2019届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件 文


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第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式

1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,csoins αα= tan α???α≠kπ+π2?k∈Z????.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α,π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式,并能灵活运用.

1.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系: sin2θ+cos2θ=1

;(2)商数关系:tan

θ=csoins

θ θ.

2.六组诱导公式

角 2π-α π+α

-α

π-α π2-α π2+α

正弦 -sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α

余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α

正切 -tan α tan α -tan α -tan α cot α -cot α

对于角“

kπ 2

±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,

符号看象限”意思是说

kπ 2

±α,k∈Z的三角函数值等于“当k为奇

数时,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切;当k为偶数时,

函数名不变,然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数

值的符号.”

[基础自测] 1.(教材改编题)已知 sin(π+α)=12,则 cos α 的值为( )

A.±12

1 B.2

3 C. 2

D.±

3 2

解析:∵sin(π+α)=12,∴sin α=-12,

∴cos α=± 1-sin2α=± 23. 答案:D

2.(教材改编题)sin 945°等于( )

A.-

3 2

3 B. 2

C.

2 2

D.-

2 2

解析:sin 945°=sin(720°+225°)=sin 225°=sin(180°+45°)=

-sin

45°=-

2 2.

答案:D

3.已知 sin α=35,α∈???0,π2???,则 tan α 的值等于(

)

4

3

A.3

B.4

C.±43

D.±34

解析:∵sin α=35,α∈???0,π2???,

∴cos α=45,

∴tan α=34.

答案:B

4.若cos θ=-35,tan θ>0,则sin θ=________. 解析:∵cos θ=-35,tan θ>0,∴θ为第三象限角,则sin θ=
- 1-cos2θ=-45. 答案:-45

5.tan(-1 560°)=________.
解 析 : tan( - 1 560°) = tan( - 360°×5 + 240°) = tan240°= tan(180°+60°)=tan 60°= 3.
答案: 3

考点一 同角三角函数的基本关系

[例1] 已知sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则tan α=( )

A.-1

B.-

2 2

2 C. 2

D.1

审题视点 求出α的值后再求解或利用平方关系求解.

解析 法一:因为sin α-cos α= 2,所以1-2sin αcos α= 2,即sin 2α=-1,又α∈(0,π), 所以α=34π,所以tan α=-1.

法二:将等式sin α-cos α= 2两边平方, 得到2sin αcos α=-1, 整理得1+2sin αcos α=0?sin2α+cos2α+2sin αcos α=0?(sin α+cos α)2=0?sin α+cos α=0, 由sin α-cos α= 2和sin α+cos α=0,解得sin α= 22,cos α =- 22,故tan α=csoins αα=-1. 答案 A

(1)对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,已 知其中一个式子的值,其余二式的值可求,转化的公式为(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;(2)关于sin α,cos α的齐次式,往往化 为关于tan α 的式子.

1.(2015·高考福建卷)若 sin α=-153,且 α 为第四象限角,则

tan α 的值等于

()

12 A. 5

B.-152

5 C.12

D.-152

解析:方法一:因为α为第四象限的角,故cos α= 1-sin2α



1-???-153???2=1123,所以tan α=csoins αα=-11253=-152.

13

方法二:因为α是第四象限角,且sin α=-153,所以可在α的

终边上取一点P(12,-5),则tan α=yx=-152.故选D.

答案:D

2.已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=15. (1)求tan α的值; (2)把cos2α-1 sin2α用tan α表示出来,并求其值.

解:(1)∵sin α+cos α=15, ∴(sin α+cos α)2=???15???2, 即1+2sin αcos α=215, ∴2sin αcos α=-2245, ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+2245=4295.

∵sin αcos α=-1225<0且0<α<π, ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, ∴sin α-cos α=75,

??sin 由?
??sin

α+cos α-cos

α=15 α=75

??sin ,得?
??cos

α=45 α=-35



∴tan α=-43.

