全国通用届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形41任意角弧度制及任意角的三角函数学案(数学教案)


§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 考情考向分析 以理解任意角三角函数的概念、能进行弧 最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制 的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、 余弦、正切)的定义. 度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算 为主,常与向量、三角恒等变换相结合, 考查三角函数定义的应用及三角函数的化 简与求值,考查分类讨论思想和数形结合 思想的应用意识.题型以选择题为主,低 档难度. 1.角的概念 (1)任意角: ①定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成 的图形;②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角. (2)所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,构成的角的集合是 S={β |β =k·360°+ α ,k∈Z}. (3)象限角:使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第 几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一 个象限. 2.弧度制 (1)定义: 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角, 用符号 rad 表示, 读作弧度. 正 角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0. π ?180? (2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad,1 rad=? ?°. 180 ?π ? 1 1 2 (3)扇形的弧长公式:l=|α |·r,扇形的面积公式:S= lr= |α |·r . 2 2 3.任意角的三角函数 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时, 则 sin α =y,cos α =x,tan α = (x≠0). 1 y x 三个三角函数的性质如下表: 三角 函数 sin α cos α tan α 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 R + + - - R {α |α ≠kπ + π ,k∈Z} 2 + - - + + - + - 4.三角函数线 如下图,设角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,过 A(1,0)作单位圆 的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T. 三角函数线 有向线段 MP 为正弦线;有向线段 OM 为余弦线;有向线 段 AT 为正切线 知识拓展 1.三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x,y)是角 α 终边上异于顶点的任一点,其到原点 O 的距离为 r,则 sin α = ,cos α = ,tan α = (x≠0). y r x r y x 2 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.( × (2)角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关.( √ (3)不相等的角终边一定不相同.( × ) ) ) (4)若 α 为第一象限角,则 sin α +cos α >1.( √ ) 题组二 教材改编 2.[P10A 组 T7]角-225°=________弧度,这个角在第________象限. 5π 答案 - 4 二 3.[P15T2]设角 θ 的终边经过点 P(4,-3),那么 2cos θ -sin θ =________. 答案 11 5 3 4 解析 由已知并结合三角函数的定义,得 sin θ =- ,cos θ = ,所以 2cos θ -sin θ 5 5 4 ? 3? 11 =2× -?- ?= . 5 ? 5? 5 4.[P10A 组 T6]一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为________弧度. 答案 π 3 题组三 易错自纠 9π 5.(2018·秦皇岛模拟)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( 4 A.2kπ +45°(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) 答案 C 9π 9π 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ + (k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所 4 4 以只有答案 C 正确. ? ? ? π π 6.集合?α ?kπ + ≤α ≤kπ + ,k∈Z 4 2 ? ? ? ? ? ?中的角所表示的范围(阴影部分)是( ? ? ) 9π B.k·360°+ (k∈Z) 4 5π D.kπ + (k∈Z) 4 ) 3 答案 C π π π π 解析 当 k=2n(n∈Z)时,2nπ + ≤α ≤2nπ + ,此时 α 表示的范围与 ≤α ≤ 表示 4 2 4 2 π π 的范围一样;当 k=2n+1 (n∈Z)时,2nπ +π + ≤α ≤2nπ +π + ,此时 α 表示的范 4 2 π π 围与 π + ≤α ≤π + 表示的范围一样,故选 C. 4 2 1 7.已知角 α (-π <α <0)的终边与单位圆交点的横坐标是 ,则 sin α =________. 3 2 答案 - 2 3 2 ? 2 ?1 解析 由题意得,角 α 的终边与单位圆交点的坐标是? ,- 2?,∴sin α =- 2. 3 ? 3 ?3 8.(2018·济宁模拟)函数 y= 2cos x-1的定义域为______________. π π? ? 答案 ?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) 3 3? ? 解析 ∵2cos x-1≥0, 1 ∴cos x≥ . 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示), π π? ? ∴x∈?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 3 3? ? 题型一 角及其表示 1.设集合 M=?x?x= ·180°+45°,k∈Z 2 ? ? ? 么( A.M=N ) B.M? N 4 ? ? ? k ? ? ? ? ? k ?,N=?x?x=

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