宁夏银川一中2018-2019学年高二12月阶段性测试数学(文)试题(解析版)精选


....

银川一中 2018/2019 学年度(上)高二阶段性测试数学(文科)试卷
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.下列说法错误的是( A. 对于命题 B. “

) ,则 ”的充分不必要条件 都是假命题 ”的逆否命题为:“若 ,则 ”

”是“

C. 若命题 D. 命题“若 【答案】C 【解析】

为假命题,则 ,则

试题分析:对于 A,全称命题的“非”是存在性命题,且否定结论,即 A 正确; 对于 B, 对于 C,,命题 时, 成立,但反之, 时, ,所以 B 正确;

为假命题,说明

至少有一为假命题,所以 C 错;

对于 D,逆否命题否定原命题条件和结论并互换,D 正确,故选 C. 考点:1、逆否命题;2、充分条件与必要条件;3、复合命题. 【名师点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性,属于容易题.解题 时一定要注意 时, 是 的充分条件, 是 的必要条件,否则很容易出现错误.充分、必要条件的判断即

判断命题的真假,在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化. 2.为了解 1 000 名学生的学习情况, 采用系统抽样的方法, 从中抽取容量为 40 的样本, 则分段的间隔为( A. 25 B. 40 C. 50 D. 20 )

【答案】A 【解析】 【分析】 利用系统抽样的性质求解.

【详解】由已知得:分段的间隔为: 故答案为:A.

=25.

【点睛】本题考查系统抽样的分段间隔的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意系统抽样的性质的合 理运用. 3.已知抛物线 A. 【答案】B B. 的准线经过点 C. D. ,则抛物线焦点坐标为( )

....

....

【解析】

由抛物线

得准线

,因为准线经过点

,所以



所以抛物线焦点坐标为 考点:抛物线方程和性质. 视频

,故答案选

4.“双色球”彩票中有 33 个红色球,每个球的编号分别为 01,02,…,33.一位彩民用随机数表法选取 6 个号 码作为 6 个红色球的编号,选取方法是从下面的随机数表中第 1 行第 6 列的数开始,从左向右读数,则依次选 出来的第 3 个红色球的编号为( )

49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

A. 21

B. 26

C. 09

D. 20

【答案】C 【解析】 【分析】 根据随机数表法,依次进行选择即可得到结论. 【详解】 从随机数表第 1 行的第 6 列的数字 3 开始, 按两位数连续向右读编号小于等于 33 的号码依次为 21, 32,09,16,17,02;所以第 3 个红球的编号为 09. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了简单随机抽样的应用问题,正确理解随机数法是解题的关键. 5.执行如图所示的程序框图,则输出的 的值是( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

....

....

【答案】D 【解析】 【分析】 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环,输出结果. 【详解】模拟执行程序,可得:k=1,s=1, 第 1 次执行循环体,s=1, 不满足条件 s>15,第 2 次执行循环体,k=2,s=2, 不满足条件 s>15,第 3 次执行循环体,k=3,s=6, 不满足条件 s>15,第 4 次执行循环体,k=4;s=15, 不满足条件 s>15,第 5 次执行循环体,k=5;s=31, 满足条件 s>15,退出循环,此时 k=5. 故答案为:D. 【点睛】本题给出程序框图,要我们求出最后输出值,着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识,属 于基础题. 6.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1 534 石,验得米内夹谷, 抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( A. 134 石 C. 338 石 【答案】B 【解析】 B. 169 石 D. 1 365 石 )

试题分析:设夹谷 石,则 考点:用样本的数据特征估计总体. 视频

,所以

,所以这批米内夹谷约为

石,故选 B.

7.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于 某校有 名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间 )

分的具有复赛资格,

内,其频率分布直方图如图.则获得复赛

资格的人数为(

....

....

