安徽省黄山市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)


黄山市 2016—2017 学年度第二学期期末质量检测

高二(理科)数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题(本大题共 12 小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1. 若复数 z 的共轭复数

,则复数 z 的模长为( )

A. 2 B. -1 C. 5 D.

【答案】D

【解析】由题意可得:

,则

.

2. 下列命题正确的是( )

A. 命题“

,使得 x2-1<0”的否定是:

,均有 x2-1<0.

B. 命题“若 x=3,则 x2-2x-3=0”的否命题是:若 x≠3,则 x2-2x-3≠0.

C. “

(k∈Z)”是“

”的必要而不充分条件.

D. 命题“cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题是真命题.

【答案】B

【解析】逐一考查所给的命题:

A. 命题“

,使得 x2-1<0”的否定是:

,均有 x2-1≥0.

B. 命题“若 x=3,则 x2-2x-3=0”的否命题是:若 x≠3,则 x2-2x-3≠0.

C. “

”是“

”的充分不必要条件.

D. 命题“cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题是假命题.

本题选择 B 选项.

3. 下列说法:

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,均值与方差都不变;

②设有一个回归方程

,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 3 个单位;

③线性回归方程

必经过点( , );

④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有 99%的把握认为吸烟与

患肺病有关系时,我们说现有 100 人吸烟,那么其中有 99 人患肺病.

其中错误的个数是( )

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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】逐一考查所给的 4 个说法:

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,均值改变,方差不变,题中说法错

误;

②设有一个回归方程

,变量 x 增加一个单位时,y 平均减少 3 个单位,题中说法错

误;

③线性回归方程

必经过点 ,题中说法正确;

④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有 99%的把握认为吸烟与

患肺病有关系时,我们说现有每个吸烟的人都有 99%的可能患病,题中说法错误;

本题选择 D 选项.

4. 已知



,且

,则 x 的值是( )

A. 6 B. 5 【答案】A

C. 4

D. 3

【解析】

,易得 x=6,故选 A

5. 过点 O(1,0)作函数 f(x)=ex 的切线,则切线方程为( ) A. y=e2(x-1) B. y=e(x-1) C. y=e2(x-1)或 y=e(x-1) -1 【答案】A 【解析】由线 y=ex,得 y′=ex,

D. y=x

设切点为

,则



∴切线方程为



∵切线过点(1,0),





解得:x0=2. ∴切线方程为 y﹣e2=e2(x﹣2),整理得:e2x﹣y﹣e2=0. 故答案为:y=e2(x-1). 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点

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及斜率,其求法为:设

是曲线

上的一点,则以 的切点的切线方程为:

.若曲线

在点

的切线平行于 轴(即导数不存在)时,由

切线定义知,切线方程为 .

6. 随机变量 ξ 服从二项分布 ξ ~B(n,P),且 E(ξ )=300,D(ξ )=200,则 等于( )

A. 3200 B. 2700 C. 1350 D. 1200 【答案】B 【解析】∵ξ 服从二项分布 B~(n,p) Eξ =300,Dξ =200 ∴Eξ =300=np,①;Dξ =200=np(1﹣p),②

可得 1﹣p= = ,

∴p=

,n=900,∴ =2700.

7. 直线 y=-x 与函数 f(x)=-x3 围成封闭图形的面积为( )

A. 1 B.

C.

D. 0

【答案】C 【解析】原问题等价于直线 y=x 与函数 f(x)=x3 围成封闭图形的面积 ∵曲线 y=x3 和曲线 y=x 的交点为 A(1,1)、原点 O 和 B(﹣1,﹣1) ∴由定积分的几何意义,可得所求图形的面积为

S=2

=2

故选:C

8. 如图,AB∩α =B,直线 AB 与平面 α 所成的角为 75°,点 A 是直线 AB 上一定点,动直 线 AP 与平面 α 交于点 P,且满足∠PAB=45°,则点 P 在平面 α 内的轨迹是( )
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A. 双曲线的一支 B. 抛物线的一部分 C. 圆 D. 椭圆 【答案】D 【解析】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平 面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线. 此题中平面 α 上的动点 P 满足∠PAB=45°,可理解为 P 在以 AB 为轴的圆锥的侧面上,再由 斜线段 AB 与平面 α 所成的角为 75°,可知 P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.故可知动 点 P 的轨迹是椭圆. 故选:D. 点睛:本题巧妙的把立体几何与平面解析几何结合到一起,动点 P 在平面内运动时,相当于 用一个平面去截圆锥体,截面形状与平面与圆锥的轴的夹角有关.

9. 双曲线

(mn≠0)离心率为 ,其中一个焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则

mn 的值为( )

A.

