辽宁省辽宁省营口市开发区第一高级中学2017_2018学年高一数学下学期第一次月考试题2019013101204


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2017—2018 学年度下学期高一第一次月考数学试卷
时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷 一、选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1、我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石, 验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 粒内夹谷 粒,则这批米内夹谷约为( ) A. 石 B. 石 C. 石 D.1365 石 2、如果下边程序执行后输出的结果是 ,那么 在程序 后面的“条件”应为( ) A. B. C. D. 3、为了考察两个变量 与 之间的线性关系,甲、乙两 同学各自独立做了 次和 次试验,并且利用线性回归 方法,求得回归直线分别为 、 .已知两人得到的试验 数据中变量 和 的数据的平均值相等,且分别都是 、 , 那么下列说法正确的是( ) A.直线 和 一定有公共点 B.直线 和 相交,但交点不一定是 C.必有直线 D.直线 与 必定重合 4、某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分 布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60), [60,80),[80,100].若低于 60 分的人数是 15 人,则 该班的学生人数是( ) A.45 B.50 C.55 D.60 5、 某人手表停了,他打开电视机,想利用电视机上整点显示时间来校正他的手表,则他等待不 超过一刻钟的概率为( ). A. B. C. D.

6、甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 ,再由乙猜甲刚才所想的数字, 把乙猜的数字记为 ,其中 ,若 ,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两 人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A. B. C. D.

7、集合 , ,则 ( ) A. B. 或 C. D. 8、从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
1

A.至少有 1 个黑球与都是黑球 C.恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 9、已知实数 , 满足 A. C. 10、已知函数 , A. C. B. D.

B.至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 D.至少有 1 个黑球与都是红球 ,且 ,则 等于( )

B. D. 是定义在 上的偶函数,且在区间 , ,则( )

上是增函数,令

11、设 是第二象限角,且 A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

,则 是(

)

12、已知 A. B.

是方程 C. 或

的根,则 D. 第Ⅱ卷

的值是(

)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、某校早上 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 之间到校,且每人在 该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 分钟到校的概率 为 .(用数字作答) 14、 袋中有形状、 大小都相同的 只球,其中 只白球,1 只红球, 只黄球,从中一次随机摸出 只球,则这 只球颜色不同的概率为 15、函数 16、若 ,化简 的定义域为 的结果是 . .

三、解答题(共 70 分) 17、(本小题满分 10 分)计算: 1. 2. ; .

18、(本小题满分 12 分)设 求证: .

,

.

2

20、 (本小题满分 12 分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客 的需求,为此,某市公交公司在某站台的 60 名候车的乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时 间作为样本分成 5 组,如下表所示: 组别 候车时间(分钟) 人数 一 [0,5) 2 二 [5,10) 6 三 [10,15) 4 四 [15,20) 2 五 [20,25) 1

1.估计这 15 名乘客的平均候车时间; 2.估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; 3.若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的 2 人恰好来自不同组 的概率. 21、(本小题满分 12 分)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余 垃圾、 可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放 情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):

1.试估计厨余垃圾投放正确的概率; 2.试估计生活垃圾投放错误的概率; 3.假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物” 箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为 其中 时 的值.(注: 21、(本小题满分 12 分)正四面体 1.设“ 2.设“ ”的事件为 ,求概率 且 .当数据 的方差 最大时,写出 的值(结论不要求证明),并求此 的平均数) 内部的点.

,

,其中 为数据 的体积为 , 是正四面体 ; .

”的事件为 ,求概率

22、 (本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 (单 位:千元)对年销售量 (单位: )和年利润 (单位:千元)的影响.对近 年的年宣传费 和年销 售量 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

3

表中

,

.

1.根据散点图判断, 与 哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方 程类型?(给出判断即可,不必说明理由) 2.根据 的判断结果及表中数据,建立 关于 的回归方程. 3.已知这种产品的年利润 与 , 的关系为 .根据 的结果回答下列问题: ①年宣传费 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据 , ,…, 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估

计分别为

,

.

