

?
6

)?

3 sin( 2 x ?

?
3

) 时, g ( x ) 在 A 上是单调递增函数,求 ? 的取

?0 ? ?

f

2

? ? ? ? ? ? 0 ,且函数 f ( x ) 的图像关于点 ? 2? ?

?? ? ? , 0 ? 对称,在 x ? ? 处取得最小值,试探讨 ? 应该满足的条件。 ? 2 ?

解: (1)因为函数 f ( x ) ? sin( x ? ? ) 为偶函数,所以 sin( x ? ? ) ? sin( ? x ? ? ) ,
2 sin x ? cos ? ? 0 , cos ? ? 0 ,所以 ? ? k ? ?

?
2

,k ? Z

(2) f ( x ) ? sin( 2 x ?
? 7 sin( 2 x ? ? 1 ) ? ?
2

?
6

)?

3 sin( 2 x ?

?
3

) ?

3 sin 2 x ? 2 cos 2 x
2 7 3 7

?

7,

7 ,其中 sin ? 1 ?

?

, cos ? 1 ?
2

,所以 A ? ?

?

7,

7 ,

?

g (x) ? x

? ( 4 7 tan ? ) x ? 1 ? x ? 2 7 tan ?

?

?

2

? 1 ? 28 tan

?
1 2

由题意可知:2 7 tan ? ? ? 7 , tan ? ? ?

1 2

,所以 k ? ?

?
2

? x ? k ? ? arctan

,k ? Z

(3) f ( x ) ? a 1 sin( ? x ? ? 1 ) ? a 2 sin( ? x ? ? 2 ) ? ? ? a n sin( ? x ? ? n )
? a 1 (sin ? x cos ? 1 ? cos ? x sin ? 1 ) ? a 2 (sin ? x cos ? 2 ? cos ? x sin ? 2 ) ? ?

? a n (sin ? x cos ? n ? cos ? x sin ? n )
? ( a 1 cos ? 1 ? a 2 cos ? 2 ? ? ? a n cos ? n ) sin ? x ? ( a 1 sin ? 1 ? a 2 sin ? 2 ? ? ? a n sin ? n ) cos ? x
2 2 因为 f ? 0 ? ? f ?

? ? ? ? ? 0, ? 2? ?

所以 a 1 cos ? 1 ? a 2 cos ? 2 ? ? ? a n cos ? n ? 0 与 a 1 sin ? 1 ? a 2 sin ? 2 ? ? ? a n sin ? n ? 0 不能同时成立,不妨设 a 1 cos ? 1 ? a 2 cos ? 2 ? ? ? a n cos ? n ? m ,
a 1 sin ? 1 ? a 2 sin ? 2 ? ? ? a n sin ? n ? n ,

所以 f ( x ) ? m sin ? x ? n cos ? x ? 由 f ( x ) 的图像关于点 ?
( 4 n ? 3) ?

m

2

? n

2

sin( ? x ? ? ? ) ,其中 m

2

? n

2

? 0;

T ? ? ? ( ?? ? , 0 ? 对称, x ? ? 处取得最小值, 4 n ? 3 ) 在 ,n ? N , 4 2 2 ? ?
??
? 所以, ? ? 4 n ? 3 , n ? N ? ? ? ①

?
2?

?

?
2



2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 9 页

由 f (x) 的图像关于点 ?
?
2

? ? ? ? ? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ? ? k? , k ? Z , , 0 ? 对 称 知 道 sin( 2 2 ? 2 ?
??
3? 2 ? 2 k 1? ? 3? 2 , k1 ? Z , ,k ? Z , 又因为 f ( x ) 在 x ? ? 处取得最小值,

( 4 n ? 3) ? ? ? ? k? , k ? Z , ? ? k ? ? ? 3? 2

所以 sin( ?? ? ? ? ) ? ? 1 , ?? ? k ? ? 所以 ? ? k , k ? N
?

??? ②

由①②可知, ? ? 4 n ? 3 , n ? N ? 。

2012 学年度第二学期高一年级数学期末试卷 第 10 页


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