河南省各地2014届高三数学 最新模拟试题分类汇编9 圆锥曲线


河南省各地 2014 届高三最新模拟数学理试题分类汇编: 圆锥曲线
一、选择题 1、 (河南省洛阳市 2014 届高三 12 月统考)已知 F1,F2 是双曲线 x -
2

y2 =1 的两个焦点,过 4

F1 作垂直于 x 轴的直线与双曲线相交,一个交点为 P,则|PF2|= A.6 B.4 C.2 D.1 答案:A 2、 (河南省安阳市 2014 届高三第一次调研)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A, B 为抛物线上的两个动点,且满足
2

uuur | MN | ∠AFB=90°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 uuu r 的最 | AB |
大值为 A.

2 2

B.

3 2

C.1

D. 3

答案:A 2 2 3、 (河南省内黄一中 2014 届高三 12 月月考)已知直线 l1 与圆 x +y +2y=0 相切,且与直 线 l2:3x+4y-6=0 平行,则直线 l1 的方程是( A.3x+4y-1=0 C.3x+4y+9=0 答案:D )

B.3x+4y+1=0 或 3x+4y-9=0 D.3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0

x2 y2 a b B,左、右焦点分别 是 F1,F2. 若|AF1|, | F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率
为 1 4 答案:B B. 5 5 C. 1 2 D. 5-2

4、 (河南省淇县一中 2014 届高三第四次模拟) 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右顶点分别是 A,

5、 (河南省淇县一中 2014 届高三第四次模拟)已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点 3 → → 为 F2,P 为双曲线右支上一 点,则PA1?PF2的最小值为 A.-2 81 B.- 16 C.1 D.0

2

y2

答案:A 6、 (河南省武陟一中西区 2014 届高三 12 月月考)如果双曲线的焦点在 x 轴上一条渐近线方 程为 y ?

2 x, 那么它的离心率是

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A、3

B、 2

C、2

D、 3

答案:D 2 7、 (河南省信阳市第四高级中学 2014 届高三 12 月月考)已知抛物线 y =2px(p>0)与双 曲线

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的一个交点,且 AF⊥x 轴, a 2 b2
( ) C. 3 +1 D. 2 +1

则双曲线的离心率为 A. 2 +2 答案:D

B. 5 +1

8、 (河南省郑州外国语学校 2014 届高三 11 月月考)若圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关于
2 2

直线 2ax ? by ? 6 ? 0 对称,则由点 (a, b) 向圆所作的切线长的最小值是( A. 2 答案:C
渐近线与直线



B. 3

C. 4

D. 6

9、 (河南省郑州一中 2014 届高三上学期期中考试)已知双曲线 kx 2 ? y 2 ? 1(k ? 0) 的一条

2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则双曲线的离心率是 (
A. 答案:A

) D. 5

5 2

B.

3 2

C. 4 3

10、 (河南省中原名校 2014 届高三上学期期中联考)已知 F 是双曲线

x 2 y2 - =1(a>0,b a 2 b2

>0)的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、 B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为 A. (1,+∞) 答案:B 11、 (河南省信阳市第四高级中学 2014 届高三 12 月月考) 设双曲线 B. (1,2) C. (1,1+ 2 ) D. (2,1+ 2 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

的 离 心 率 为 2, F (2, 0) 是 右 焦 点 . 若 A、B 为 双 曲 线 上 关 于 原 点 对 称 的 两 点 , 且

???? ??? ? AF ? BF ? 0 ,则直线 AB 的斜率是(
A. ?

) C. ?

7 3

B. ?

3 7 7

3 7

D. ?

7 7 3

答案:B

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12、 (河南省郑州外国语学校 2014 届高三 11 月月考) 设 F1, F2 分别为双曲线

x 2 y2 (a>0, - =1 a 2 b2

b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上任一点。若 心率的取值范围是 ( A. (1, 3 ] 答案:C 二、填空题 ) B. (1,3)

2 |PF | 1 的最小值为 8a,则该双曲线的离 |PF | 2

C. (1,3]

D.[ 3 ,3)

1、 (河南省洛阳市 2014 届高三 12 月统考)已知 F1,F2 是椭圆 x + y =1(a>b>0)的两个 2 2
a b

2

2

焦点,P 为椭圆短轴的端点,且∠F1PF2=90°,则该椭圆的离心率为___________. 答案:

2 2
2

2、 (河南省武陟一中西区 2014 届高三 12 月月考)已知圆过抛物线 y ? x ? 6 x ? 1 与坐标轴 的交点,则该圆方程为 答案: 3、 (河南省中原名校 2014 届高三上学期期中联考)在平面直角坐标系中,记抛物线 y=x-

x 2 与 x 轴所围成的平面区域为 M,该抛物线与直线 y=kx(k>0)所围成的平面区域为 A,
向区域 M 内随机抛掷一点 P,若点 P 落在区域 A 内的概率为 答案:

