2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数课时达标训练


3.3.1 函数的单调性与导数

课时达标训练

1.若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f′(x)>0 的解集为 ( )

A.(0,+∞)

B.(-1,0)∪(2,+∞)

C.(2,+∞)

D.(-1,0)

【解析】选 C.函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-2- =

.

令 f′(x)>0,得 x>2,所以 f′(x)>0 的解集为{x|x>2}.

2.命题甲:对任意 x∈(a,b),有 f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选 A.f(x)=x3 在(-1,1)内是单调递增的,但 f′(x)=3x2≥0(-1<x<1),故甲是乙的充

分不必要条件. 3.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),若 a2-3b<0,则 f(x)是 ( )

A.减函数

B.增函数

C.常数函数

D.既不是减函数也不是增函数 【 解 析 】 选 B. 由 题 意 知 f ′ (x)=3x2+2ax+b, 则 方 程 3x2+2ax+b=0 的 根 的 判 别 式 Δ =4a2-12b=4(a2-3b)<0,故 f′(x)>0 在实数集 R 上恒成立,即 f(x)在 R 上为增函数. 4.函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间是________. 【解析】因为 f′(x)=3x2-30x-33=3(x+1)(x-11).

由 f′(x)<0,得-1<x<11,

所以 f(x)的单调减区间为(-1,11).

答案:(-1,11)

5.已知导函数 y=f′(x)的图象如图所示,请根据图象写出原函数 y=f(x)的单调递增区间是

________.

【 解 析 】 从 图 象 可 知 f ′ (x)>0 的 解 为 -1<x<2 或 x>5, 所 以 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (-1,2),(5,+∞). 答案:(-1,2),(5,+∞) 6.已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调函数,则 b 的取值范围是________. 【解析】若函数是单调递增函数,则 y′≥0 恒成立,即 x2+2bx+b+2≥0 恒成立,所以Δ =4b2-4(b+2)≤0,所以-1≤b≤2,由题意 f(x)不单调,则 b<-1 或 b>2. 答案:b<-1 或 b>2 7.函数 y=f(x)的图象如图所示,试画出导函数 f′(x)图象的大致形状.
【解析】f′(x)图象的大致形状如图所示:
注:图象形状不唯一.


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