2015-2016学年高中数学 第2章 4导数的四则运算法则课件 北师大版选修2-2


第二章
变化率与导数

第二章
§4 导数的四则运算法则

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

4

课 时 作 业

课前自主预习

能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运

算法则求简单函数的导数
本节重点:导数的四则运算及其运用. 本节难点:导数的四则运算法则的正确应用.

导数的四则运算
知识点 导数的 加、减法 知识点要素 梳理知识要点

导数的加、 两个函数的和(或差)的导数,等于 减法法则 表达式 常数与函数 这两个函数的导数的和(或差) [ f (x)± g(x)] ′=f′(x)± g′(x) 法则:常数与函数的积的导数, 等于常数与函数的导数的积 表达式:[ cf (x)] ′=cf′(x)

导数的

乘、除法 的积的导数

知识点 知识点要素

梳理知识要点 法则:两个函数的积的导数,等于第 一个函数的导数乘以第二个函数,加 两个函数的 上第一个函数乘以第二个函数的导数 积的导数 表达式:[ f (x)g(x)] ′=f′(x)g(x)+ f(x)g′(x) 导数的 法则:两个函数的商的导数,等于分 乘、除 子的导数与分母的积,减去分母的导 法 数与分子的积,再除以分母的平方 两个函数的 f ? x? 商的导数 表达式:[ ]′= g?x? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0) g2?x?

1.可导函数的四则运算法则是解决函数四则运算形式的求
导法则,也是进一步学习导数的基础,因此,必须透彻理解函 数求导法则的结构内涵,注意挖掘知识的内在联系及规律,通

过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提升能力的目的.
2 .利用导数的定义推导出函数的和、差、积的求导法 则,以及常见函数的导数公式之后,对一些简单函数的求导问 题,便可直接应用法则和公式很快地求出导数,而不必每一问 题都回到定义.

3.应用导数的四则运算法则和常见函数的导数公式求导 数时,在可能的情况下,应尽量少用甚至不用乘积的求导法 则,应在求导之前,先利用代数、三角恒等变形对函数进行化 简,然后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,避免 出错. 4.[ f (x)± g(x)] ′=f′(x)± g′(x)的推广 [ f 1(x)± f 2(x)± f 3(x)± f 4(x)± …± f n(x)] ′= f1′(x)± f2′(x)± f3′(x)± …± fn′(x)

5.积或商的导数法则的误解 [ f (x)g(x)] ′≠f′(x)g′(x)
? f ? x? ? f′?x? ? ? ?g?x??′≠g′?x? ? ?

6.公式[ f (x)g(x)] ′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)的推广 [ f 1(x)· f 2(x)· f 3(x)…f n(x)] ′=f1′(x)f2(x)f3(x)…fn(x)+ f1(x)f2′(x)f3(x)f4(x)…fn(x)+…+f1(x)f2(x)…fn′(x)

1.曲线y=2x3-6x上的切线平行于x轴的点的坐标是(
A.(-1,4) C.(-1,-4)或(1,4) B.(1,-4) D.(-1,4)或(1,-4)

)

[答案] D
[解析] y′=(2x3-6x)′=6x2-6, 由y′=0,得x=1或x=-1. 代入y=2x3-6x,得y=-4或y=4, 即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4).

2.(2014· 合肥一六八高二期中)下列函数中,导函数是奇 函数的是( ) B.y=ex 1 D.y=cosx-2

A.y=sinx C.y=lnx

[答案] D

[ 解析]

由y=sinx得y′=cosx为偶函数,故A错;又y=ex

时,y′=ex为非奇非偶函数,∴B错;C中y=lnx的定义域 1 x>0,∴C错;D中y=cosx- 2 时,y′=-sinx为奇函数,∴选 D.

x2 1 3.已知曲线y= 4 -3lnx的一条切线的斜率为 2 ,则切点的 横坐标为( A.3 C.1 ) B.2 1 D.2
1 3 1 y′=2x-x =2,∴x2-x-6=0,

[答案] A
[ 解析]

解得x1=3,x2=-2. 又∵x>0,∴x=3.

sinx 4.(2014· 深圳模拟)函数f(x)= x 的导数是( xsinx+cosx A. x2 xsinx-cosx C. x2
[答案] D

)

xcosx+sinx B. x2 xcosx-sinx D. x2

[ 解析]

xcosx-sinx sinx f′(x)=( x )′= ,故选D. x2

利用求导公式和法则求导
求下列函数的导数. (1)y=x4-3x2-5x+6; (2)y=x· tan x; (3)y=(x+1)(x+2)(x+3); x-1 (4)y= . x+1 [分析] 仔细观察和分析各函数的结构规律,紧扣求导运

算法则,联系基本函数求导公式,不满足求导法则条件的可适 当进行恒等变形,步步为营,使解决问题水到渠成.