8 ,则 k 的值为__________ 27

1 3

三、解答题 1、 (河南省洛阳市 2014 届高三 12 月统考)已知动圆过定点 A(0,2) ,且在 x 轴上截得的 弦 MN 的长为 4. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)过点 A(0,2)作一条直线与曲线 C 交于 E,F 两点,过 E,F 分别作曲线 C 的切 线,两切线交于 P 点,当|PE|?|PF|最小时,求直线 EF 的方程. 答案:

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2、 (河南省安阳市 2014 届高三第一次调研) 已知圆 C1: ( x+

6 2 25 6 1 ) +y2= ,圆 C2: ( x- ) 2+y2= ,动圆 P 与已知两圆都外 2 8 2 8

切. (Ⅰ)求动圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)直线 l:y=kx+1 与点 P 的轨迹 E 交于不同的两点 A、B,AB 的中垂线与 y 轴交于 点 N,求点 N 的纵坐标的取值范围. 解: (1)已知两圆的圆心半径分别为 C1 ( : -

6 5 2 6 2 , 0), r1 ? C2 ( : , 0), r2 ? 2 4 2 4 5 2 2 设动圆 P 的半径为 r ,由题意知 PC1 ? r ? , PC2 ? r ? 4 4 则 PC1 ? PC2 ? 2 ? C1C2 ? 6
则点 P 在以 C1 , C2 为焦点的双曲线右支上,其中 2a ?

2, 2c ? 6 ,则 b 2 ? 1

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求得 E 的方程为 2 x ? y ? 1( x ? 0) ????5 分
2

2

(2)将直线 y ? kx ? 1 代入双曲线方程,并整理得 (k 2 ? 2) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) 依题意,直线 l 与双曲线的右支交于不同两点,故 ?k 2 ? 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? (2k ) ? 8( k ? 2) ? 0 ? ?2 ? k ? ? 2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 2 ?0 k ?2 ? ? 2 ?0 ? x1 x2 ? 2 k ?2 ? 且 x0 ?
2

?k ?2 , y0 ? kx0 ? 1 ? 2 则 AB 的中垂线方程为 k ?2 k ?2 2 1 k y? 2 ? ? (x ? 2 ) k ?2 k k ?2 3 3 令 x ? 0 得 yN ? ? ?2 ? k ? ? 2 ? y N ? ? ????12 分 2 2?k 2
3、 (河南省扶沟高级中学 2014 届高三第三次考试) 已知点 A(-2,0),B(2,0),直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为 ? , 记点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程. (2)设 M,N 是曲线 C 上任意两点,且 OM ? ON ? OM ? ON , 问是否存在以原点为圆心且 与 MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)设 P(x,y), 则由直线 PA 与直线 PB 斜率之积为 ? ,

3 4

???? ? ????

???? ? ????

3 4



y y 3 ? ? ? (x ? ?2). x?2 x?2 4

x 2 y2 ? ? 1 (x≠±2). 4 3 ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? (2)存在.若 OM ? ON ? OM ? ON , 则OM ? ON.
整理得曲线 C 的方程为 设 M(x1,y1),N(x2,y2). 若直线 MN 斜率不存在, 则 N(x1,-y1). 由 OM ? ON 得

???? ?

????

y1 ? y1 ? ? ?1, x1 x1



x12 y12 ? ? 1, 4 3

第 5 页 共 13 页

解得直线 MN 的方程为 x ? ?

12 . 7

∴原点 O 到直线 MN 的距离 d=

12 . 7

若直线 MN 斜率存在,设方程为 y=kx+m.

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 由 ? x 2 y2 得(4k +3)x +8kmx+4m -12=0. ?1 ? ? 3 ?4
∴ x1 ? x 2 ?

?8km 4m 2 ? 12 , x ? x ? . ? *? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

由 OM ? ON 得
2 2

???? ?

????

y1 y 2 ? =-1,将(*)式代入,解得 7m2=12(k2+1), x1 x 2
2

此时(4k +3)x +8kmx+4m -12=0 且Δ >0. 此时原点 O 到直线 MN 的距离 d ?

m k ?1
2

?

12 . 7

故原点 O 到直线 MN 的距离恒为 d ?

12 , 7
2 2

即存在以原点为圆心且与 MN 总相切的圆,其方程为 x +y =

12 . 7

4、如图所示,已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1: x+2y+7=0 相切,过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点,直 线 l 与 l1 相交于点 P. (1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程; (3)B Q ?B P 是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.





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答案:

5、 (河南省淇县一中 2014 届高三第四次模拟) 2 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y =4x 相交于不同的 A,B 两点. → → ( 1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求OA?OB的值;
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→ → (2)如果OA?OB=-4,证明:直线 l 必过一定点,并求出该定点. (1)解 由题意:抛物线焦点为(1,0), 设 l:x=ty+1,代入抛物线 y =4x,消去 x 得 y -4ty-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4, → → ∴OA?OB=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2 =t y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t +4t +1-4=-3. (2)证明 设 l:x=ty+b,代入抛物线 y =4x, 消去 x 得 y -4ty-4b=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4t,y1y2=-4b, → → ∴OA?OB=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 =t y1y2+bt(y1+y2)+b +y1y2 =-4bt +4bt +b -4b=b -4b. 令 b -4b=-4,∴b -4b+4=0,∴b=2, ∴直线 l 过定点(2,0). 6、 (河南省武陟一中西区 2014 届高三 12 月月考) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. (I)由题意设椭圆的标准方程为
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b 2 ? 3

?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (II)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m 2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

第 8 页 共 13 页

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

3(m 2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), k AD ? k BD ? ?1 ,

?

y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7 m 2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得

m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k ,且满足 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾;

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ? 7、 (河南省信阳市第四高级中学 2014 届高三 12 月月考) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的 2 a b 2

圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,直线 l : x ? my ? 4 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围;

??? ??? ?

