2016高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数2.5.1几种函数增长快慢的比较练习湘教版必修1


2.5 2.5.1 函数模型及其应用 几种函数增长快慢的比较 [学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长快慢;理解直线上升, 对数增长,指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题,建模解决实际问题. [预习导引] 1.三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞)上 的增减性 图象的变化 2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0,+∞)上,函数 y=a (a>1),y=logax(a>1)和 y=x (n>0)都是增函数,但 增长速度不同,且不在同一个“档次”上. (2)在区间(0,+∞)上随着 x 的增大,y=a (a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于 y =x (n>0)的增长速度,而 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个 x0,使得当 x>x0 时,有 logax<x <a . n x n x x n y=a (a>1) x y=logax (a>1) 单调递增 随 x 增大逐 渐变缓 y=xn (n>0) 单调递增 单调递增 随 x 增大逐渐变陡 随 n 值而不同 要点一 函数模型的增长差异 例 1 (1)当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( A.y=10 000x C.y=x 1 000 ) B.y=log2x ?e?x D.y=? ? ?2? 5 26 10 101 15 226 20 401 25 626 30 901 (2)四个变量 y1,y2,y3,y4 随变量 x 变化的数据如下表: x y1 1 2 1 y2 y3 y4 2 2 2 32 10 4.322 1 024 20 5.322 32 768 30 5.907 1.05×10 40 6.322 6 3.36×10 50 6.644 7 1.07×10 60 6.907 9 关于 x 呈指数函数变化的变量是________. 答案 (1)D (2)y2 ?e?x 解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当 x 越来越大时,函数 y=? ? 增长速度 ?2? 最快. (2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的. 从表格中可以看出,四个变量 y1,y2,y3,y4 均是从 2 开始变化,变量 y1,y2,y3,y4 都是越 来越大,但是增长速度不同,其中变量 y2 的增长速度最快,可知变量 y2 关于 x 呈指数函数变 化. 规律方法 在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=a (a>1),y=logax(a>1)和 y=x (n>0)都是 增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着 x 的增大,y=a (a>1) 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=x (n>0)的增长速度,而 y=logax(a>1)的增 长速度则会越来越慢,总会存在一个 x0,若 x>x0,有 logax<x <a . 跟踪演练 1 如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y(枝)的散点图, 那么最能拟合诗句“红 豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( ) n x n x x n A.指数函数:y=2 C.幂函数:y=t 答案 A 3 t B.对数函数:y=log2t D.二次函数:y=2t 2 解析 由题中图象可知,该函数模型为指数函数. 要点二 几种函数模型的比较 例2 某汽车制造商在 2013 年初公告:随着金融危机的解除,公司计划 2013 年生产目标定 为 43 万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示: 年份 产量 2010 8(万) 2011 18(万) 2012 30(万) 如果我们分别将 2010,2011,2012,2013 定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型: 2 二次函数模型 f(x)=ax +bx+c(a≠0),指数函数模型 g(x)=a·b +c(a≠0,b>0,b≠1), 哪个模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系? 解 建立年销量 y 与年份 x 的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30). (1)构造二次函数模型 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 2 2 x a+b+c=8, ? ? 将点坐标代入,可得?4a+2b+c=18, ? ?9a+3b+c=30, 解得 a=1,b=7,c=0, 则 f(x)=x +7x,故 f(4)=44,与计划误差为 1. (2)构造指数函数模型 2 g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1), ab+c=8, ? ? 2 将点坐标代入,可得?ab +c=18, ? ?ab3+c=30, 125 6 125 ?6?x 解得 a= ,b= ,c=-42.则 g(x)= ·? ? -42, 3 5 3 ?5? 125 ?6?4 故 g(4)= ·? ? -42=44.4,与计划误差为 1.4. 3 ?5? 由(1)(2)可得,f(x)=x +7x 模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系. 规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型,也就是借助数 据信息,得到相关方程,进而求出待定参数. 2. 理解“模型能更好反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系”的含义, 在此基础上利用既定值 来检验模型的优劣. 跟踪演练 2 函数 f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1 的图象如图. 2 (1)指出 C1,C2 分别对应图中哪一个函数; (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较). 解 (1)由函数图象特征及变化趋势,知 曲线 C1 对应的函数为 g(x)=0.3x-1, 曲线 C2 对应的函数为 f(x)=lg x. (2)当 x∈(0,x1)时,g(x)>f(x); 当 x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x); 当 x∈(x2,+∞)时,g

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