B.

【答案】C

C. 18

D. 27

【解析】由题意可得

,由题意可得双曲线

(mn≠0)的一个焦点的坐标

为(3,0),故有 m+n=32=9.

再根据双曲线的离心率

,可得 m=3,∴n=6,mn=18,

本题选择 C 选项.

10. 我市某学校组织学生前往南京研学旅行,途中 4 位男生和 3 位女生站成一排合影留念,

男生甲和乙要求站在一起,3 位女生不全站在一起,则不同的站法种数是( )

A. 964 B,1080 C.1296

D.1152

【答案】D

【解析】根据题意,男生甲和乙要求站在一起,将 2 人看成一个整体,考虑 2 人的顺序,有

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A22 种情况,将这个整体与其余 5 人全排列,有 A66 种情况, 则甲和乙站在一起共有 A22A66=1440 种站法, 其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有 A22A33A44=288 种; 则符合题意的站法共有 1440﹣288=1152 种; 故选:D. 点睛:排列组合中一类典型问题:邻与不邻问题.相邻问题是“捆绳”思想,不相邻问题“插 空”思想. 本题中男生甲和乙要求站在一起,这是相邻问题;3 位女生不全站在一起,这是 局部不相邻问题. 11. 设矩形 ABCD,以 A、B 为左右焦点,并且过 C、D 两点的椭圆和双曲线的离心率之积为 ()

A.

B. 2 C. 1 D. 条件不够,不能确定

【答案】C

【解析】设



由椭圆的定义:



则:

,椭圆的离心率



同理,双曲线的离心率:

,

则椭圆和双曲线的离心率之积为

.

本题选择 C 选项.

12. 已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象如图,则函数

区间是( )

的单调递减

A. (-∞,-2) B. (-∞,1) C. (-2,4) 【答案】A 【解析】∵f(x)=x3+bx2+cx+d∴f′(x)=3x2+2bx+c 由函数 f(x)的图象知,f′(?2)=0,f′(3)=0

D. (1,+∞)

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∴b=? ,c=?18

∴y=log2(x2+ bx+ )=log2(x2?x?6)的定义域为:(?∞,?2)∪(3,+∞) 令 z=x2?5x?6,在(?∞,?2)上递减,在(3,+∞)上递增,且 y=log2z 根据复合函数的单调性知,

函数 y=log2(x2+ bx+ )的单调递减区间是(?∞,?2)

本题选择 A 选项. 点睛:(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号. (2)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.
第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题.把答案直接填在题中的相应横线上.) 13. 已知(1-x)n 展开式中 x2 项的系数等于 28,则 n 的值为________. 【答案】8

【解析】(1-x)n 的通项为

,故 x2 项的系数为

,解得:n=8.

点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r+1 项,再由特定项的特点求出 r 值即可. (2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第 r+1 项, 由特定项得出 r 值,最后求出其参数. 14. 连续掷一枚质地均匀的骰子 4 次,设事件 A=“恰有 2 次正面朝上的点数为 3 的倍数”, 则 P(A)=________.

【答案】

【解析】∵投掷一枚质地均匀的骰子,正面朝上的点数恰好为 3 的倍数的概率 , ∴连续地投掷一枚质地均匀的骰子四次,正面朝上的点数恰好有 2 次为 3 的倍数的概率为:
. 15. 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若直线 AB1与直线 A1C 的夹角的余弦值是 ,则棱 AB 的长度是________......................... 【答案】2

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【解析】建立如图所示的坐标系,设 AB=x,则 A(0,0,0),B1(x,0,2),A1(0,0,2), C(0,1,0), ∴ =(x,0,2), =(0,1,﹣2),

∵直线 AB1 与直线 A1C 的夹角的余弦值是 ,

∴|

|= ,

∴x=2. 故答案为 2.

16. 设 F1,F2 分别是椭圆

的两个焦点,P 是第一象限内该椭圆上一点,且

,则正数 m 的值为________.

【答案】4 或

【解析】当焦点在 x 轴上,

,解得:m=4;

当焦点在 y 轴上,

,解得:m= .

三、解答题(本大题共 6 小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. (Ⅰ)已知复数

,其共轭复数为 ,求



(Ⅱ)设集合 A={y|

},B={x|m+x2≤1,m<1}.命题 p:x∈A;命题 q:x∈B.若

p 是 q 的必要条件,求实数 m 的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(1)利用复数求模公式,得到结果;(2)化简得:



试题解析:

,由 p 是 q 的必要条件,可知

,解得:

.

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解:(Ⅰ)因为

,所以

所以原式

(Ⅱ)由题可知



由于 p 是 q 的必要条件,所以



所以

,解得 .