A. 520

B. 540

C. 620

D. 640

【答案】A 【解析】 【分析】 由频率分布直方图得到初赛成绩大于 90 分的频率,由此能求出获得复赛资格的人数. 【详解】初赛成绩大于 90 分的具有复赛资格,某校有 800 名学生参加了初赛, 所有学生的成绩均在区间(30,150]内, 20=0.65. 由频率分布直方图得到初赛成绩大于 90 分的频率为:1-(0.0025+0.0075+0.0075)× 800=520. ∴获得复赛资格的人数为:0.65× 故选:A. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,考查概数的求法,考查频率分布直方图等基础知识,考查运算 求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.频率分布直方图中,每一个小矩形都是等宽的,都等于组距,高是 “ ”,因此,小矩形的面积表示频率.对于实际问题中的随机变量,如果能断定它服从某个常见的典型分布,则

可直接利用期望公式求得.因此,熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度. 8.该边程序运行结果为( )

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【答案】B 【解析】 【分析】 根据语句条件,进入循环结构,知道满足条件 s 为止,输出此时的 n 值.

....

....

【详解】N=10,s=0,进入循环得到 s=10,n=9,不满足 s 再进入循环得到 s=19,n=8,仍然不满足 s 再进入循环得到 s=27,n=7,仍然不满足 s 再进入循环得到 s=34,n=6,仍然不满足 s 再进入循环得到 s=40,n=5,仍然不满足 s 再进入循环得到 s=45,n=4,满足 s 终止循环得到 n=4. 故答案为:B. , , ,

,

【点睛】本题考查了程序语言的应用问题,是基础题目.注意按照题目所给的条件,进行循环,直到满足 输出条件为止。 9.【卷号】2093692055126016 【题号】2095212714295296 【题文】

已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y =8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线 与 E 的两个交点,则|AB|=( A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 )

2

【答案】D 【解析】 【分析】 利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标,求出椭圆的半长轴,然后求解抛物线的准线方程,求出 A,B 坐 标,即可求解所求结果. 【详解】椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点(c,0)与抛物线 C:y2=8x 的焦点(2,0)重 合,

可得 c=2,a=4,b2=12,椭圆的标准方程为: 抛物线的准线方程为:x=﹣2,



由 |AB|=6. 故选:D.

解得 y=± 3,所以 A(﹣2,3) ,B(﹣2,﹣3) .

....

....

【点睛】在处理直线和圆锥曲线的位置关系时,往往先根据题意合理设出直线方程,再联立直线和圆锥曲 线方程,但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况,如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点,给一般 情形找到了目标. 10.已知 、 取值如下表: 0 1.3 1 1.8 4 5.6 5 6.1 6 7.4 8 9.3

从所得的散点图分析可知: 与 线性相关,且 A. 【答案】A 【解析】 【分析】 B. C. D.

,则

( )

计算平均数,可得样本中心点,代入线性回归方程,即可求得 a 的值.

【详解】由题意, ∵y 与 x 线性相关,且 =0.95x+a, ∴5.25=0.95× 4+a, ∴a=1.45 故选:A.

=4,

【点睛】本题考查回归分析,考查线性回归直线过样本中心点,在一组具有相关关系的变量的数据间,这 样的直线可以画出许多条,而其中的一条能最好地反映 x 与 Y 之间的关系,这条直线过样本中心点.

11.已知双曲线 的方程为( )

的一个焦点为

,且双曲线的渐近线与圆

相切,则双曲线

A. 【答案】D 【解析】 【分析】

B.

C.

D.

表示出双曲线的一条渐近线方程

,根据渐近线

与圆

相切,列方程组求解。

【详解】双曲线

的一条渐近线方程

,即

。根据渐近线

与圆

....

....

相切, 可得

, 又



, 解得:



, 所以双曲线的方程为

【点睛】本题考查了双曲线的基本性质及直线与圆相切知识,利用直线与圆相切及双曲线的基本性质列方 程组,解出 即可。

12.已知函数 数 的取值范围为( A. 【答案】C 【解析】 【分析】 B. )



) ,

,若至少存在一个

,使得

成立,则实

C.

D.

问题转化为 a>﹣2xlnx 在 x∈[ ,1]上至少有一个 x 成立,令 h(x)=﹣2xlnx,根据函数的单调性求出 a 的 范围即可.

