河北省巨鹿县二中2018届高三下学期3月月考数学(理)试卷 Word版含答案 (2)


高三 3 月月考

理科数学
本试卷 5 页,23 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={x|x<1},B={x| 3x ? 1 },则 A. A ? B ? {x | x ? 0} D. A ? B ? ? 2.如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部 分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 B. A ? B ? R C. A ? B ? {x | x ? 1}

A.

1 4

B.

π 8

C.

1 2

D.

π 4

3.设有下面四个命题

1 p1 :若复数 z 满足 ? R ,则 z ? R ; z
z?R ;

p2 :若复数 z 满足 z 2 ? R ,则

p3 :若复数 z1 , z2 满足 z1 z2 ? R ,则 z1 ? z2 ;
其中的真命题为 A. p1 , p3 B. p1 , p4 C. p2 , p3

p4 :若复数 z ? R ,则 z ? R .
D. p2 , p4

4.记 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和.若 a4 ? a5 ? 24 , S6 ? 48 ,则 {an } 的公差为 A.1 B.2 C.4 D.8

5.函数 f ( x) 在 (??, ??) 单调递减,且为奇函数.若 f (1) ? ?1 ,则满足 ?1 ? f ( x ? 2) ? 1 的

x 的取值范围是
A. [?2, 2] 6. (1 ? B. [?1,1] C. [0, 4] D. [1,3]

1 )(1 ? x)6 展开式中 x 2 的系数为 2 x
B.20 C.30 D.35

A.15

7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正

方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯 形的面积之和为

A.10

B.12
n n

C.14

D.16 和 两个空白框中,

8.右面程序框图是为了求出满足 3 ?2 >1000 的最小偶数 n,那么在 可以分别填入

A.A>1 000 和 n=n+1 000 和 n=n+2

B.A>1 000 和 n=n+2

C.A ? 1 000 和 n=n+1

D.A ? 1

9.已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+

2π ),则下面结论正确的是 3
π 个 6

A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 单位长度,得到曲线 C2 B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 单位长度,得到曲线 C2 C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 单位长度,得到曲线 C2 D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 单位长度,得到曲线 C2

π 个 12

1 π 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个 2 6

1 π 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个 2 12

10.已知 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 C 交于 A、

2

B 两点,直线 l2 与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16 B.14 C.12 D.10

11.设 xyz 为正数,且 2 x ? 3y ? 5z ,则 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z

12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣, 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的 答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,?,其中第一项是 2 ,接下来的两项是 2 ,2 ,再接下来的三项是 2 ,2 ,2 ,依此类推。求满足如下条件的 最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220 D.110
0 0 1 0 1 2

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= .

?x ? 2 y ? 1 ? 14.设 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? ?1,则 z ? 3x ? 2 y 的最小值为 . ?x ? y ? 0 ?
15.已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径做圆 A,圆 a 2 b2

A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若∠MAN=60°,则 C 的离心率为________。
16.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、

F 为圆 O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形。沿
虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得 D、E、F 重合, 得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm )的最大值为_______。
3

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 (1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.

a2 3sin A

18.(12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 ?BAP ? ?CDP ? 90? .

(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, ?APD ? 90? ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 19.(12 分) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零 件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产 的零件的尺寸服从正态分布 N (?, ? 2 ) . (1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的零件数,求 P( X ? 1) 及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的零件,就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.26 经计算得 x ? 10.12 9.91 9.96 10.13 9.96 10.02 10.01 9.22 9.92 10.04 9.98 10.05 10.04 9.95

1 16 1 16 1 16 2 2 xi ? 9.97 , s ? ( x ? x ) ? (? xi ? 16 x 2 )2 ? 0.212 , ? ? i 16 i ?1 16 i ?1 16 i ?1

其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸, i ? 1, 2, ???,16 .

? ,用样本标准差 s 作为 ? 的估计值 ? ? ,利用估计值判 用样本平均数 x 作为 ? 的估计值 ?

? ? 3? ?, ? ? ? 3? ? ) 之外的数据,用剩下的数据估计 断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除 (?

