高中数学人教版选修2-3第一章 习题课2排列与组合


习题课(二)
课时目标 1.利用排列、组合知识解决综合性的计数应用题.2.提高学生的应用意识和分 析解决问题的能力.

m 1.排列数公式:An =________________________; m A n 组合数公式:Cm = =____________________. n Am m 2.解决计数应用题,可以通过对位置和元素的性质进行分类,对完成事情的步骤进行 分步.

一、选择题 1.8 人排成一排,其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有几种( ) 3 5 8 6 3 A.A6A5 B.A8-A6A3 3 4 C.A3 A D.A8 5 3 8-A6 2. 8 名运动员参加男子 100 米的决赛, 已知运动场有从内到外编号依次为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八条跑道,若指定的 3 名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如:4,5,6),则参加 比赛的这 8 名运动员安排跑道的方式共有( ) A.360 种 B.4320 种 C.720 种 D.2160 种 3.从正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点中选取 4 个作为四面体的顶点,可得到的不 同四面体的个数是( ) A.C4 B.C4 8-12 8-8 4 C.C8-6 D.C4 8-4 4.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台,则不同的取法共有( ) A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种 5.6 人被邀请参加一项活动,必须有人去,去几人自行决定.若最终有 n 个人去的方 法是 15 种,则 n 的值为( ) A.2 B.4 C.2 或 4 D.2 或 3 二、填空题 6.8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为________.(用式 子表示) 7.现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻 译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是________. 8.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类 课程中各至少选一门,则不同的选法共有________种. 三、解答题 9.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100m 的接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四 棒,则共有多少种不同的参赛方法?

10.某次文艺晚会上共演出 8 个节目,其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目,求分 别满足下列条件的排节目单的方法种数: (1)一个唱歌节目开头,另一个压台; (2)两个唱歌节目不相邻; (3)两个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻.

能力提升 11.从集合{1,2,3,…,20}中任选出 3 个不同的数,使这 3 个数成等差数列,这样的等 差数列可以有多少个?

12.某晚会已定好节目单,其中小品 3 个,歌舞 2 个,相声 2 个.后来由于情况有变, 需加上诗歌朗诵和快板两个节目, 但不能改变原先节目的相对顺序, 问节目演出的方式可能 有多少种?

1.解计数应用题,分类标准要统一,防止出现遗漏或重复.

2.对同一问题可多角度考虑,深入分析,相互验证,提高解题能力.

习题课(二) 答案
知识梳理 1.n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n?n-1??n-2?…?n-m+1? m! 作业设计 1.A [使用插空法,先排甲、乙、丙外的 5 人,共 A5 5种方法.然后在形成的 6 个空中 插入甲、乙、丙共有 A3 种方法. 6 5 ∴共有 A3 6×A5种排法.] 2.B [三个连续数字的可能情况是 6 种,被选中的运动员全排,剩下的 5 名运动员全 5 排,所以这 8 名运动员安排跑道的方式共有 6A3 3A5=4320(种).] 3.A [在正方体中,6 个面和 6 个对角面上的四个点不能构成四面体,所以一共有 C4 8 -12.] 2 2 1 4.C [分两类:(1)甲型 1 台,乙型 2 台:C1 4C5;(2)甲型 2 台,乙型 1 台:C4C5.所以 1 2 2 1 一共有 C4C5+C4C5=70(种).] 5.C 8 2 6.A8 A9 解析 采用插空法,先排 8 名学生,共有 A8 8种方法;再在 8 名学生形成的 9 个空中排 2 2 位老师,有 A9种排法, 2 ∴共有排法:A8 8×A9种. 7.126 3 解析 分类讨论:若有 2 人从事司机工作,则方案有 C2 3×A3=18(种);若有 1 人从事司 1 2 3 机工作,则方案有 C3×C4×A3=108(种),所以共有 18+108=126(种). 8.30 解析 方法一 可分两种互斥情况:A 类选 1 门,B 类选 2 门或 A 类选 2 门,B 类选 1 2 2 1 门,共有 C1 3C4+C3C4=18+12=30(种)选法. 3 方法二 总共有 C3 7=35(种)选法,减去只选 A 类的 C3=1(种),再减去只选 B 类的 3 C4=4(种),故有 30 种选法. 9.解 分两类:若乙跑第一棒,共有 A3 5=60(种); 1 若乙不跑第一棒,则跑第一棒的选择有 C1 4种,此时跑第四棒的选择有 C4种,余下的第 2 1 1 2 二、三棒则在剩下的四人中选两人跑,有 A4种,所以有 C4C4A4=192(种). 所以共有 192+60=252(种)不同的参赛方法. 6 2 10.解 (1)先排唱歌节目有 A2 A6 2种排法,再排其他节目有 A6种排法,所以共有 A2· 6= 1440(种)排法. (2)先排 3 个舞蹈节目,3 个曲艺节目有 A6 6种排法,再从其中 7 个空(包括两端)中选 2 个 2 6 排唱歌节目,有 A7种插入方法,所以共有 A6· A2 7=30240(种)排法. (3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素,与 3 个曲艺节目排列共 A4 4种排法,再将 3 个 3 舞蹈节目插入,共有 A5种插入法,最后将 2 个唱歌节目互换位置,有 A2 2种排法,由分步乘 法计数原理,符合要求的排法有:A4 A3 A2 4· 5· 2=2880(种). 11.解 设 a、b、c∈N,且 a、b、c 成等差数列,则 a+c=2b,即 a+c 应是偶数.因 此从 1 到 20 这 20 个数字中任选出三个数成等差数列, 则第一个数与第三个数必同为偶数或 同为奇数, 而 1 到 20 这 20 个数字中有 10 个偶数和 10 个奇数. 当第一个和第三个数选定后, 中间数被唯一确定.因此,选法只有两类. (1)第一、三个数都是偶数,有 A2 10种选法; (2)第一、三个数都是奇数,有 A2 10种选法;

于是,选出 3 个数成等差数列的个数为 2 A2 10+A10=180(个). 12.解 方法一 若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有 A9 9种排法;但是原先的 A9 9 节目已经定好顺序,需要消除,故有 7=A2 9=72(种)排法. A7 方法二 共有 9 个元素,9 个空,先选 2 个空,安排朗诵和快板,有 A2 9种排法;再将 7 剩下的空安排其他元素,由于顺序已定,故只有 1 种方法,则共有 A2 9C7=72(种)排法.


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