高中数学第一章三角函数14三角函数的图象与性质142正弦函数余弦函数的性质周期性课堂导学案新人教A版必修4


1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(周期性) 课堂导学 三点剖析 1.周期的概念及求函数的周期 【例 1】求下列函数的周期: (1)y=sin2x;(2)y=3cos 1 ? x ;(3)y=2sin(2x- ). 2 3 思路分析:本题主要考查 y=Asin(ω x+φ ).y=Acos(ω x+φ )的周期的求法.利用周期函数定 义及诱导公式求函数的周期. 解: (1)由于 f(x+π )=sin2(x+π )=sin(2x+2π )=sin2x=f(x),所以由周期函数的定义知, 原函数的周期为 π . (2)由于 f(x+4π )=3cos[12(x+4π )]=3cos( 的定义知,原函数的周期为 4π . (3)由于 f(x+π )=2sin[2(x+π )- 1 1 x +2π )=3cos x =f(x),所以,由周期函数 2 2 ? ? ? ]=2sin[2x+2π - ]=2sin(2x- )=f(x),由周期函 3 3 3 数的定义知,原函数的周期为 π . 温馨提示 由 上 例 可 以 看 到 函 数 的 周 期 仅 与 x 的 系 数 有 关 . 一 般 地 ,y=Asin(ω x+φ ) 或 y=Acos(ω x+φ )(其中 A、ω 、φ 为常数,A≠0,ω >0)的周期 T=2π ω ,若 y=f(x)的周期 为 T,则 y=f(ω x)的周期为 T |? | . 2.周期函数概念的理解 【例 2】判断下列函数是否是周期函数?如果是,求出它的一个周期. (1)y=lgx;(2)y=sinx. 思路分析:判断一个函数是否是周期函数,须根据定义,看是否存在一个常数 T ,使得 f(x+T)=f(x). 解: (1) 取定义域内一个值 x0=1.由于 f(x0+T)=lg(x0+T)=lg(1+T)≠lg1(T≠0 的常数), 于是 f(x)=lgx 不是周期函数. (2)∵对定义域内任一 x,有 sin(x+2kπ )=sinx,(k∈Z,k≠0), ∴y=sinx 是周期函数,周期为 2kπ (k∈Z,k≠0). 温馨提示 判断一个函数是周期函数,关键是能找到常数 T(T≠0) ,使得对定义域内的任一 x,有 f(x+T)=f(x).判断一个函数不是周期函数,只要在定义域内找一个特殊值 x0,验证 f(x0+T) ≠f(x0).就可以说明 f(x)不是周期函数. 3.周期函数的定义 ? ? ? ? ? 使 sin( + )=sin 成立,所以 是 y=sinx 的一个周期. 2 4 2 4 2 T ②f(2x+T)=f(x)对定义域内的任意 x 都成立,所以 是 f(x)的周期.(T≠0) 2 【例 3】①存在 T= ③周期函数不一定有最小正周期. 1 ④周期函数的周期不止一个. 以上命题是真命题的是. 答案:②③④ 温馨提示 理解周期函数的概念要注意以下三点: (1)存在一个常数 T≠0; (2)对其定义域内的每一个 x 值,x+T 属于定义域; (3)当 x 取定义域内每个值时,f(x+T)=f(x)恒成立. 各个击破 类题演练 1 求下列函数的最小正周期. ? ); 6 2 ? (2)y=2cos( x- ). ? 3 2? 解:(1)T= =π . 2 (1)y=3sin(2x+ (2)T= 2? 2 =π . 2 ? 变式提升 1 求 y=|sinx|的周期. 解:将 y=sinx 的图象中 y≥0 的部分保持不变,将 y<0 部分的图象翻折到 x 轴的上方,即 得 y=|sinx|的图象,(如下图所示).由 y=|sinx|的图象知其周期为 π . 温馨提示 由数形结合法可知 y=|Asin(ω x+φ )| (A、 ω、 φ 是常数, ω >0) 的周期为 y=Asin(ω x+φ ) (A、ω 、φ 为常数,ω >0)的周期的一半. 类题演练 2 下列四个函数为周期函数的是( ) 0 A.y=3 B.y=3x C.y=sin|x| x∈R D.y=sin1x x∈R 且 x≠0 答案:A 变式提升 2 已知定义在实数集上的函数 f(x)始终满足 f(x+2)=-f(x). 判断 y=f(x)是否是周期函数.若是周期函数,求出它的一个周期. 解:∵f(x+4) =f[2+(x+2)] =-f(x+2) =-[-f(x)]=f(x). 2 ∴f(x)是周期函数,且周期是 4. 类题演练 3 函数 y=f(x),x∈[-2,2]图象如下图所示,f(x)是周期函数吗? 解析:在周期函数 y=f(x)中,T 是周期,若 x 是定义域内的一个值,则 x+kT(k∈Z 且 k≠0) 也一定属于定义域, 因此周期函数的定义域一定是无限集, 而且定义域一定无上界或者无下 界. 答案:不是 变式提升 3 sinx 函数 y=a 的图象是怎样的呢?是否是周期函数?若是,它的最小正周期又是什么呢? sin(x+2kπ ) sinx 解析:∵y=a =a , 即存在常数 T=2kπ (k∈Z), 使得 f(x+T)=f(x), sinx ∴y=a 是周期函数,且最小正周期为 2π .因此,它的图象应是每隔 2π 个单位长度是相同 的. 3

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