山东临清三中高中数学 4.1.1圆的标准方程教案 新人教A版必修2


4.1.1

圆的标准方程

【教学目标】 1.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的 标准方程,能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题. 2. 通过圆的标准方程的推导, 培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问 题的能力. 3.通过圆的标准方程,解决一些如圆拱桥的实际问题,说明理论既来源于实践,又服 务于实践,可以适时进行辩证唯物主义思想教育. 【教学重难点】 教学重点:(1)圆的标准方程的推导步骤;(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程. 教学难点:运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题. 【教学过程】 (一)情景导入、展示目标 前面,大家学习了圆的概念,哪一位同学来回答? 1:具有什么性质的点的轨迹称为圆? 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆). 2:图 2-9 中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了 圆的什么特点?

圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径 分别确定了圆的位置和大小. (二)检查预习、交流展示 求曲线的方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可少? 求曲线方程的一般步骤为: (1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意点 M 的坐标,简称建系设点;图 2-9 (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)|},简称写点集;
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(3)用坐标表示条件 P(M),列出方程 f(x,y)=0,简称列方程; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式,简称化简方程; (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程,简称证明. 其中步骤(1)(3)(4)必不可少. (三)合作探究、精讲精练 探究一:如何建立圆的标准方程呢? 1.建系设点 由学生在黑板上画出直角坐标系,并问有无不同建立坐标系的方法.教师指出:这两 种建立坐标系的方法都对,原点在圆心这是特殊情况,现在仅就一般情况推导.因为 C 是定 点,可设 C(a,b)、半径 r,且设圆上任一点 M 坐标为(x,y). 2.写点集 根据定义,圆就是集合 P={M||MC|=r}. 3.列方程

由两点间的距离公式得: 4.化简方程

将上式两边平方得: (x-a) +(y-b)

2

2

=r

2

(1)

方程(1)就是圆心是 C(a,b)、半径是 r 的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程. 探究二:圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么? 这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x +y =r . 教师指出:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要 a,b, r 三个量确定了且 r>0,圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立 的条件.注意,确定 a、b、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决. 例1 写出下列各圆的方程:(请三位同学演板)
2 2 2

用心 爱心 专心

2

(1)圆心在原点,半径是 3;

(3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3); 解析:要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.

解:(1)x +y =9;(2)(x-3) +(y-4) =5;

2

2

2

2

点评: 圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关,应熟练掌握. 变式训练1: 说出下列圆的圆心和半径:(学生回答)

(1)(x-3) +(y-2) =5;

2

2

(2)(x+4) +(y+3) =7;

2

2

(3)(x+2) + y =4

2

2

答案:(1) 圆心是(3,2),半径是 5 ;(2) 圆心是(-4,-3),半径是 7 ;(3) 圆心 是(-2,0),半径是2.

例2

(1)已知两点 P 1 (4,9)和 P2(6,3),求以 P 1 P 2 为直径的圆的方程;(2)试判断

点 M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外? 解析:分析一:从确定圆的条件考虑,需要求圆心和半径,可用待定系数解决;分析 二:从图形上动点 P 性质考虑,用求曲线方程的一般方法解决. 解:(1) 解法一:(学生口答)

设圆心 C(a,b)、半径 r,则由 C 为 P 1 P 2 的中点得:

又由两点间的距离公式得:

∴所求圆的方程为:(x-5) +(y-6) =10 解法二:(给出板书)
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2

2

∵直径上的四周角是直角,∴对于圆上任一点 P(x,y),有 PP 1 ⊥PP 2 .

化简得:x +y -10x-12y+51=0.

2

2

即(x-5) +(y-6) =10 为所求圆的方程. 解(2):(学生阅读课本) 分别计算点到圆心的距离:

2

2

因此,点 M 在圆上,点 N 在圆外,点 Q 在圆内. 点评:1.求圆的方程的方法 (1)待定系数法,确定 a,b,r; (2)轨迹法,求曲线方程的一般方法. 2.点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r: (1)点在圆上 (2)点在圆外 (3)点在圆内 d=r; d>r; d<r.

