第二章平面向量小结复习课 提纲+例题 (共两课时)上课使用【推荐】_图文


必修四 第二章 平面向量复习小结课
高一数学备课小组

一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B 1)图形表示 A 有向线段AB

2)字母表示

a ? AB
向量的模 :| a |?| AB |
a ? xi ? y j ? ( x, y)

3)坐标表示
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一.基本概念
2.零向量及其特殊性

判断正误 (1)0长度为0,没有方向 (2)0与a不平行 (3)0没有相反向量 (4)? 0 ? 0 (5)0 ? a ? 0
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3.单位向量

a 与非零向量a共线的单位向量a0 ? ? |a|
练习:已知a ? ? 3, ?4 ? , 则与a共线的单位向量是 _______

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一.基本概念
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量

规定: 0 / /a 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量
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?(?a) ? a, a ? (?a) ? 0

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.

一.基本概念
7.两个非零向量 a与b 的夹角

? ?[0, ? ]
首要的是通过向量平移,使两个向量共起点

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二.基本运算(向量途径) 1.向量加法的三角形法则

a ? b ? AB ? BC ? AC

特点:尾首顺次相接 首指向尾为和 特点:起点相同 对角为和

2.向量加法的平行四边形法则

ABCD中, a ? b ? AB ? AD ? AC
向量加法的运算律(交换律、结合律)

3.向量减法的三角形法则
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a ? b ? AB ? AD ? DB

特点:起点相同 连接终点 指向被减

在平行四边形ABCD中, AB ? a, AD ? b, 分别 表示出AC , DB及边与对角线之间的关系。
D
C

AB ? DC; AD ? BC

b
A

AC ? a ? b;

a
2

B

DB ? a ? b
2 2 2

|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

| a ? b | ? | a ? b | ? 2(| a | ? | b | )
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二.基本运算
3.实数与向量的积

?a

是一个向量

? a是一个与a共线的向量
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二.基本运算
4.两个非零向量 a与b 的数量积

a ? b ?| a | ? | b | cos ?
向量数量积的几何意义

| b | cos ? 叫做向量b在a方向上的投影
2? 练习已知 . | a |? 4, e为单位向量, 它们的夹角为 , 3 则 a在e方向上的投影是 __; e在a方向上的投影是 __ . 16:15:54

a ?b ? |a|

可正可负可为零

二.基本运算

若a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 1)a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 2)a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 3)? a ? (? x1 , ? y1 ) 4)a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
5) | a |? a ? a ? a ?b 6) cos ? ? ? 16:15:54 | a ||b|

x ?y
2 1
2 1

2 1

x1 x2 ? y1 y2 x ?y
2 1

x ?y
2 2

2 2

?1? OA ? ? x , y ? ? 2? AB ? ( x ? x , y ? y ) ? 3? AB ? ? x ? x ? + ? y ? y ? ?x ?x ? 4?中点坐标公式为: ? ? 2
1 1
2 1 2 1
2 2 2 1 2 1

若A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则

1

2

练习.已知向量A ?1, 3 , B ?2, 2 3
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?

? ?

y1 ? y2 ? , ? 2 ?

?

(1)求 AB;(2)求 AB ;(3)求A与B的中点坐标。

三.两个等价条件

若a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则
1.向量a和非零向量b a // b ? 有唯一的实数?,使a ? ?b

x1 y2 ? x2 y1 ? 0
2.非零向量a和b a?b?
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a ?b ? 0

x1 x2 ? y1 y2 ? 0

练习:已知OA ? (2, ?1 ), OB ? (3,m), OC ? ? ?1,m ? 1?

?1? 若A、B、C三点共线,求实数m的值; ? 2 ? 若 AB ? BC , 求实数m的值。

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四.一个基本定理
2.平面向量基本定理

如果e1、 e2是同一平面内的两个不共线的 向量, 那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只有一对实数?1 , ?2 , 使a ? ?1 e1 ? ?2 e2 把不共线的向量e1、叫做表示这一 e2 平面内所有向量的一组基底.
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五.应用举例

向量加减法则

例1.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一 点N满足CD=3CN,

设OA ? a, OB ? b, 试用a, b表示MN

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五.应用举例
例2.

向量的长度与夹角问题

已知两单位向量a与b的夹角为120 ,若 c ? 2a ? b, d ? 3b ? a, 试求c与d的夹角的 余弦值.

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五.应用举例
例3.

平行与垂直问题

平面内给定三个向量a ? (3, 2), b ? (?1, 2), c ? (4,1) 1)求满足a=mb+nc的实数m,n; 2)若(a+kc) ?(2b-a),求实数k; 3)若d满足(d -c)//(a+b),且|d -c|= 5,求d .

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五.应用举例
例4.

平行与垂直问题

已知向量a=(cos? ,sin? ), b=(cos? ,sin? ), 且a, b满足关系 | ka ? b |? 3 | a ? kb | (k ? 0) 1)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k); 2)a能否和b垂直?a能否和b平行?若不能,则 说明理由;若能,求出对应的k 值; 3)求a与b夹角的最大值.
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