浙江省温州八校2012-2013学年高二数学上学期期末联考试题 理 新人教A版


2012 学年第一学期“温州八校”高二期末联数 学 试 卷(理科)
参考公式: (考试过程中不得使用计算器) 棱柱的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱台的体积公式 V ? 1 h( S1 ? S1S2 ? S2 )
3

棱锥的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 球的表面积公式 S ? 4? R2

1 3

球的体积公式 V ? 4 ?R 3 3 h 表示棱台的高 其中 R 表示球的半径 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积, 1.直线 l : y ? ? 3x ? 1 与 x 轴所成夹角为( ▲ ) A. 300 B. 60
0

C. 120

0

D. 150

0

2.“实数 a=1”是“直线 l1 : (a ? 1) x ? y ? 1 ? 0和l2 : (2a ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直”的( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要

3.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ▲ ) A.

1 2

B.1

C.

1 3

D. 2

4.已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ①若 ? ? ? ? m , n ? ? ? m ∥ n 或者 m , n 相交 ②? ∥ ? , m ?? , n ? ? ? m ∥ n ③ m ∥? , m ∥ n ? n ∥? ④ ? ? ? ? m , m ∥ n ? n ∥ ? 或者 n ∥ ? 其中正确命题的序号是( ) A. ①③ B. ②④

C. ①④

D.

②③

5.设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 x 轴上,且长轴长为 26,若曲线 C2 13

上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( ▲ )

A.

x2 y 2 ? ?1 9 16

B.

x2 y2 ? ?1 169 144

C.

x2 y 2 ? ?1 16 9

D.

x2 y 2 ? ?1 16 9
1

6.如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , AC ? BC , 且 CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 所成角的余弦值为( ▲ ) A.

B

B1

C A1

C1

5 5

B.

5 3

C.

2 5 5

D.

3 5

A

7.右图的平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M 在 BB1 上,点 N 在 DD1 上,且 BM=

1 BB1, 2

???? ? ??? ? ???? ????? 1 D1N= D1D,若 MN ? xAB ? y AD ? z AA1 ,则 x ? y ? z ? ( ▲ ) 3 1 1 2 3 A. B. C. D. 7 6 3 2
8. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A, B 两点, 它们到直线 x ? ?2 的距
2

离之和等于 7,则这样的直线( ▲ ) A.有无穷多条 B.有且仅有一条

C.有且仅有两条

D.不存在

9.若以点 F1(-2,0)、F2(2,0)为焦点的双曲线 C 过直线 l:x-y-1=0 上一点 M,则能使所作双 曲线 C 的实轴长最长时的双曲线方程为( ▲ ) A. x ?
2

y2 ?1 3

B.

x2 y2 ? ?1 2 2

C.

x2 y2 ? ?1 7 1 2 2

D.

x2 y2 ? ?1 5 3 2 2

10.如图,有一张长为 8,宽为 4 的矩形纸片 ABCD ,按图所示 的方法进行折叠,使每次折叠后点 B 都落在 AD 边上,此时 将 B 记为 B '(注:图中 EF 为折痕,点 F 也可落在边 CD 上) , 过 B ' 做 B 'T //CD 交 EF 于 T 点,则 T 点的轨迹所在的 曲线是( ▲ ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线的一个分支

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标为______▲_________.
2

12.若向量 a 与向量 b 共线,且 a ? (?1 , 2 ,1) , a ? b = ?12 ,则向量 b = ___▲
2 2

__ .

13.从点 P(4,5) 向圆 C: ( x ? 2) ? y ? 4 引切线,则该切线方程是_______▲___________.