变式训练2:求证:以 A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )为直径端点的圆的方程为 (x-x 1 )(x-x 2 )+(y-y 1 )(y-y 2 )=0. 证明:略.
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(四)反馈测试 导学案当堂检测 (五)总结反思、共同提高 1.圆的方程的推导步骤; 2.圆的方程的特点:点(a,b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径; 3.求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;(2)轨迹法. 【板书设计】 探究一:圆的标准方程 1.建系设点 2.写点集 3.列方程 4.化简方程 探究二:圆的方程形式特点 例1 变式训练1 例2 变式训练2 课堂小结 【作业布置】 导学案课后练习与提高

学校--临清实高 学科--数学 编写人—刘肖 审稿人--周静 4.1.1 圆的标准方程 课前预习学案 一.预习目标 回忆圆的定义,初步了解用方程建立圆的标准方程. 二.预习内容 1:圆的定义是怎样的?

2:圆的特点是什么?

三.提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中
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疑惑点

疑惑内容

课内探究学案 一.学习目标 1.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的 标准方程,能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题. 2. 通过圆的标准方程的推导, 培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问 题的能力. 3.通过圆的标准方程,解决一些如圆拱桥的实际问题,说明理论既来源于实践,又服 务于实践,可以适时进行辩证唯物主义思想教育. 学习重点:(1)圆的标准方程的推导步骤;(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程. 学习难点:运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题. 二.学习过程 探究一:如何建立圆的标准方程呢? 1.建系设点

2.写点集

3.列方程

4.化简方程

探究二:圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?

例1

写出下列各圆的方程:(请四位同学演板)

(1)圆心在原点,半径是 3;

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(3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3);

变式训练1: 说出下列圆的圆心和半径:(学生回答)

(1)(x-3)

2

+(y-2) =5;

2

(2)(x+4) +(y+3)

2

2

=7;

(3)(x+2) + y =4

2

2

例2

(1)已知两点 P 1 (4,9)和 P 2 (6,3),求以 P 1 P 2 为直径的圆的方程;(2)试判

断点 M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?

变式训练2:求证:以 A(x 1 ,y 1 )、B(x 2 ,y 2 )为直径端点的圆的方程为 (x-x 1 )(x-x 2 )+(y-y 1 )(y-y 2 )=0.

三.反思总结 圆的定义 几何特征 方程特征 待定系数法法 轨迹法法

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四.当堂检测 2 2 1.圆(x+1) +(y-2) =4 的圆心、半径是 ( A.(1,-2),4 B.(1,-2),2

) C.(-1,2),4 D.(-1,2),2

2.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 为 .

B(2,1) . 则 圆 C 的 方 程

3.一个等腰三角形底边上的高等于 5,底边两端点的坐标是(-4,0)和(4,0),求它的 外接圆的方程.

参考答案:1.D

2. ( x ? 3) ? y ? 2
2 2

课后练习与提高 1.圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 的周长是(
2 2



A. 2 ?
2

B. 2 ?
2 2

C.2 2 ?

D. 4 ? ) D.不确定

2.点P( m , 5 )与圆 x ? y ? 24 的位置关系是( A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上

3.已知圆C与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 关于直线 y ? ? x 对称,则圆C的方程为(
2 2



A. ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

B. x ? y ? 1
2 2

C. x ? ( y ? 1) ? 1
2 2

D. x ? ( y ? 1) ? 1
2 2

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4.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 .

5.已知圆心在 x 轴上,半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程是 .

6.赵州桥的跨度是 37.4m,圆拱高约为 7.2m,求这座圆拱桥的拱圆的方程.

参考答案:
( 4. x + 1 ) ? y ? 2
2 2

1.C

2.A

3.C

5. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2

6 .如图 2-11 建立坐标系,得拱圆的方程:

x +(y+27.88) =27.882(-7.2≤y≤0)

2

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