2018学年高中数学北师大版选修4-1课件:1.1.5 直角三角形的射影定理 精品_图文


阶 段 一 阶 段 三 1.5 阶 段 二 直角三角形的射影定理 学 业 分 层 测 评 1.理解直角三角形的射影定理并会证明. 2.会应用直角三角形的射影定理解决直角三角形的有关问题. [基础· 初探] 教材整理 1 比例中项 如果 a∶b=b∶c (即 b2=ac),那么 b 称为 a 和 c 的比例中项. 1.已知 4 是 a 与 8 的比例中项,求实数 a 的值. 【解】 ∵4 是 a 与 8 的比例中项,∴42=8a,a=2. 教材整理 2 直角三角形的射影定理 (1)定理:直角三角形的每一条直角边是 它在斜边上的射影与斜边的比例中 项 ,斜边上的高是 两条直角边在斜边上射影的比例中项 . (2)表示:如图 1157,在 Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,则有 BC2 =BD·BA,AC2=AD·AB,CD2= AD·DB . 图 1157 2.已知:在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD 是 AB 边上的高,BC= 15 cm, BD=3 cm,则 AD 的长是( A.5 cm C.6 cm 15 ∴AB= 3 =5, ∴AD=AB-BD=5-3=2. 【答案】 B ) B.2 cm D.24 cm 【解析】 由题意知 BC2=BD· AB, 3.如图 1158 所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于点 D,CD= 2,BD=3,则 AC=________. 图 1158 【解析】 4 由 CD =BD· AD 得 AD=3, 2 4 13 ∴AB=BD+AD=3+3= 3 , 4 13 52 ∴AC =AD· AB=3× 3 = 9 , 2 2 ∴AC=3 13. 2 13 【答案】 3 4.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD 是高,AC=12 cm,BC=15 cm,则 S△ACD∶S△BCD=________. 【导学号:96990009】 【解析】 由直角三角形的射影定理知, AC2=AD· AB,BC2=BD· AB, AD AC2 122 16 ∴BD=BC2=152=25, S△ACD AD 16 ∴ = = . S△BCD BD 25 【答案】 16∶25 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________ [小组合作型] 利用射影定理进行计算 已知:CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高,如果两直角边 AC, BC 的长度比为 AC∶BC=3∶4. 求:(1)AD∶BD 的值; (2)若 AB=25 cm,求 CD 的长. 【精彩点拨】 先根据 AC∶BC 与 AD∶BD 之间的关系求出 AD∶BD 的值; 再根据斜边 AB 的长及 AD∶BD 的值分别确定 AD 与 BD 的值.最后由射影定理 CD2=AD· BD,求得 CD 的长. 【自主解答】 (1)∵AC2=AD· AB,BC2=BD· AB, AD· AB AC2 ∴BD· AB=BC2, AD ?AC?2 ?3?2 9 ∴BD=?BC? =?4? =16, ? ? ? ? 即 AD∶BD=9∶16. (2)∵AB=25 cm,AD∶BD=9∶16, 9 ∴AD=25×25=9(cm). 16 BD=25×25=16(cm), ∴CD= AD· BD= 9×16=12(cm). ?AC? AD 1.解答本题(1)时,关键是把BD转化为?BC?2. ? ? 2.解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角三角形中有关线段的长 度.在解题时,要紧抓线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件,紧 扣等式结构形式,达到最终目的. [再练一题] 1.本例中若条件改为“AD=6 cm,CD=2 3 cm”,试求: (1)∠A 的度数;(2)△ABC 的面积. 【导学号:96990010】 【解】 (1)∵CD=2 3 cm,AD=6 cm, 3 CD 2 3 ∴tan ∠A= AD= 6 = 3 ,∴∠A=30° . 2 CD 12 2 (2)∵CD =AD· BD,∴BD= AD = 6 =2(cm). ∴AB=6+2=8(cm), 1 1 ∴S△ABC=2×AB×CD=2×8×2 3=8 3(cm2). 利用射影定理进行证明 已知:如图 1159,∠BAC=90° ,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC, AB3 BE 垂足分别为 D,E,F.求证:AC3=CF. 图 1159 【精彩点拨】 本题要证的等式左边次数较高,不易发现规律,故可从较 简单的右边入手探求等式成立的条件. 【自主解答】 BD2 即 BE= AB . 由射影定理得 BD2=BE· AB, ① 又 CD2=CF· AC, CD2 ∴CF= AC . ①÷ ②得, BE BD2 AC ?BD ?2 AC ? ? CF= AB · AB. CD2=?CD? · ③ ② 由射影定理得,AB2=BC· BD, AB2 即 BD= BC . 同理

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