安徽省郎溪中学2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题文-含答案 师生通用


做题破万卷,下笔如有神 第二学期高二年级第一次月考
数 学 (文)试 题
时间:120 分钟;分值:150 分

(I 卷) 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.复平面内表示复数 5i 的? 点位于( ) 1? 2i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
2.双曲线 y 2 ? x 2 ? 1 的渐近线方程是( ) 34

D.第四象限

A、 y ? ? 2 3 x 3

B、 y ? ? 3 x 2

C 、y?? 3x 2

D、 y ? ? 2 x 3

3.抛物线 y2=4x 的焦点坐标是( )

A. (0,2)

B. (0,1)

C. (2,0)

D. (1,0)

4.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn 不全相等)
1 的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y=2x+1 上,则这组样本数据的

样本相关系数为 ( )

A. -1

B. 0

1 C. 2

D. 1

5、设 f (x) ? x ln x ,若 f '(x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( )

A. e2 B. e

C. ln 2 2

D. ln 2

6.设

p∶

x2

?

x

? 2<0, q



1? x x?2

< 0,则

p



q

的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.曲线 y ? ex 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

A. 9 e2 4

B. 2e2

C. e2

D. e2 2

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8. 已知双曲线 C 与椭圆 E : x2 ? y2 ? 1有共同的焦点,它们的离心率之和为 14 ,则双

9 25

5

曲线 C 的标准方程为( )

9. 函数 f (x) ? 1 x2 ? ln x 的图像大致是(



2

10.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,

|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( )

A2

B 22

C4

D8

11. 函数 f (x )的定义域为 R, f

,对任意 x R , f '(x) >2,则

f (ln x) ? 2ln x ? 4 的解集为( )

A、(0,e

B、( e,+

C、( 0,1)

12.设椭圆

的左、右焦点分别为

D、( 1,+ ,点

在椭圆

的外部,点 是椭圆上的动点,满足

围是( )

A.

B.

C.

恒成立,则椭圆离心率 的取值范 D.

(II 卷) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.命题“ x∈R,x2-x+3>0”的否定是
14. 若三角形内切圆半径为 r,三边长为 a,b,c 则三角形的面积 S ? 1(r a ? b ? c);利用类 2
比思想:若四面体内切球半径为 R,四个面的面积为 S1,S2,S3,S4 ;则四面体的体积 V=

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15. 若函数 f (x) ? kx ? ln x 在区间 (2,+ 单调递增,则实数 k 得取值范围是
_________. 16.、正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的 面积为_________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 10 分)已知命题 :方程

表示焦点在 轴上的椭圆;命题 :

方程

表示离心率

的双曲线。

(1)若命题 为真命题,求实数 的取值范围 (2)若 为真命题且 为假命题,求实数 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分)2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出,

将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生

对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查,其中女生中对冰球运
动有兴趣的占 2 , 3
而男生有 10 人表示对冰球运动没有兴趣额.

(1)完成

列联表,并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”?

有兴趣 没有兴趣

合计



55



合计

(2)已知在被调查的女生中有 5 名数学系的学生,其中 3 名对冰球有兴趣,现在从这 5 名 学生中随机抽取 3 人,求至少有 2 人对冰球有兴趣的概率.

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附表:
P(k ? k0 ) 0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072 2.706

K2 ?

n(ad ? bc)2

(a ? b)(c ? d)(a ? c)(b ? d)

3.841

5.024

6.635

19. (本小题满分 12 分)如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1、F2 分别 π
为左、右焦点,双曲线的左支上有一点 P,∠F1PF2= 3 ,且△PF1F2 的面积为 2 3,又双曲线 的离心率为 2,求该双曲线的方程.

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lnx+ax. (1)若曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 y=4x+1 平行,求 a 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性.
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21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为

F1,

F2



焦距为 2,过 (1,0) 点作直线与椭圆交于 A、B 两点,连接 AF1,BF1,且 ABF1 的周长为

4 2。 (1)求椭圆 C 的标准方程

(2)若

,求直线 AB 的方程

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? 1 ? a ln x ( a ? 0 , a ? R ).
x
(1)若 a ?1,求函数 f ? x? 的极值和单调区间; (2)若在区间 ?0, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 成立,求实数 a 的
取值范围.

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一.选择题:

1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.D 7.D 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B

二.填空题:

13. ?x ? R, x2 ? x ? 3 ? 0 ; 14.
一、 解答题:

1 3

r(S1

?

S2

?