4

2017—2018 学年度下学期 高一数学试卷答案 一、选择题 1.答案: B 解析: 设这批米内夹谷的个数为 ,则由题意并结合简单随机抽样可知, ,故应选 . 2.答案: D 解析: 第一次循环: ,此时应满足条件,再次循环; 第二次循环: ,应为输出的 的值为 ,所以此时应结束循环,所 后 面的“条件”应为 ,因此选 D。 点评:我们要注意“ 语句”和“ 语句”的区别。 语句是先判断,再执行循 环体,当条件满足时执行循环体;而 语句是先循环再判断,当条件不满足时执行循环 体。 3.答案: A 解析: 依据线性回归方程与系数的关系求解. 线性回归方程为 . 4.答案: B 解析: 的频率为 ,∴总人数为 5.答案: C 解析: 他只有在一个小时的后 . 6.答案: D 解析: 甲、乙两人玩游戏,其中 构成的基本事件共有 (组). 对于“心有灵犀”的数组,若 或 ,则 分别有 或 共 组; 若 ,则每个 有相应的 个数,因此“心有灵犀”的数组共有 ∴“心有灵犀”的概率为 7.答案: B 解析: 如图所示,在 或 . 为空集,分别取 , ,于是 , 在回归直线上,直线 一定有公共点 ,即

, .故选 B.

的频率为

,低于

分的频率为

分钟内打开电视,等待时间才不会超过 刻钟,所以

(组).

或 时, ,故选 B.

8.答案:C 9.答案: B 解析: 若实数 、 满足

,

5





异号,又

,故

,

,则

.

10.答案: A 解析: , ,所以 11.答案: C 12.答案: C 二、填空题 13.答案: ,选 A. ,因为 ,所以

解析: 设小张和小王到校时间分别为 和 ,则 所示.

,则满足条件的区域如图中阴影部分

故所求概率

.

14. 答案: 解析: 4 只球分别记为白、红、黄 1、黄 2,则从中一次摸出 2 只球所有可能的情况有: 白红、白黄 1、白黄 2、红黄 1、红黄 2、黄 1 黄 2,共 6 种情况,

其中 2 只球颜色不同的有 5 种,故 15.答案:

.

解析: 由题意得 对 可结合图一 得 ∴ 当 当 时, 时, ; ; . ,

.即

.

6

当 又有

时,

. ,可结合图二, .

利用数轴得定义域为

16.答案: 解析: 原式

. 当 原式 当 原式 三、解答题 17.答案: 1. 原式 . 2.原式 18.答案: ∵ 时, , 时, , , . , .

, ∴原式得证. 解析: 根据自变量所在的范围,代入相应的函数式化简计算. 19.答案: 1.这 名乘客的平均候车时间约为 (分钟). 2.这 所以这 名乘客中候车时间少于 分钟的频率为 ,

7

名乘客中候车时间少于

分钟的人数大约为

. ,第四组乘客编号为 , ,从 人中任选 ,

3.将第三组乘客编号为第四组乘客编号为 人共包含以下 个基本事件: , , 其中 人恰好来自不同组包含以下 个基本事 件: 于是所求概率为 . 20.答案: 1.厨余垃圾投放正确的概率约为 ,

.

. 2.设生活垃圾投放错误为事件 ,则事件 表示生活垃圾投放正确. 事件 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾” 箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即 . 3.当 时, 取得最大值.因为 .. 21.答案: 1.如图,分别取 并使 , , 则平面 平面 . 内部时,满足 . 上取点 ,使 、 ,在 上取点 ,使 , ,则 在正四面体 的内部及正四面体 ,于是 ,在 上取点 ,使 内部时,满足 ,连结 , ,分 . 的内 , 、 、 上的点 、 、 , ,连结 、 、 , ,所以 约为 所以 约为

当点 在正四面体 故 2.在 别交

于点 、 , 连结

结合题 1 可知,当 在正四面体 部时,同时满足 ,且

的内部,即 在正四面体 .

22.答案: 1.由散点图可以判断, 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类 型. 2.令 ,先建立 关于 的线性回归方程.

8

由于 所以 关于 的线性回归方程为 因此 关于 的回归方程为 3.①由 2 知,当 时, 年销售量 的预报值 年利润 的预报值 ②根据 2 的结果知,年利润 的预报值 所以当 值最大. ,即 , . , .

,

. 千元时,年利润的预报

时, 取得最大值.故年宣传费为

9


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