山东省济宁市2015届高考数学一轮复习 21两角和与差的正弦、余弦和正切公式限时检测 新人教A版


课时限时检测(二十一)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题号及难度 基础 2,3,5,7 1 4 6,9,10,11 中档 8 12 稍难

(时间:60 分钟 满分:80 分)命题 报告 考查知识点及角度 三角函数的求值 三角函数的化简证明 三角函数的求角 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. A. 3-sin 70° =( 2 2-cos 10° 1 2 B. 2 2 ) C.2 D. 3 2

3-sin 70° 2?3-sin 70°? 【解析】 原式= = =2. 1 3-sin 70° ?3-cos 20°? 2 【答案】 C 2.(2014?淄博五中质检)已知 sin θ +cos θ = ( ) A. ± C. 3 2 3 2 B.- 3 2 2 (0<θ <π ),则 cos 2θ 的值为 2

1 D.- 2

π? π? 1 2 π 5π ? ? 【解析】 又 sin θ +cos θ = 2sin?θ + ?= ? sin?θ + ?= , ?θ + = 4? 2 4? 2 4 6 ? ? 7π 7π 7π 3 ? θ = ? 2θ = ,所以 cos 2θ =cos =- . 12 6 6 2 【答案】 B 3.(2014?成都模拟)若 sin(α +β 1 A.5 B.-1 C.6 D. 6 1 1 【解析】 由 sin(α +β )= ,sin(α -β )= 得 2 3

)=

1 1 tan α ,sin(α -β )= ,则 的值为( 2 3 tan β

)

1

1 sin α cos β +cos α sin β = , ? ? 2 ? 1 sin α cos β -cos α sin β = , ? ? 3 5 sin α cos β = , ? ? 12 ∴? 1 cos α sin β = . ? ? 12 ∴ tan α sin α cos β = =5. tan β cos α sin β

① ②

【答案】 A 4.在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan Atan B,则 C 等于( A. C. π 3 π 6 B. D. 2π 3 π 4 )

【解析】 由已知得 tan A+tan B=- 3(1-tan Atan B), ∴ tan A+tan B =- 3, 1-tan Atan B

即 tan(A+B)=- 3, π 又 tan C=tan[π -(A+B)]=-tan(A+ B)= 3,又 0<C<π ,∴C= . 3 【答案】 A 4 ?π ? 5. 若 sin(α -β )sin β -cos(α -β )cos β = , 且 α 是第二象限角, 则 tan? +α ? 5 ?4 ? 等于( A.7 C. 1 7 ) B.-7 1 D.- 7

4 【解析】 ∵sin(α -β )sin β -cos(α -β )cos β = , 5 4 ∴cos α =- . 5 3 3 又 α 是第二象限角,∴sin α = ,则 tan α =- . 5 4

2

π 3 +tan α 1- 4 4 1 π ∴tan( +α )= = = . 4 π 3 7 1-tan tan α 1+ 4 4 tan 【答案】 C 6.(2013?浙江高考)已知 α ∈R,sin α +2cos α = A. 4 3 B. 3 4 10 ,则 tan 2α =( 2 )

3 C.- 4

4 D.- 3

【解析】 先利用条件求出 tan α ,再利用倍角公式求 tan 2α . 5 2 2 2 把条件中的式子两边平方,得 sin α +4sin α cos α +4cos α = ,即 3cos α +4sin 2 3 3cos α +4sin α cos α 3 3+4tan α 3 2 α cos α = ,所以 = ,所以 = ,即 3tan α -8tan α 2 2 2 2 cos α +sin α 2 1+tan α 2 1 -3=0,解得 tan α =3 或 tan α =- , 3 2tan α 3 所以 tan 2α = =- . 2 1-tan α 4 【答案】 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) tan x ? π? 7.已知 tan?x+ ?=2,则 的值为________. 4? tan 2x ? tan x+1 ? π? 【解析】 由 tan?x+ ?=2 得 =2, 4? 1-tan x ? 1 ∴tan x= , 3 ∴
2 tan x tan x 1-tan x 1? 1? 4 = = = ? 1- ? = . tan 2x 2tan x 2 2? 9? 9 2 1-tan x 2

【答案】

4 9

?π ? 1 8.(2014?南昌模拟)设 sin? +θ ?= ,则 sin 2θ =______. ?4 ? 3 ?π ? 1 【解析】 ∵sin? +θ ?= , ?4 ? 3
2 7 ?π ? ? 2?π ∴cos? +2θ ?=1-2sin ? +θ ?=1- = , 9 9 ?2 ? ?4 ?