? 和 ? (精确到 0.01).
附:若随机变量 Z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,则 P(? ? 3? ? Z ? ? ? 3? ) ? 0.997 4 ,

0.997 416 ? 0.959 2 , 0.008 ? 0.09 .
20.(12 分) 已知椭圆 C:

3 3 x2 y2 ? 2 =1(a>b>0) ,四点 P1(1,1) ,P2(0,1) ,P3(–1, ) ,P4(1, ) 2 a b 2 2

中恰有三点在椭圆 C 上.

(1)求 C 的方程; (2) 设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A, B 两点。 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1, 证明:l 过定点. 21.(12 分)
2x x 已知函数 ( f x) ? ae +(a﹣2) e ﹣x.

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x ) 有两个零点,求 a 的取值范围. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分)
? x ? 3cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数),直线 l 的参数方程 ? y ? sin ? ,


? x ? a ? 4t , . (t为参数) ? ? y ? 1 ? t,

(1)若 a=?1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a. 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)=–x +ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求 a 的取值范围.
2

理科数学参考答案
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1. A 7.B 2.B 8.D 3.B 9.D 4.C 10.A 5.D 11.D 6.C 12.A

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 2 3 14.-5 15.

2 3 3

16. 15cm

3

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 (1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长. 解: (1) 由题意可得 S?ABC ?

a2 3sin A

1 a2 , bc sin A ? 2 3sin A

2 2 化简可得 2a ? 3bc sin A ,
2 2 根据正弦定理化简可得: 2sin A ? 3sin B sinCsin A ? sin B sinC ?

2 。 3

(2) 由

2 ? sin B sinC ? ? 1 2? ? 3 , ? cos A ? ? cos ? A ? B ? ? sin B sinC? cos B cos C ? ? A ? ? 2 3 ?cos B cos C ? 1 ? 6 ?
因此可得 B ?

?
3

?C, 2 3 1 ?? ? 中可得: sin ? ? C ? sin C ? sin C cos C ? sin 2 C ? 0 , 3 2 2 ?3 ?

将之代入 sin B sinC ?

化简可得 tan C ?

3 ? ? ? C ? ,B ? , 3 6 6

利用正弦定理可得 b ?

a 3 1 sin B ? ? ? 3, sin A 3 2 2

同理可得 c ? 3 , 故而三角形的周长为 3 ? 2 3 。 18.(12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 ?BAP ? ?CDP ? 90? .

(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, ?APD ? 90? ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. (1)证明:

? AB / /CD, CD ? PD ? AB ? PD ,
又? AB ? PA, PA ? PD ? P ,PA、PD 都在平面 PAD 内, 故而可得 AB ? PAD 。 又 AB 在平面 PAB 内,故而平面 PAB⊥平面 PAD。 (2)解: 不妨设 PA ? PD ? AB ? CD ? 2a , 以 AD 中点 O 为原点,OA 为 x 轴,OP 为 z 轴建立平面直角坐标系。 故而可得各点坐标: P 0,0, 2a , A 因此可得 PA ?

?

? ? ?

2a,0,0 , B

? ?

2a, 2a,0 , C ? 2a, 2a,0 ,

? ? ?

?

??? ?

?

??? ? 2a,0, ? 2a , PB ?

?

??? ? 2a, 2a, ? 2a , PC ? ? 2a, 2a, ? 2a ,

?

?

假设平面 PAB 的法向量 n1 ? ? x, y,1? ,平面 PBC 的法向量 n2 ? ? m, n,1? ,

??

?? ?

?? ??? ? ?? ? ?n1 ? PA ? 2ax ? 2a ? 0 ? x ? 1 故而可得 ? ?? ??? ,即 n1 ? ?1,0,1? , ? ? ?n1 ? PB ? 2ax ? 2ay ? 2a ? 0 ? y ? 0 ?? ? ??? ? ?n2 ? PC ? ? 2am ? 2an ? 2a ? 0 ? m ? 0 ?? ? ? 2 ? ? 同理可得 ? ?? ,即 。 n ? 0, ? ? ??? ? 2 2 ? 2 ,1? ? n ? PB ? 2 am ? 2 an ? 2 a ? 0 ? n ? ? ? ? 2 ? 2

因此法向量的夹角余弦值: cos ? n1 , n2 ??

?? ?? ?

1 2? 3 2

?