综上所述:



18. 随着网络的发展,人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等,所以人们对上网流 量的需求越来越大.某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐.为了调查不同年龄的人是 否愿意选择此款“流量包”套餐,随机抽取 50 个用户,按年龄分组进行访谈,统计结果如 表.

组号

年龄

访谈人数

愿意使用

1

[18,28)

4

4

2

[28,38)

9

9

3

[38,48)

16

15

4

[48,58)

15

12

5

[58,68)

6

2

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(Ⅰ)若在第 2、3、4 组愿意选择此款“流量包”套餐的人中,用分层抽样的方法抽取 12 人,则各组应分别抽取多少人? (Ⅱ)若从第 5 组的被调查者访谈人中随机选取 2 人进行追踪调查,求 2 人中至少有 1 人愿 意选择此款“流量包”套餐的概率. (Ⅲ)按以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并判断以 48 岁为分界点,能否在犯错误不超 过 1%的前提下认为,是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关?

年龄不低于 48 岁的人数

年龄低于 48 岁的人数

合计

愿意使用的人数

不愿意使用的人数

合计

参考公式:

,其中:n=a+b+c+d.

P(k2≥k0) 0.15 0.10

0.05

0.025 0.010 0.005 0.001

k

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

【答案】(1) 各组分别为 3 人,5 人,4 人;(2) ;(3)详见解析. 【解析】试题分析: (1)由分层抽样的定义可得分层抽样的方法抽取 12 人,各组分别为 3 人,5 人,4 人. (2)列出所有可能的事件,由古典概型公式可得这 2 人中至少有 1 人愿意选择此款“流量包” 套餐的概率 .
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(3)结合列联表可得

,则在犯错误不超过 1%的前提下可以认为,是否愿意

选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关. 试题解析:

(Ⅰ)因为





,所以第 2、3、4 组愿意选择此款“流量包”

套餐的人中,用分层抽样的方法抽取 12 人,各组分别为 3 人,5 人,4 人. (Ⅱ)第 5 组的 6 人中,不愿意选择此款“流量包”套餐的 4 人分别记作:A、B、C、D,愿 意选择此款“流量包”套餐 2 人分别记作 x、y.则从 6 人中选取 2 人有:AB,AC,AD,Ax, Ay,BC,BD,Bx,By,CD,Cx,Cy,Dx,Dy,xy 共 15 个结果,其中至少有 1 人愿意选择此 款“流量包”:Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy,Dx,Dy,xy

共 9 个结果,所以这 2 人中至少有 1 人愿意选择此款“流量包”套餐的概率



(Ⅲ)2×2 列联表:

年龄不低于 48 岁的人数

年龄低于 48 岁的人数

合计

愿意使用的人数

14

28

42

不愿意使用的人数 7

1

8

合计

21

29

50





∴在犯错误不超过 1%的前提下可以认为,是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有 关. 点睛:独立性检验得出的结论是带有概率性质的,只能说结论成立的概率有多大,而不能完 全肯定一个结论,因此才出现了临界值表,在分析问题时一定要注意这点,不可对某个问题 下确定性结论,否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释.
19. 某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取 10 名同学的成绩进行统计分析,两班成绩

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的茎叶图如图所示,成绩不小于 90 分为及格. (Ⅰ)设甲、乙两个班所抽取的 10 名同学成绩方差分别为 、 ,比较 、 的大 小(直接写出结果,不写过程); (Ⅱ)从甲班 10 人任取 2 人,设这 2 人中及格的人数为 X,求 X 的分布列和期望; (Ⅲ)从两班这 20 名同学中各抽取一人,在已知有人及格的条件下,求抽到乙班同学不及 格的概率.

【答案】(1)

;(2)

;(3)

.

【解析】试题分析:(1)观察茎叶图可得结果;(2)确定 X 取值为 0,1,2,求出相应的概 率值,得到分布列,求期望即可;(3)由茎叶图可得,甲班有 4 人及格,乙班有 5 人及格, 利用条件概率公式求值. 试题解析:

(Ⅰ)由茎叶图可得



(Ⅱ)由题可知 X 取值为 0,1,2.





, 所以 X 的分布列为:

X

0

1

2

P(X)

所以



(Ⅲ)由茎叶图可得,甲班有 4 人及格,乙班有 5 人及格.设事件 A=“从两班这 20 名同

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学中各抽取一人,已知有人及格”,事件 B=“从两班这 20 名同学中各抽取一人,乙班同 学不及格”.





20. 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 是棱 PD 的中点,点 F

是 PC 的中点.

(Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC;

(Ⅱ)若底面 ABCD 为正方形,

,求二面角 C—AF—D 大小.