[ 解析]

(1)y′=(x4-3x2-5x+6)′

=(x4)′-3(x2)′-5x′+(6)′=4x3-6x-5. x· sin x (2)y′=(x· tan x)′=( cos x )′ ?xsin x?′· cos x-xsin x· ?cos x?′ = cos2 x ?sin x+xcos x?· cos x+xsin2x sin x· cos x+xcos2x+xsin2x = = cos2 x cos2x 1 2 2 sin 2 x + x cos x + x sin x sin 2x+2x 2 = = 2cos2x . cos2x

(3)解法一:y′=[(x+1)(x+2)] ′(x+3)+(x+1)(x+2)(x +3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′] (x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.

解法二:y=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. (4)解法一:y′=( x-1 x+1 ) ′=

?x-1?′?x+1?-?x-1??x+1?′ ?x+1?-?x-1? 2 = = . ?x+1?2 ?x+1?2 ?x+1?2 2 2 2 解法二:y=1- ,y′=(1- )′=(- )′=- x+1 x+1 x+1 2′?x+1?-2?x+1?′ 2 = 2 2. ?x+1? ?x+1?

[点评]

通过本例可以看出,深刻理解和掌握导数运算法

则,再结合给定函数本身的特点,才能准确有效地进行求导运

算,才能充分调动思维的积极性,在解决问题时做到举一反
三,触类旁通.

(1)y=x2· sinx; ex+1 (2)y= x . e -1

[分析]

仔细观察和分析各函数的结构规律,紧扣求导运

算法则,联系基本函数求导公式,不具备求导法则条件的可适 当进行恒等变形.

[ 解析]

(1)y′=(x2)′· sinx+x2· (sinx)′

=2x· sinx+x2· cosx; ?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ (2)y′= ?ex-1?2 ex?ex-1?-?ex+1?ex -2ex = = x x 2 2. ?e -1? ?e -1?

切线的斜率
已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方 程及切点坐标; 1 (3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=- 4 x+3垂直,求 切点坐标与切线的方程.

[ 解析]

(1)∵f ′(x)=3x2+1,

∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f ′(2)=13. ∴切线的方程为y=13x-32. (2)解法1:设切点为(x0,y0), 则直线l的斜率为f ′(x0)=3x2 0+1,
3 ∴直线l的方程为y=(3x2 0+1)(x-x0)+x0+x0-16,

又∵直线l过原点(0,0),
3 ∴0=(3x2 + 1)( - x ) + x 0 0 0+x0-16,

整理得,x3 0=-8,∴x0=-2,∴y0=-26,k=13. ∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).

解法2:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0), y0 -0 x3 0+x0-16 则k= = , x0 x0 -0 又∵k=f ′(x0)=3x2 0+1, x3 0+x0-16 2 ∴ = 3 x 0+1,解之得,x0=-2, x0 ∴y0=-26,k=13. ∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).

x (3)∵切线与直线y=-4+3垂直, ∴切线的斜率k=4. 设切点坐标为(x0,y0),则f ′(x0)=3x2 0+1=4, ∴x0=± 1,
? ?x0=1 ∴? ? ?y0=-14 ? ?x0=-1 ,或? ? ?y0=-18



∴切线方程为y=4x-18或y=4x-14. 切点坐标为(1,-14),(-1,-18).

π π (1)(2014· 银川检测)若曲线f(x)=xsinx+1在点( 2 , 2 +1)处 的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a=( A.-2 C.1 B.-1 D.2 )

(2)若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k =________.

[ 答案]

(1)D (2)-1

[ 解析]

π (1)由f′(x)=sinx+xcosx,得f′(2)=1,即函数f(x)

π π =xsinx+1在点( 2 , 2 +1)处的切线的斜率为1,又因为直线ax a a +2y+1=0的斜率为-2,所以(-2)×1=-1,所以a=2. 1 (2)解:y′=k+x ,y′|x=1=k+1=0, ∴k=-1.

一 函数y=sin2x的导数是( A.cos2x C.2cosx [误解] A D.2sinx )

B.2cos2x

[正解] y′=(sin2x)′=(2sinxcosx)′
=2[cosx·cosx+sinx·(-sinx)] =2(cos2x-sin2x)=2cos2x. 故选B.

[点评]

错解中在求sin2x的导数时产生错误,不能用导数

公式直接求解,而应将sin2x进行变形,变形为能借助求导法则 和公式求导的形式.

已知函数f(x)=2x3+5, f?2-3Δx?-f?2? 求 lim 的值. Δx Δx→0 [ 误解一] 因为f′(x)=6x2,

f?2-3Δx?-f?2? 所以 lim =f′(2)=24. Δx Δx→0 [ 误解二] f?2-3Δx?-f?2? 因为f′(x)=6x ,所以 lim Δx Δx→0
2

f?2-3Δx?-f?2? =3lim =3f′(2)=72. 3 Δx Δx→0

[ 正解]

因为f′(x)=6x2,

f?2-3Δx?-f?2? 所以 lim Δx Δx→0 f?2?-f?2-3Δx? =-3lim =-3f′(2)=-72. 3 Δx Δx→0

[ 点评]

未能把握导数定义中Δy与Δx的严格对应关系,实

f?x+Δx?-f?x? 际上f′(x)= lim 中增量Δx分子与分母要一致, Δ x Δx→0 这与用哪个字母没关系,f′(x)完全可定义为 f?x+3h?-f?x? . 3h lim
h→0


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