2019学年高中数学必修四导学案:3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)


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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)

【学习目标】 1.理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法;

2.掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用.

【新知自学】

知识回顾

1.两角差的余弦公式是

(公式 1)

2.化简

cos

?

?

?

? cos

?

?

?

sin

?

?

?

sin

?

?

?

2

2

2

2

=

3. sin(? ? ? ) =



2

cos(? ? ? ) =



2

sin(? ? ? ) =



2

cos(? ? ? ) =

.

2

新知梳理

两角和的余弦公式中的角?, ? 可以是任意角,那么,作如下的代换,你会有什么发现?

1、把(1)式中的角“ ? ? ”换成“ ? ? ”,可得

(公式 2)

2、把(1)式中的角“? ”换成“ ? ? ? ”,可得 2

(公 式 3)

3、把(1)式中的角“? ”换成“ ? ? ? ”,可得 2
4、把(3)式除以(2)式,

(公式 4)

可得

(公式 5)

5、把(4)式除以(1)式,

可得

(公式 6)

思考感悟

1、上述 6 个公式之间还有哪些联系,你能发现吗?

2、在正切公式中?, ? 应满足什么条件?

3、如何熟练记忆公式? 对点练习

1、 sin 72o cos 42o ? cos 72o sin 42o =



cos105? =



cos 20o cos 70o ? sin 20o sin 70o =



1 ? tan15? = 1 ? tan15?

2、 3 cos ? ? sin ? 的值为(



12 12

A. 0

B.2

C. 2

D. ? 2

【合作探究】 典例精析: 例 1、求下列各式的值.
(1) sin165? ;

(2) tan 7? . 12

变式练习: 1、求值: cos75? ? cos15? =

变式练习:

2、已知 sin ? ? 5 , sin(? ? ? ) ? ? 10 ,?, ? 均为锐角,求 ? 的值。

5

10



2、已知 sin?

?

?

3 ,? 5

是第四象限角

,求

sin

? ??

? 4

??

? ??

,

cos

? ??

? 4

??

? ??

,

tan

????

?

? 4

? ??

的值.

变式练习:

3、已知 sin?? ? ? ? ?? ? 1 ,则 cos?? ? ? ? ?? =

.

?4 ? 3

?4 ?

【课堂小结】

【当堂达标】

1. sin 25π cos 11π -cos 11π s in 5π 的值是( )

12

6

12

6

A.- 2 2

B. 2 2

C.-sin π 12

D.sin π 12

2. 若 sin (α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则 sin(α+2β)+sin(α-2β)等

于( )

A.1

B.-1

C.0

D.±1

3. 求值:(1)sin75°;

(2)si n13°cos17° +cos13°sin17°.

【课时作业】

1. sin14?cos16?+sin76?cos74? 的值是(



A. 3 2

B. 1 2

C. 3 2

D.- 1 2

2. sin 20?cos40? ? cos20?sin 40?

=



sin15? ? sin 75? =

.

3. tan 75? ? tan15? =



1? tan 75? tan15?

3 ? tan15? =

.

1? 3 tan15?

4.已知 sin ? ? 4 ,? ? ?? ? ,? ?? , cos? ? ? 5 ,若 ? 是第三象限角,求 cos?? ? ? ? .

5 ?2 ?

13

5.已知 tan?? ? ? ? ?? ? 2 ,求 tan? 的值.
?4 ?

*6. 已知

tan? ? 1 , tan ? ? ?2, (0 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ) ,求 tan(? ? ? ) 与? ? ? 的值.

3

22

*7.在 ?ABC中, sin A ? 3 , cosB ? 5 ,求 cosC 的值.

5

13

8、已知 sin(3? ? ? ) ? 5 , cos(? ? ? ) ? 3 ,且 0 ? ? ? ? ? ? ? 3? ,求 cos(? ? ? ) 的

4

13

4

5

4

4

值。

【延伸探究】

已知 cos? ? cos? ? 3 ,sin? ? sin ? ? 4 ,求 cos?? ? ? ? 的值.

5

5


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