14.设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点。若在双曲线右支上存在 a 2 b2
2

点 P ,满足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的 离心率是________▲____. π 15.如图,将∠B= ,边长为 1 的菱形 ABCD 沿对角线 AC 折成大小等于 θ 的二面角 B-AC 3 π 2π -D,若 θ ∈[ , ] M、N 分别为 AC、BD 的中点,则下面的四种说法: , 3 3 ①AC⊥MN; ②DM 与平面 ABC 所成的角是 θ ; 3 3 ③线段 MN 的最大值是 ,最小值是 ; 4 4 π π ④当 θ = 时,BC 与 AD 所成的角等于 . 2 2
B C A A D C M D N B

其中正确的说法有 ▲_ (填上所有正确 说法的序号). 三、简答题(本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2 2 2

16. (本题满分 8 分)已知 p : x ? 4ax ? 3a ? 0(a ? 0), q : x ? 2 x ? 3 ? 0, p 是 q 的充分 若 条件,求实数 a 的取值范围.

17.(本题满分 10 分)已知圆 C: x ? 2 x ? y ? 0 ,直线 l: x ? y ? 4 ? 0 。
2 2

(1)若直线 l ? ? l 且被圆 C 截得的弦长为 3 ,求直线 l ? 的方程; (2) 若点 P 是直线 l 上的动点, PA、 与圆 C 相切于点 A、 PB B,求四边形 PACB 面积的最小值.

18.(本题满分 10 分)如右图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上的动点(异于 A、B) , 过动点 C 的直线 VC 垂直于⊙O 所在的平面,D、E 分别是 VA、VC 的中点. (1)求证:平面 EDO⊥平面 VBC; (2)若 VC=AB=2BC,求二平角 C-VA-B 的平面角大小的正切值.

3

19.(本题满分 12 分)如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离 a 2 b2

心率为

2 ,它的四个顶点连成的菱形的面积为 8 2 .过动点 P (不在 x 轴上)的直线 2

PF1 , PF2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C , D .
(1) 求此椭圆的标准方程; (2) 是否存在点 P ,使 AB ? 2 CD ,若存在求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

(3) 若点 P 在双曲线 动,

x2 y 2 ? ? 1 (除顶点外)上运 4 2

y P A C

证明: AB ? CD 为定值,并求出此定值.
B F1 O F2 D x

答 题★?????????★密 封 线 内 不 许 答 题★???????????

2012 学年第一学期“温州八校”高二期末联考 数学试卷(理科)答题卷 试场号 座位号 一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 题号 答案 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分). 11. 12. 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

班级座位号______

__

14.

15.

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 40 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤). 16. (本题满分 8 分)已知 p : x ? 4ax ? 3a ? 0(a ? 0), q : x ? 2 x ? 3 ? 0, p 是 q 的充 若
2 2 2

4

姓名_

分条件,求实数 a 的取值范围.

17. (本题满分 10 分)已知圆 C: x ? 2 x ? y ? 0 ,直线 l: x ? y ? 4 ? 0 。
2 2

(1)若直线 l ? ? l 且被圆 C 截得的弦长为 3 ,求直线 l ? 的方程; (2) 若点 P 是直线 l 上的动点, PA、 与圆 C 相切于点 A、 PB B,求四边形 PACB 面积的最小值.

5

18. (本题满分 10 分)如右图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上的动点(异于 A、B) , 过动点 C 的直线 VC 垂直于⊙O 所在的平面,D,E 分别是 VA,VC 的中点. (1)求证:平面 EDO⊥平面 VBC; (2)若 VC=AB=2BC,求二平角 C-VA-B 的平面角大小的正切值.

19.(本题满分 12 分)如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离 a 2 b2

心率为

2 ,它的四个顶点连成的菱形的面积为 8 2 .过动点 P (不在 x 轴上)的直线 2

PF1 , PF2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C , D .
(1)求此椭圆的标准方程; (2)是否存在点 P ,使 AB ? 2 CD ,若存在求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

6

(3) 若点 P 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (除顶点外)上运动, 4 2

y P A C

证明: AB ? CD 为定值,并求出此定值.
F1 O

B

F2 D

x

2012 学年第一学期“温州八校”高二期末联考 数学试卷(理科)参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) . 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 D 6 A 7 B 8 C 9 D 10 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分). 11. (0,

1 ) 16

12. (2, ?4, ?2)

13. 21x ? 20 y ? 16 ? 0或x ? 4

14.