【详解】若至少存在一个 x0∈[ ,1],使得 f(x0)>g(x0)成立, 则 f(x)﹣g(x)>0 在 x∈ [,1]有解,

即 a( ﹣x)﹣2ln +ax= +2lnx>0 在 x∈[ ,1]上有解,

即 a>﹣2xlnx 在 x∈[ ,1]上至少有一个 x 成立, 令 h(x)=﹣2xlnx,h′(x)=﹣2(lnx+1) ,

所以 h(x)在[ ,1]上单调递减, 则 h(x)min=h(1)=0,因此 a>0, 故选:C. 【点睛】导数问题经常会遇见恒成立,有解的问题: (1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题; (2)若 若 恒成立就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为 恒成立 ; (3)若 恒成立,可转化为 ,

(需在同一处取得最值)

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.某学校青年职工、中年职工、老年职工的人数之比为 7:5:3,为了了解该单位职工的健康情况,用分层 抽样的方法从中抽取样本 .若样本中的青年职工为 14 人,则样本容量为______.

....

....

【答案】30 【解析】 【分析】 根据给出的单位青年职工、中年职工、老年职工的人数之比为 7:5:3,得到青年职工在单位所占的人数比 例,从而得到中年职工和老年职工的人数和所占的比例,运用分层抽样中每层所抽取的比例相等,求该单 位中年职工和老年职工被抽取的人数和. 【详解】因为单位中青年职工、中年职工、老年职工的人数之比为 7:5:3,所以青年职工所占人数比例为



中年职工与老年职工的和所占人数比例为 , 设样本中中年职工和老年职工的人数和为 m,

则 故答案为:30.

所以 m=16,所以样本容量为 14+16=30.

【点睛】本题考查了分层抽样,分层抽样中每个个体被抽取的可能性是相等的,每一层被抽取的比例数相 等,此题是基础题. 14.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种,则他们选择相同颜色运动 服的概率为 【答案】 【解析】 试题分析:事件“甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种”包含的基本事 件有(红,红) , (红,白) , (红,蓝) , (白,红) , (白,白) , (白,蓝) , (蓝,红) , (蓝,白) , (蓝,蓝) 共 9 个;记“他们选择相同颜色运动服”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件有(红,红) , (白,白) , (蓝, 蓝)共 3 个;所以 考点:古典概型. 视频 . . .

15.设 F 为抛物线 【答案】32 【解析】 【分析】

的焦点,过 F 且倾斜角为

的直线交于 C 于

两点,则

=_____.

由抛物线方程求出焦点坐标,由直线的倾斜角求出斜率,写出过 A,B 两点的直线方程,和抛物线方程联立

....

....

后化为关于 x 的一元二次方程,由根与系数关系得到 A,B 两点横坐标的和,代入抛物线过焦点的弦长公式 得答案.
2 【详解】由 y =8x,得 2p=8,p=4,

则 F(2,0) ,

∴过 A,B 的直线方程为 y= (x﹣2) ,

联立

,得 x2﹣28x+4=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2=28, ∴|AB|=x1+x2+P=28+4=32. 故答案为:32. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查数学转化思想方法,涉及直线和圆锥曲线关系问题,常采 用联立直线和圆锥曲线,然后利用一元二次方程的根与系数关系解题,是中档题.

16.已知 F1,F2 分别是双曲线

的左、右焦点,若 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心



半径的圆上,则双曲线 C 的离心率为 _____. 【答案】2 【解析】 【分析】 首先求出 F2 到渐近线的距离,利用 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,可得直 角三角形,即可求出双曲线的离心率.

【详解】

由题意,设双曲线的方程为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 设一条渐近线方程为 y= x,



....

....

则 F2 到渐近线的距离为

=b.