3 。 3

很明显,这是一个钝角,故而可得余弦为 ? 19.(12 分)

3 。 3

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零 件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产 的零件的尺寸服从正态分布 N (?, ? 2 ) . (1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的零件数,求 P( X ? 1) 及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的零件,就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.26 经计算得 x ? 10.12 9.91 9.96 10.13 9.96 10.02 10.01 9.22 9.92 10.04 9.98 10.05 10.04 9.95

1 16 1 16 1 16 2 2 xi ? 9.97 , s ? ( x ? x ) ? (? xi ? 16 x 2 )2 ? 0.212 , ? ? i 16 i ?1 16 i ?1 16 i ?1

其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸, i ? 1, 2, ???,16 .

? ,用样本标准差 s 作为 ? 的估计值 ? ? ,利用估计值判 用样本平均数 x 作为 ? 的估计值 ?

? ? 3? ?, ? ? ? 3? ? ) 之外的数据,用剩下的数据估计 断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除 (?

? 和 ? (精确到 0.01).
附:若随机变量 Z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,则 P(? ? 3? ? Z ? ? ? 3? ) ? 0.997 4 ,

0.997 416 ? 0.959 2 , 0.008 ? 0.09 .
解: (1) P ? X ? 1? ? 1 ? P ? X ? 0? ? 1 ? 0.997416 ? 1 ? 0.9592 ? 0.0408 由题意可得,X 满足二项分布 X ~ B ?16,0.0016? , 因此可得 EX ?16,0.0016? ?? 16 ? 0.0016 ? 0.0256 (2)
1 由(1)可得 P ? X ? 1? ? 0.0408 ? 5% ,属于小概率事件, ○

故而如果出现 (? ? 3? , ? ? 3? ) 的零件,需要进行检查。

? ? 9.97,? ? ? 0.212 ? ? ? ? 3? ? ? 9.334, ? ? ? 3? ? ? 10.606 , 2 由题意可得 ? ○
故而在 ?9.334,10.606? 范围外存在 9.22 这一个数据,因此需要进行检查。 此时: ? ? x ?

9.97 ? 16 ? 9.22 ? 10.02 , 15

??
20.(12 分)

1 15 ? x ? x ? 0.09 。 15 i ?1

?

?

已知椭圆 C:

3 3 x2 y2 ? 2 =1(a>b>0) ,四点 P1(1,1) ,P2(0,1) ,P3(–1, ) ,P4(1, ) 2 a b 2 2

中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2) 设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A, B 两点。 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1, 证明:l 过定点. 解: (1) 根据椭圆对称性可得,P1(1,1)P4(1,

3 )不可能同时在椭圆上, 2

P3(–1,

3 3 ) ,P4(1, )一定同时在椭圆上, 2 2 3 3 ) ,P4(1, ) , 2 2

因此可得椭圆经过 P2(0,1) ,P3(–1, 代入椭圆方程可得: b ? 1,

1 3 ? ?1? a ? 2 , a2 4
x2 ? y2 ? 1 。 4

故而可得椭圆的标准方程为:

(2)由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在, 不妨设直线 P2A 为: y ? kx ? 1 ,P2B 为: y ? ?1 ? k ? x ? 1 .

? y ? kx ? 1 ? 联立 ? x 2 ? ? 4k 2 ? 1? x 2 ? 8kx ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
假设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 此时可得:

2 ? ?8k 1 ? 4k 2 ? ? 8 ?1 ? k ? 1 ? 4 ?1 ? k ? ? A? 2 , 2 , ?, ?, B? 2 2 ? 4 1 ? k ? 1 4 1 ? k ? 1 ? ? ? ? ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ? ? ?

此时可求得直线的斜率为: k AB

1 ? 4k 2 2 2 y2 ? y1 4 ?1 ? k ? ? 1 4k ? 1 , ? ? 8 ?1 ? k ? x2 ? x1 ?8k ? 2 2 4 ?1 ? k ? ? 1 4k ? 1 ?
1 。 2

1 ? 4 ?1 ? k ?

2

化简可得 k AB ? ?
1 当k ? ? ○

1

?1 ? 2k ?

2

,此时满足 k ? ?

1 时,AB 两点重合,不合题意。 2

2 当k ? ? ○

1 1 8k ? 1 ? 4 k 2 ? 时,直线方程为: y ? ? , x ? ?? 2 ? 2 ?1 ? 2k ? ? 4k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 1
2

即y?? 21.(12 分)

? 4k

? 4k ? 1 ? x ?
2

?1 ? 2k ?