解析: (Ⅰ)由题意知 e ? 又b ?
6 1?1

c2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b 2 ? ,∴ e2 ? 2 ? 4 a 2 3 a a2
y2 x2 ? ?1 4 3

? 3 ,∴ a 2 ? 4, b 2 ? 3 故椭圆的方程为

4分

?l : x ? my ? 4 ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 y 2 得: (3m 2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ? ? 1 ? 3 ? 4

6分

由? ? 0 ? (24m) 2 ? 4 ? 36(3m 2 ? 4) ? 0 ? m 2 ? 4
设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 y1 ? y2 ? ?
24m 36 , y1 y2 ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4

8分 10 分

??? ? ???? ?12m 2 ? 100 116 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (m 2 ? 1) y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16 ? ? ?4 ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4
第 9 页 共 13 页

∵ m 2 ? 4 ∴ 3m 2 ? 4 ? 16 ,

??? ? ???? 13 ∴ OA ? OB ? (?4, ) 4

??? ? ???? 13 ∴ OA ? OB 的取值范围是 (?4, ) . 4

12 分

2 2 8、 (河南省郑州外国语学校 2014 届高三 11 月月考)已知椭圆 E: x 2 ? y 2 ? 1 (a>b>0) a b

的右焦点 F2 与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,过 F2 作与 x 轴垂直的直线交椭圆于 S,T 两点,
2

交抛物线于 C,D 两点,且 | CD | ? 2 2 . | ST | (I)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)设 Q(2,0) ,过点(-1,0)的直线 l 交椭圆 E 于 M、N 两点. (i)当 QM ? QN ?

19 时,求直线 l 的方程; 3

(ii)记Δ QMN 的面积为 S,若对满足条件的任意直线 l,不等式 S ? λ tan∠MQN 恒成 立,求λ 的最小值. 答案:

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9、 (河南省郑州一中 2014 届高三上学期期中考试)

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别为 F1 , F2 ,双曲线 C2 : ? ? 1 ,设 P 8 4 4 4 为双曲线上异于顶点的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D. (Ⅰ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,求: k1 ? k 2 的值; y (Ⅱ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立?
如图,已知椭圆 C1 :
A C P

第 11 页 共 13 页
B F1

o
D

F2

x

若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由.

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), P ( x0 , y0 ) ,则 k1 ?
2

y0 y0 , k2 ? x0 ? 2 x0 ? 2
2

因为点 P 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 上,所以 x0 ? y0 ? 4. 因此 k1 k2 ?

y0 y y ? 0 ? 2 0 ? 1 ,即 k1 k2 ? 1. x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

(Ⅲ)由于 PF1 的方程为 y ? k1 ( x ? 2) ,将其代入椭圆方程得

(2k12 ? 1) x 2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 8 ? 0
由违达定理得 x1 ? x2 ? ? 所以 | AB |? 1 ? k1
2

8k12 8k12 ? 8 , x x ? 1 2 2k12 ? 1 2k12 ? 1

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
k12 ? 1 8k12 2 8k12 ? 8 (? 2 ) ? 4 ? 2 ?4 2 2 2k1 ? 1 2k1 ? 1 2k1 ? 1
2 2 k2 ?1 ?1 1 1 1 2k12 ? 1 2k2 . ? ? ( ? ) 则 2 2 2 | AB | | CD | 4 2 k1 ? 1 2k 2 ? 1 k2 ? 1

? 1? k

2 1

同理可得 | CD |? 4 2 又 k1 k2 ? 1

2 ?1 1 1 1 2k ? 1 k12 2 2k12 ? 1 k12 ? 2 3 2 所以 ? ? ( ? )? ( 2 ? 2 )? 1 | AB | | CD | 4 2 k ? 1 8 k1 ? 1 k1 ? 1 8 ?1 2 k1
2 1 2 1

故 | AB | ? | CD |?

3 2 | AB | ? | CD | 8

因此,存在 ? ?

3 2 ,使 | AB | ? | CD |? ? | AB | ? | CD | 恒成立。 8

10、 (河南省中原名校 2014 届高三上学期期中联考)已知 A(-5,0) ,B(5,0) ,动点 P 满足| PB |,

uur

1 uur | PA |,8 成等差数列. 2

(1)求 P 点的轨迹方程; (2) 对于 x 轴上的点 M, 若满足| PA |? | PB |= PM , 则称点 M 为点 P 对应的 “比
第 12 页 共 13 页

uur

uur

uuur 2

例点” 。问:对任意一个确定的点 P,它总能对应几个“比例点”? 答案: .解: (1)由已知得 PA ? PB ? 8,

uur

uur

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