设 F2 关于渐近线的对称点为 P,F2P 与渐近线交于 A, 可得|PF2|=2b,A 为 F2P 的中点, 又 O 是 F1F2 的中点,∴OA∥F1P,则∠F1PF2 为直角, 由△ MF1F2 为直角三角形,
2 2 2 由勾股定理得 4c =c +4b 2 2 2 2 2 即有 3c =4(c ﹣a ) ,即为 c =4a ,

即 c=2a,则 e= =2. 故为:2. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用,解题时根据对称性和题设条件判断出双曲线的渐近线斜率 的范围,列出不等式并转化为关于离心率的不等式是解答的关键,对于双曲线的离心率是双曲线最重要的

几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出 要根据一个条件得到关于 的齐次式,结合 转化为

,代入公式

;②只需

的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以

或 转化为关于 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得 ( 的取值范围).

三.解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.设函数 (1)求曲线 (2)求函数 在点 处的切线方程;

的单调区间.

【答案】 (1) 【解析】 【分析】

; (2)单调增区间为

,单调减区间为

(1)对函数求导,得到函数的斜率和切点,由点斜式写出直线方程; (2)对函数求导,根据导函数的正负得 到函数的单调区间.. 【详解】(1)函数 对函数求导得到 =-1,故切线的斜率为 4,切点为(0,-1) ,根据点斜式写出方程为: .

(2)

....

....

故单调增区间为

,单调减区间为

.

【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程;步骤一般为:一,对函数求导,代入已 知点得到在这一点处的斜率;二,求出这个点的横纵坐标;三,利用点斜式写出直线方程. 18.某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市的甲地、乙地分别对 5 个企业(共 10 个企业)进行综合评 估,得分情况如茎叶图所示.

(1)根据茎叶图,求乙地对企业评估得分的平均值和方差; (2)规定得分在 85 分以上为优秀企业,若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取 1 个,求这两 个企业得分的差的绝对值不超过 5 分的概率.(参考公式:样本数据 x1,x2,…,xn 的方差: ,其中 为样本平均数)

【答案】 (Ⅰ)88,48.4.(Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)直接利用茎叶图求解乙地对企业评估得分的平均值和方差即可. (Ⅱ)甲区优秀企业得分为 88,89,93,95 共 4 个,乙区优秀企业得分为 86,95,96 共 3 个.列出从两个 区各选一个优秀企业,所有基本事件,求出得分的绝对值的差不超过 5 分的个数.即可求解概率.

试题解析: (Ⅰ)乙地对企业评估得分的平均值是



方差是 (Ⅱ)从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取 1 个,有 , , , , , , , ,

.









组, 设“得分的差的绝对值不超过 5 分”为事件 ,则事件 包含有 , , , , , , , 共 组.

所以

所以得分的差的绝对值不超过 5 分的概率是 19.某地电影院为了了解当地影迷对快要上映的一部电影的票价的看法,进行了一次调研,得到了票价 x(单 位:元)与渴望观影人数 y(单位:万人)的结果如下表:

....

....

x(单位:元) y(单位:万人)

30 4.5

40 4

50 3

60 2.5

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程; (2)根据(1)中求出的线性回归方程,若票价定为 70 元,预测该电影院渴望观影人数.附:回归直线的斜率

和截距的最小二乘法估计公式分别为: 【答案】 (1) 【解析】 【分析】 ; (2)1.75 万人

,

(1)根据题目中的数据以及公式得到回归方程; (2)根据第一问中的方程,将 70 代入方程可得到人数. 【详解】(1)由表中数据可得
iyi-4

=45, =3.5,
2

=-35,

-4

=500,

则 =

=-0.07, =3.5+0.07×45=6.65,

所以,所求线性回归方程为 =-0.07x+6.65 (2)根据(2)中的线性回归方程,易得,当 x=70 时,为 1.75 万人. 【点睛】本题考查回归分析,考查线性回归直线过样本中心点,在一组具有相关关系的变量的数据间,这 样的直线可以画出许多条,而其中的一条能最好地反映 x 与 Y 之间的关系,这条直线过样本中心点.线性 回归方程适用于具有相关关系的两个变量, 对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的 预测值是预测变量的估计值,不是准确值. 20.全世界越来越关注环境保护问题, 某监测站点于 2018 年 1 月某日起连续 天监测空气质量指数( 据统计如下: 空气质量指数( 空气质量等级 天数 ) 空气优 20 空气良 40 轻度污染 中度污染 10 重度污染 5 ), 数

....