3

又 cos?

?π +2θ ?=-sin 2θ , ? ?2 ?

7 7 ∴-sin 2θ = ,即 sin 2θ =- . 9 9 7 【答案】 - 9 cos 2α 2 9.若 =- ,则 cos α +sin α 的值为________. π 2 ? ? sin?α - ? 4? ? 【解析】 cos 2α cos α -sin α = π? 2 ? sin?α - ? 4 ? 2 ?sin α -cos α ? ?
2 2



?cos α +sin α ??cos α -sin α ? =- 2(sin α +cos α ) 2 ?sin α -cos α ? 2 2 . 2

=-

1 ∴sin α +cos α = . 2 【答案】 1 2

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分)

?1 π ? 10.(10 分)(2014?吉林模拟)已知函数 f(x)=2sin? x- ? ,x∈R. 6? ?3
(1)求 f?

?5π ?的值; ? ? 4 ?

π ? 10 6 ? π? ? (2)设 α ,β ∈?0, ?,f?3α + ?= ,f(3β +2π )= ,求 cos(α +β )的值. 2? 2 ? 13 5 ? ? 【解】 (1)f?

?5π ?=2sin?1?5π -π ?=2sin π = 2. ? ?3 4 6? 4 ? 4 ? ? ?

π ? π ?? π? 10 5 ??1? ? (2)f?3α + ?=2sin?? ?3α + ?- ??=2sin α = ,∴sin α = , 2 ? 6 ?? 2? 13 13 ? ??3? π? π? ?1 ? f(3β +2π )=2sin? ?3β +2π ?- ?=2sin?β + ?

?3

6?

?

2?

6 3 =2cos β = ,∴cos β = . 5 5

? π? ∵α ,β ∈?0, ?, 2? ?
12 4 2 2 ∴cos α = 1-sin α = ,sin β = 1-cos β = , 13 5
4

∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = 12 3 5 4 16 ? - ? = . 13 5 13 5 65

图 3-5-1 11.(12 分)(2014?广州模拟)如图 3-5-1,以 Ox 为始边作角 α 与 β (0<β <α <

? 3 4? π ),它们终边分别与单位圆相交于点 P,Q,已知点 P 的坐标为?- , ?. ? 5 5?
sin 2α +cos 2α +1 (1)求 的值; 1+tan α (2)若 OP⊥OQ,求 sin?α +β ? . ?π ? 2cos? +β ? ?4 ?

3 4 【解】 (1)由三角函数定义得 cos α =- ,sin α = , 5 5 ∴原式=
2 2sin α cos α +2cos α 2cos α ?sin α +cos α ? ? 3? 2 = =2cos α =2??- ? sin α sin α +cos α ? 5? 1+ cos α cos α

2

18 = . 25 π π (2)∵OP⊥OQ,∴α -β = ,∴β =α - . 2 2 π? π? 3 4 ? ? ∴sin β =sin?α - ?=-cos α = ,cos β =cos?α - ?=sin α = . 2? 2? 5 5 ? ? ∴ sin?α +β ? sin α cos β +cos α sin β = cos β -sin β ?π ? 2cos? +β ? ?4 ?

4 4 3 3 7 ? - ? 5 5 5 5 25 = = 4 3 1 - 5 5 5 7 = . 5

? 7π ? ? 3π ? 12.(13 分)(2014?桂林模拟)已知函数 f(x)=sin?x+ ?+cos?x- ?,x∈R. 4 ? 4 ? ? ?
(1)求 f( x)的最小正周期和最小值;
5

4 4 π 2 (2)已知 cos(β -α )= ,cos(β +α )=- ,0<α <β ≤ ,求证:[f(β )] -2 = 5 5 2 0.

? 7π ? ? 3π π ? 【解】 (1)∵f(x)=sin?x+ -2π ?+sin?x- + ? 4 4 2? ? ? ? ? π? ? π? ? π? =sin?x- ?+sin?x- ?=2sin?x- ?. 4? 4? 4? ? ? ?
∴T=2π ,f(x)的最小值为-2. 4 4 (2)证明 ∵cos(β -α )= ,cos(β +α )=- . 5 5 4 ∴cos β cos α +sin β sin α = , 5 4 cos β cos α -sin β sin α =- , 5 两式相加得 2co s β cos α =0. ∵0<α <β ≤ π π ,∴β = . 2 2

? π? 由(1)知 f(x)=2sin?x- ?, 4? ?
∴[f(β )] -2=4sin
2 2

π ? 2?2 -2=4?? ? -2=0. 4 ?2?

6


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