,当 x ? 2 时, y ? ?1 ,因此直线恒过定点 ? 2, ?1? 。

2x x 已知函数 ( f x) ? ae +(a﹣2) e ﹣x.

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x ) 有两个零点,求 a 的取值范围. 解:
2x x x x (1)对函数进行求导可得 f ' ? x ? ? 2ae ? ? a ? 2 ? e ? 1 ? ae ? 1 e ? 1 。 x x 1 当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? ae ? 1 e ? 1 ? 0 恒成立,故而函数恒递减 ○

?

??

?

?

??

?

x x 2 当 a ? 0 时,f ' ? x ? ? ae ? 1 e ? 1 ? 0 ? x ? ln ○

?

??

?

1 1? ? , 故而可得函数在 ? ??,ln ? a a? ?

上单调递减,在 ? ln

? ?

1 ? , ?? ? 上单调递增。 a ? ? ? 1? 1 ? ? ln a ? ? 1 , a? a

(2)函数有两个零点,故而可得 a ? 0 ,此时函数有极小值 f ? ln 要使得函数有两个零点,亦即极小值小于 0, 故而可得 ln a ?

1 1 ? 1 ? 0 ? a ? 0 ? ,令 g ? a ? ? ln a ? ? 1 , a a

对函数进行求导即可得到 g' ? a ? ? 又 g ?1? ? 0 ,? g ? a ? ? ln a ?

a ?1 ? 0 ,故而函数恒递增, a2

1 ?1? 0 ? a ?1, a

因此可得函数有两个零点的范围为 a ? ? 0,1? 。 (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分)
? x ? 3cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数),直线 l 的参数方程 ? y ? sin ? ,


? x ? a ? 4t , . (t为参数) ? ? y ? 1 ? t,

(1)若 a=?1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a. 解: 将曲线 C 的参数方程化为直角方程为

x2 ? y 2?1 , 直 线 化 为 直 角 方 程 为 9

1 1 y ? ? x ?1? a 4 4

1 3 ? 1 3 ?y ? ? x ? (1)当 a ? 1 时,代入可得直线为 y ? ? x ? ,联立曲线方程可得: ? 4 4, 4 4 ? x2 ? 9 y 2 ? 9 ?
21 ? x?? ? ? 25 或 ? x ? 3 ,故而交点为 ? ? 21 , 24 ? 或 3,0 解得 ? ? ? ? ? ? ? 25 25 ? ?y ? 0 ? y ? 24 ? 25 ?

3cos? ? 4sin ? ? a ? 4 1 1 ? x ? 3cos ? , (2)点 ? 到直线 y ? ? x ? 1 ? a 的距离为 d ? ? 17 , 4 4 ? y ? sin ? , 17
即: 3cos? ? 4sin? ? a ? 4 ? 17 , 化简可得 ?17 ? ? a ? 4? ? 3cos? ? 4sin? ? 17 ? ? a ? 4? , 根据辅助角公式可得 ?13 ? a ? 5sin ?? ? ? ? ? 21 ? a ,

又 ?5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 5 ,解得 a ? ?8 或者 a ? 16 。 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)=–x +ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求 a 的取值范围. 解:
2

x ?1 ?2 x ? 将函数 g ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1 化简可得 g ? x ? ? ? 2 ?1 ? x ? 1 ? ?2 x x ? ? 1 ?
(1) 当 a ? 1 时,作出函数图像可得 f ? x ? ? g ? x ? 的范围在 F 和 G 点中间, 联立 ?

? y ? 2x
2 ? y ? ?x ? x ? 4

可得点 G ?

? 17 ? 1 ? ? 17 ? 1 ? , 17 ? 1 ,因此可得解集为 ? ?1, ? ?。 ? 2 ? 2 ? ? ? ?

2 2 (2) 即 f ? x ? ? g ? x ? 在 ??1,1? 内恒成立,故而可得 ? x ? ax ? 4 ? 2 ? x ? 2 ? ax 恒成

立, 根据图像可得:函数 y ? ax 必须在 l1 , l2 之间,故而可得 ?1 ? a ? 1 。


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