....

(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 , 的值,并完成频率分布直方图; (2)由频率分布直方图,求该组数据的众数和中位数; (3)在空气质量指数分别属于 和 的监测数据中,用分层抽样的方法抽取 天,再从中任意

选取 天,求事件 “两天空气都为良”发生的概率.

【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3) . 【解析】 分析: (1)利用统计表和频率分布直方图能求出 n,m 的值,并能完成频率分布直方图; (2)由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数; (3)气质量指数为 指数为 和 的监测天数中分别抽取 4 天和 1 天,在所抽取的 5 天中,将空气质量 的 天记为 ,从中任取 天,利用列举

的 天分别记为 , , , ;将空气质量指数为

法能求出事件 “两天空气都为良”发生的概率.

解析: (1)∵

,∴

,∵

,∴









.

(2)众数为 120.中位数为 (3)在空气质量指数为 指数为 分别为:

. 和 的监测天数中分别抽取 天和 天,在所抽取的 天中,将空气质量 的 天记为 ,从中任取 天的基本事件 , 共 种,其中事件 “两天空气都为

的 天分别记为 , , , ;将空气质量指数为 , , , , , , , , , , , , ,

良”包含的基本事件为

共 种,所以事件 “两天都为良”发生的概率是

....

....

. 点睛:本题考查频率分布直方图的应用,考查概率的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理 能力,考查化归与转化思想、数形结合思想.

21.已知椭圆

上一点

与椭圆右焦点的连线垂直于 x 轴,直线 l:y=kx+m 与椭圆

C 相交于 A,B 两点(均不在坐标轴上). (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 O 为坐标原点,若△AOB 的面积为 ,试判断直线 OA 与 OB 的斜率之积是否为定值?若是请求出,若 不是请说明理由.

【答案】 (1) 【解析】 【分析】

; (2)定值

(1)根据条件,代入已知点,和 a,b,c 的关系式,解得参数值,进而得到椭圆方程; (2)联立直线和椭圆方程

得到二次方程,由三角形的面积得到 4k2+3-2m2=0,kOA· kOB= 【详解】(1)由题意知 解得

,根据韦达定理得到结果即可.

∴椭圆 C 的标准方程为 + =1. (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 由
2 2 2 得(4k +3)x +8kmx+4m -12=0,

2 2 2 2 2 由 Δ =(8km) -16(4k +3)(m -3)>0,得 m <4k +3.

∵x1+x2=

,x1x2=

, = ,

∴S△ OAB= |m||x1-x2|= |m|·

2 2 2 2 2 化简得 4k +3-2m =0,满足 Δ >0,从而有 4k -m =m -3(*),

∴kOA· kOB= =

= =- ·

= ,由(*)式,得 =1,

∴kOA· kOB=- ,即直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值- . 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆

....

....

锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问 题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦 达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用. 22.已知函数 (1)讨论 (2)当 的单调性; 有最大值,且最大值大于 时,求 的取值范围. .

【答案】(1)当 (2) 的取值范围是 【解析】

时,

的增区间为

;当

时,

的增区间为



的减区间为



试题分析: (1)先求导数,再根据导函数符号是否变化进行讨论:若

,则

,在

单调递增;



,导函数先正后负,函数先增后减; (2)由(1)知函数有最大值条件为

,且最大值为

,转

化为解不等式 确定不等式解集
试题解析:解: (Ⅰ) 若 ,则

,先化简

,再利用导数研究函数

单调性及零点,

的定义域为 ,所以 在 单调递增

若 递减。

,则当

时,

;当

时,

。所以



单调递增,在

单调

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当

时,



无最大值;当

时,



取得最大值,最大值为

因此 令 于是,当

等价于 ,则 时, 在 ;当 单调递增, 时,

因此, 的取值范围是

....


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