S3

?

S4

)

15. [1 ,??) 2

16. 18 或 50

17. 【详解】(I)方程

可改写为

若命题 为真命题,则



所以



. .................................4 分

(II)若命题 q 为真命题,则

,所以命题 q 为真命题时

,

为真命题且 为假命题

p 真 q 假或 p 假 q 真



,





....................10 分

18. 【详解】(1)根据已知数据得到如下列联表

有兴趣 没兴趣

合计



45

10

55



30

15

45

合计

75

15

100

由列联表中的数据可得,因为


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所以有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”..............

6分

(2)记 5 人中对冰球有兴趣的 3 人为 A、B、C,对冰球没有兴趣的 2 人为 m、n,

则从这 5 人中随机抽取 3 人,所有可能的情况为:

(A,m,n),(B,m,n),(C,m,n),(A,B,m),(A,B,n),(B,C,m),(B,C,n),(A,C,m),

(A,C,n),(A,B,C),共 10 种情况,

其中 3 人都对冰球有兴趣的情况有(A,B,C),共 1 种,2 人对冰球有兴趣的情况有(A,B,m),

(A,B,n),(B,C,m),(B,C,n),(A,C,m),(A,C,n),共 6 种,

所以至少 2 人对冰球有兴趣的情况有 7 种,因此,所求概率为

12 分

x2

y2

19. 【 详 解 】 设 双 曲 线 的 方 程 为 a2 - b2 = 1 ∴ F1( - c,0),F2(c,0)P(x0 ,

y0).

π 在△PF1F2 中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 3 (3 分)

=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即 4c2=4a2+|PF1|·|PF2|.。。。。(6 分)

1

π

又∵S△PF1F2=2 3,∴2|PF1|·|PF2|·sin 3 =2 3.∴|PF1|·|PF2|=8. (8 分)

c

2

3x2 y2

∴4c2=4a2+8,即 b2=2.又∵e=a=2,∴a2=3.∴所求双曲线方程为 2 - 2 =1.(12 分)

20.【详解】(1):因为 f′(x)= +a 所以 f′(1)=a+1 又 f(1)=a, 所以切线方程为:y-a=(a+1)(x-1), 即 y=(a+1)x-1, 又切线与直线 y=4x+1 平行 所以 a+1=4,即 a=3, (2):由(1)得 f′(x)= +a= ,x>0,

即切线的斜率 k=a+1,

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若 a>0,则 f′(x)>0, 此时函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数, 若 a<0,则 当 ax+1>0 即 0<x<- 时,f′(x)>0, 当 ax+1<0 即 x>- 时,f′(x)<0, 此时函数 f(x)在(0,- )上为单调递增函数,在(- ,+∞)上为单调递减函数. 21.

22.

【详解】

(1)当 a ?1,

f

?

?

x

?

?

?

1 x2

?1 x

?

x ?1 , x2

令 f ?? x? ? 0,得 x ?1,

又 f ? x? 的定义域为 ?0, ???,由 f ?? x? ? 0 得 0 ? x ?1,由 f ?? x? ? 0得 x ?1,

所以 x ?1时, f ? x? 有极小值为1.

f ? x? 的单调递增区间为 ?1, ???,单调递减区间为 ?0,1? .

(2)

f

??x?

?

?

1 x2

?

a x

?

ax ?1 x2

,且 a

?

0 ,令

f

??x?

?

0 ,得到

x

?

1 a

,若在区间 ?0, e? 上

存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 成立,即 f ? x? 在区间 ?0, e? 上的最小值小于 0 .

当 x ? 1 ? 0 ,即 a ? 0 时, f ?? x? ? 0 恒成立,即 f ? x? 在区间 ?0, e? 上单调递减,
a

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故 f ? x? 在区间 ?0, e? 上的最小值为 f ?e? ? 1 ? a ln e ? 1 ? a ,

e

e



1 e

?

a

?

0

,得

a

?

?

1 e

,即

a

?

? ??

??,

?

1 e

? ??



当 x ? 1 ? 0 ,即 a ? 0 时, a

①若 e ? 1 ,则 f ?? x? ? 0 对 x ??0,e?成立,所以 f ? x? 在区间 ?0, e? 上单调递减,
a

则 f ? x? 在区间 ?0, e? 上的最小值为 f ?e? ? 1 ? a ln e ? 1 ? a ? 0 ,

e

e

显然, f ? x? 在区间 ?0, e? 上的最小值小于 0 不成立

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