5 3

15.① ③

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 40 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 16. (本题满分 8 分)

? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ? p : ( x ? 3a )( x ? a ) ? 0 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? q : ?1 ? x ? 3.--------------------1分
若 a ? 0, p : 3a ? x ? a,q : ?1 ? x ? 3. 则 ∵ p是q的充分条件,??1 ? 3a ? a ? 3,

7

1 解得a的取值范围是- ? a ? 0.-------------3分 3
若 a ? 0, p : a ? x ? 3a,q : ?1 ? x ? 3. 则

? p是q的充分条件, ??1 ? a ? 3a ? 3,
解得a的取值范围是0 ? a ? 1.-------------7分

故实数 a 的取值范围为: [? , 0) ? (0,1] ---------------------8 分 17.(本题满分 10 分) 解: (1)因为直线 l ? ? l ,所以直线 l ? 的斜率为-1,设直线 l ? 方程为 y ? x ? b ,

1 3

因为截得弦长为

3 , 所 以 圆 心 C 到 直 线 l? 的 距 离 为

1? b 1 1 ? ,解得 ,即 2 2 2

b ? ?1 ?

2 2 2 2 或b ? ?1+ ,所以直线 l ? 方程为: y ? x ? 1 ? 或 y ? x ? 1+ 。 2 2 2 2

---------------------------------------------------------------------------------5 分 (2) S四边形PACB ? 2S ?PAC = PA AC ,因为 AC ? r=1 ,所以当 PA 取得最小值时四边形 PACB 的面积最小。 PA ? PC ? r ? PC ? 1 ,所以当 PC 取最小值时,PA 取得最小值,
2 2 2 2

PC min ?

1? 0 ? 4 2

?

3 2 14 ,所以 ? S四边形PACB ? ? 。 min 2 2

----------------------------------------------------------------------------10 分 18. (本题满分 10 分) (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴AC⊥BC 又∵VC 垂直于⊙O 所在的平面,∴AC⊥VC 而 BC∩VC=C∴AC⊥平面 VBC 又∵D,E 分别是 VA,VC 的中点, ∴DE 是△VCA 的中位线, ∴DE//AC, ∴DE⊥平面 VBC 而 DE ? 平面 EDO,∴平面 EDO⊥平面 VBC.----------------------5 分 (2)解法 1: ∵AB 是⊙O 的直径,∴AC⊥BC 又∵VC 垂直于⊙O 所在的平面,∴ 而 AC∩VC=C∴BC⊥平面 VAC, ∴ BC⊥VA 在平面 VAC 内过点 C 作 CP⊥VA 于点 P,连接 BP 又 BC∩PC=C, ∴VA⊥平面 PBC, ∴VA⊥BP ∴ ? CPB 就是二平角 C-VA-B 的平面角
8

在 RT ? ABC 与 RT ?VAC 中 ,设 BC=a,VC=AB=2BC=2a ∴AC= 3 a,VA= VC VA ?CP= VC ?AC ∴CP=
2

? AC 2 = 7 a

2 21 a 7

∴Tan ? CPB=

a BC = CP 2 21
7

=

a

7 21 21 = 42 6

∴ 二 平 角 C-VA-B 的 平 面 角 大 小 的 正 切 值 是

21 。.-------10分 6
解法2: 以C为原点, CA为x轴,,CB为y轴,CV为z轴建立空间直角坐标系 设BC=1,则VC=AB=2BC=2,AC= 3 C(0,0,0),B(0,1,0),A( 3 ,0,0) ,V(0,0,2)

VB =(0,1,-2) , BA =( 3 ,-1,0)
由BC⊥平面VCA,平面VCA的法向量为 CB , CB =(0,1,0)

?? ?

