一道课本习题的教学设计及思考_论文


中国   2 0 1 3年 第 1 1 期  Z HONGGUO   S HUXUE   J I A0YU   摘 要 : 以一 道 课 本 习题 提 出 问题 ,通 过 问 题 诱 思 , 变 式 设  变式 1 :求 半 径为  ,并 与直 线 3  一4 y一7:0切 于点  计 ,从 多种角度挖掘课 本 习题 的潜在 功能 ,并通过 分析 、思考、   探 究交流 ,最终 达到学 习数 学、初步研 究数 学的 目的 ,有效地  避 免题 海战术 ,增强探 究意识 ,激发 学习兴趣 ,培 养 了学生的  科 学探 究精神.   关键词 :切线方程 ;课本 习题 ;教 学设计  设 计 变 式 问 题 ,引导 学生 探 究  肘 (   7 3 ,   ) 的 圆 的 方 程 .   分析 :设 圆心 坐标为 ( o ,b ) ,圆方程 中的参 量增 至两个 ,   据 已知 条件 ,切点在 圆上 ,圆心到切线 的距 离等 于圆的半径 r ,   用待 定 系数 法 求 解 即 可.   一 【 点评 】此题变式的作用在 于增加 参量,锤 炼学生灵活思考  的 能力 .   、 问题 1 :求 以 c ( 1 ,3 ) 为圆心 ,并 且与直线 3  一4 ' , 一7=0   相切 的圆的方程.( 详见 《 普通 高中课程标 准实验教科书 ? 数学 2   ( 必修) 》( 人 教 A版 ) 第 1 3 2页第 3 题. )   思考 2 :已知圆的方程和切线 方程 ,能否求 出过切点垂直 于  切线 的半径所在直线 ?   分 析 : 由切 线 方 程 得 知 其 斜 率 ,并 由此 求 出半 径 所 在 直 线  的斜 率为 一   4 ,再 用 点斜 式 方 程 可 求 .   j   分析 : 已知 圆心 坐标 ,只 需再求 出 圆方 程 中的一个 参量 r   即 可 ,根 据 已知 ,半 径 r 等 于 圆心 C到 这 条 直 线 的距 离.   解 :如 图 1 ,   因 为 圆 C和 直 线 3  一4 v一7:0   相切 ,   思考 3 :圆被 y轴所截的弦长怎样求?   所 以半径 r 等 于圆心 C到这 条直  线的距离.   根 据 点 到直 线 的距 离 公 式 ,得 r =   ( = _   O   /   分 析 :在 圆方 程 中令  :0 ,得 ( y一3 ) 。 =   V' 2 31 + 3 — jy . .   =   ±—   , 于是弦长 =l y l — Y 2   I =— 2  ̄ — / r 2 3 1 .   ;   变式 2 :圆心在直线  +3 y 一1 3 = 0上且到直线 3   一 4 ' , 一7 = 0   的距离恰 等 于圆 的半 径 ,在 Y轴上所 截得 的 弦长为  ,   L   ×l 二 4 ×   7   1 l :l 6   、 /   +(   5   /  P  图 1   .  因此 ,所求 的圆的方程是 (  —1 )   +( y一3 ) 一 2 5     6 求此 圆 的方 程 .   分 析 :设 圆心 坐标 为 ( 0 ,b ) , 圆的半 径 为 r ,这样 圆方程 中的  思考 1 : 已知 圆 的方 程 和 切 线 方 程 ,能 否 求 出 切 点 的 坐 标 ,   怎样求?   解 :( 方法 1 )联 立 圆 的方 程 (  一1 )   +(  一3 )   =   和 切  参量增至三个.据 已知条件列 出关 于 0 ,b ,r 的方程组求解 即可.   解析 :设 圆心 坐标 为 a ,b ) ,圆 的半 径 为 r ,   4 a+3 b一 1 3=0.   线 方 程3   一 4 y 一 7 = 0 , 求 出 切 点 的 坐 标 为  (   7 3 , _ 2 1 5 1 ) .   ( 方法 2 )将直线 C M 的方程 乱 +3 y一1 3 =0和切线方程 3 x一   4 y 一7=0联 立 求解 即可 .   收 稿 日期 :2 0 1 3 — 0 4 — 1 9   二   = 2   l : , 则据 已知 条 件 ,得   2   5   , ’   =   5 2 3 l ,   基金项 目:甘肃省定西市教育科学 “ 十二五”规 划课题—— 回归课本探 源 ,提 高数 学复 习实效 ( 课题批 准号:D x[ 2 0 1 2 ] GH B 4 6 ) .   作 者简介 :何伟 军 ( 1 9 6 2 一) ,男,甘肃渭源人 ,中学高级教 师,甘肃省定西 市优秀教师和骨干教师 ,主要从事 中学数 学教 育教 学和高考试题及  解题 研 究  3 6     A   j   t 0 A ◇   1   = = =塾 解得 n =1 ,b = 3 , r =粤 .   )  塑  用点斜 式求切 线的方程 ,而 由圆的切 线性质 可求其斜 率 ,所 以  可 求得 切 线 方 程 为 x e x+ y o Y=r 2 .   因此 ,所求圆的方程为(  一1 ) z +(  一3 )   :   .   ( 2 ) 若设 P (   ,y ) 为切 线上任 一点 ,连接 O M.D   由O M_ t . MP   ?   =0 ,再 利 用数 量 积 的 坐 标 可 求得 切 线 方程 .     【 点评 】 求 圆方程 的基本 方 法就是 确定 三个 参 数 n ,b ,r ,   可知 , 即 “ 选形 式 、定 参数 、列方程 组” .解决 与弦长有 关的 问题 ,注  意运用半径 、弦心距 、弦长之半构成 的直角 三角形.   思考 4 :切线 Z :3  一   一7=0与 Y轴的交点 P是 什么?能  ( 3 )若 设 P (  。Y

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