【答案】(1)详见解析;(2)60°. 【解析】试题分析:(1)要证线面平行,即证线线平行;(2)建立空间直角坐标系, 试题解析: (Ⅰ)连接 BD,设 AC∩BD=O,连结 OE,
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∵四边形 ABCD 为矩形,∴O 是 BD 的中点, ∵点 E 是棱 PD 的中点,∴PB∥EO, 又 PB 平面 AEC,EO 平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC. (Ⅱ)由题可知 AB,AD,AP 两两垂直,则分别以 、 、 的方向为坐标轴方向建立空

间直角坐标系.明确平面 DAF 的一个法向量为

,利用二面角公式求角.

设由

可得 AP=AB,

于是可令 AP=AB=AD=2,则

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F

(1,1,1)

设平面 CAF 的一个法向量为

.由于



所以

,解得 x=-1,所以



因为 y 轴 平面 DAF,所以可设平面 DAF 的一个法向量为



由于

,所以

,解得 z=-1,

所以





.所以二面角 C—AF—D 的大小为 60°.

点睛:立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的

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直线与平面的平行问题和空间两个平面所成角的范围的计算问题.解答时第一问充分借助已 知条件与判定定理,探寻直线 PB 与 EO 平行,再推证 PB∥平面 AEC 即可.关于第二问中的二面 角的余弦值的问题,解答时巧妙运用建构空间直角坐标系,探求两个平面的法向量,然后运用 空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值.

21. 设点 O 为坐标原点,椭圆 E:

(a≥b>0)的右顶点为 A,上顶点为 B,过点 O

且斜率为 的直线与直线 AB 相交 M,且



(Ⅰ)求椭圆 E 的离心率 e; (Ⅱ)PQ 是圆 C:(x-2)2+(y-1)2=5 的一条直径,若椭圆 E 经过 P,Q 两点,求椭圆 E 的方程.

【答案】(1) ;(2)

.

【解析】试题分析:(1)利用 OM 的斜率为 ,布列方程,解出离心率;(2)利用弦长公式,

结合维达定理,布列方程,结合上一问的离心率,易得椭圆方程. 试题解析:

(Ⅰ)∵A(a,0),B(0,b),

,所以 M( , ).



,解得 a=2b,

于是

,∴椭圆 E 的离心率 e 为 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a=2b,∴椭圆 E 的方程为

即 x2+4y2=4b2(1)

依题意,圆心 C(2,1)是线段 PQ 的中点,且



由对称性可知,PQ 与 x 轴不垂直,设其直线方程为 y=k(x-2)+1,代入(1)得:

(1+4k2)x2-8k(2k-1)x+4(2k-1)2-4b2=0

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则









,解得



从而 x1x2=8-2b2.于是



解得:b2=4,a2=16,∴椭圆 E 的方程为



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22. 已知函数

(a<0).

(Ⅰ)当 a=-3 时,求 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若函数 f(x)有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围; 【答案】(1) 单调递减区间为(-3,-2)和(0,+∞);(2) a<0. 【解析】试题分析:(1)解关于导函数的不等式,得到所求的单调减区间;(2)函数 f(x) 有且仅有一个零点,即函数图象与 x 轴有唯一的公共点,利用导函数研究函数图象走势即可. 试题解析:

(Ⅰ)∵a=-3,∴

,故

令 f′(x)<0,解得-3<x<-2 或 x>0, 即所求的单调递减区间为(-3,-2)和(0,+∞)

(Ⅱ)∵

(x>a)

令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=a+1 (1)当 a+1>0,即-1<a<0 时,f(x)在(a,0)和(a+1,+∞)上为减函数,在(0, a+1)上为增函数. 由于 f(0)=aln(-a)>0,当 x→a 时,f(x)→+∞. 当 x→+∞时,f(x)→-∞,于是可得函数 f(x)图像的草图如图,

此时函数 f(x)有且仅有一个零点. 即当-1<a<0 对,f(x)有且仅有一个零点;

(2)当 a=-1 时,





,∴f(x)在(a,+∞)单调递减,

又当 x→-1 时,f(x)→+∞.当 x→+∞时,f(x)→-∞,

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故函数 f(x)有且仅有一个零点; (3)当 a+1<0 即 a<-1 时,f(x)在(a,a+1)和(0,+∞)上为减函数,在(a+1, 0)上为增函数.又 f(0)=aln(-a)<0,当 x→a 时,f(x)→+∞,当 x→+∞时,f (x)→-∞,于是可得函数 f(x)图像的草图如图,此时函数 f(x)有且仅有一个零点; 综上所述,所求的范围是 a<0.
点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形 结合求解.
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