???

???

???

?? ? ? ? VB ?n ? 0 设平面 VBA 的法向量为 n =(x,1,z),, 则 ??? ? 得 2z=1, BA ?n ? 0

3 x-1=0

3 ? 3 1 1 ,x= ∴ n =( ,1, ), 3 3 2 2 ????? ? ?????? CB ?n 1 ? ∴ cos ? CB ,n ?? ??? ? ? 19 CB n 12
即 z= ∴ tan ? CB ,n ??

12 19

??????

21 6 21 。. 6

∴二平角C-VA-B的平面角大小的正切值是

9

19. (本题满分12分) c 2 ? , 且a ? b ? 0, 可解得a ? 2 2, b ? c ? 2. a 2 x2 y 2 ? 所求的椭圆方程为 ? ? 1. ? ? ? ? ? ? ? ?(3分) 8 4 解 : (1) ? S ? 2ab ? 8 2, e ?
(2)若 | AB |? 2 | CD | 成立, 点P必在y轴的右侧, 故直线PF1必存在设为k1 , 当直线PF2的斜率存在时设为k2 , 此时有直线PF1为 : y ? k1 ( x ? 2), 直线PF2 为 : y ? k2 ( x ? 2).

x2 y2 ? ? 1, 消去y整理得, (1 ? 2k12 ) x 2 ? 8k12 x ? 8(k12 ? 1) ? 0, 8 4 ?8k12 8(k12 ? 1) 由韦达定理, 得x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 1 ? 2k12 1 ? 2k12 由y ? k1 ( x ? 2)代入 ? | AB |? 1 ? k12 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k12 ? (
1 ? k2 2 . 1 ? 2k2 2 1 ? k12 1 ? k2 2 ? 2? , 2 1 ? 2k1 1 ? 2k2 2

?8k12 2 8(k 2 ? 1) 1 ? k12 ) ? 4? 1 2 ? 4 2 ? 1 ? 2k12 1 ? 2k1 1 ? 2k12

同理, 可得 | CD |? 4 2 ?

若 | AB |? 2 | CD | 成立,则有 整理得, 2k12 k2 2 ? 3k12 ? 1 ? 0.

因为此方程无实数解, 所以不存在这样的点P, 使得 | AB |? 2 | CD | 成立.

当直线PF2的斜率不存在时,通径 | CD |?

2b 2 ? 2 2.此时若 | AB |? 2 | CD |? 4 2 ? 2a不成立. a 综上可得,不存在这样的点P, 使得 | AB |? 2 | CD | 成立. ? ? ? ? ? ? ? ?(8分)

? 3? 设P点的坐标为(x,y)则k1 ?
若点在双曲线

y y y2 , k2 ? , k1 k2 ? 2 , x?2 x?2 x ?4

x2 y 2 y2 1 ? ? 1 (除顶点外)上运动, 则有x 2 ? 4 ? 2 y 2 ,? k1k2 ? 2 ? , 4 2 x ?4 2

由(2)可知,| AB | ? | CD |? 4 2 ? ( ?4 2? 2 ? 3k12 ? 3k2 2 ? 4k12 k2 2 1 ? 2k12 ? 2k2 2 ? 4k12 k2 2

1 ? k12 1 ? k2 2 ? ) 1 ? 2k12 1 ? 2k2 2

? 4 2 ? (1 ? ? 4 2 ? (1 ?

1 ? k12 ? k2 2 ) 1 ? 2k12 ? 2k2 2 ? 4k12 k2 2 1 ? k12 ? k2 2
2 2 1

) 1 2 1 ? 2k ? 2k2 ? 4 ? ( ) 2 1 ? 4 2 ? (1 ? ) ? 6 2. ? ? ? ? ? ? ? ?(12分) 2

10


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