(2)cos2α-1 sin2α=scions22αα+-csoins22αα
sin2α+cos2α =cos2cαo-s2αsin2α=t1a-n2tαa+n2α1.
cos2α
∵tan α=-43,
∴cos2α-1 sin2α=t1a-n2tαa+n2α1=???1--43??????-2+43???12=-275.

考点二 诱导公式的应用

[例 2] 已知 α∈(-π,0),tan(3π+α)= a

则 cos???32π+α???的值为(

)

A.

10 10

B.-

10 10

3 10 C. 10

D.-3 1010

(a>0,且 a≠1),

审题视点 利用诱导公式先化简条件,再求值.

解析 ∵tan(3π+α)=a ,∴tan α=13,

??sin2α+cos2α=1

由? sin ??cos

αα=13

得 sin α=± 1100,∵α∈(-π,0)

∴sin α=- 1100,∴cos???32π+α???=sin α=- 1100.
答案 B

在利用诱导公式求值时,一般要先化简,再根据条件求值, 掌握诱导公式的关键是对“函数名称”和“正负号”的正确判 断.另外,诱导公式的应用非常灵活,可以正用、逆用和变形应 用,但是要尽量避开平方关系.

1.(2015·高考重庆卷)若tan α=2tanπ5,则 csoisn??????αα--31π5π0??????=(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:∵cos???α-31π0???=cos???α+π5-π2???=sin???α+π5???,

∴原式=ssiinn??????αα+-π5π5??????=ssiinn

αcosπ5+cos αcosπ5-cos

π ααssiinnπ55=ttaann

α+tan α-tan

π 5 π. 5

又∵tan α=2tan

π5,∴原式=2tan 2tan

π5+tan π5-tan

π 5π=3. 5

答案:C

2.已知α为第三象限角,f(α)= sin???tαa-n?-π2???·αc-os???π3?2π·s+in?α-???·tαan-?ππ-? α?, (1)化简f(α); (2)若cos???α-32π???=15,求f(α)的值.

解:(1)f(α)=sin???tαa-n?-π2???·αc-os???π3?2π·s+in?α-???·tαan-?ππ-? α? =?-co?s-αt?a·sninα?α·s·?i-n αtan α? =-cos α.

(2)∵cos???α-32π???=15, ∴-sin α=15,从而sin α=-15. 又α为第三象限角,∴cos α=- 1-sin2α=-256, 即f(α)的值为2 5 6.

考点三 三角函数式的化简与证明 [例3] (1)化简:ssiinn??23ππ--αα??··csions??α3-π-π?α·c?·ocso?s-???32απ-+πα????; (2)求证:对于任意的整数k, sin[?ks+in1?k?ππ+-αα]?ccooss[??kkπ-+1α??π-α]=-1. 审题视点 (1)把所给的三角函数式化简、约分得结果; (2)k不明确,对其分奇数和偶数讨论.

解 (1)原式=s-inαsi·n?-α·s?i-n αco?·s?-α?c·soisn αα?=1. (2)证明:当k为偶数时,设k=2n(n∈Z), 则原式=sin?2sinnπ?2+nππ- +αα??ccooss??22nnππ+ -απ-? α? =?-?-sinsiαn?α?-?cocsosαα?=-1;

当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z), 则原式=sins[i?n2[n?+2n1+?π2-?πα+]cαo]sc[o?2s?n2+nπ1-?πα+? α] =-sisninαcαocsosαα=-1. 故对任意的整数k, sin[?ks+in1?k?ππ+-αα]?ccooss[??kkπ-+1α??π-α]=-1.

(1)在用诱导公式时,式子符号的判断看象限,注意把任意角 α看成锐角来处理.
(2)把异角利用诱导公式化为同角,再用同角三角函数关系式 化简是求解的关键.

1.化简: sin???π2c+osα????πc+osα???π2?-α???+sin?πs-inα?π?c+osα???π2? +α???. 解:因为sin???π2c+osα????πc+osα???π2? -α??? =co-s αco·ssinαα=-sin α,

sin?π-α?cos???π2+α??? sin?π+α?

=sin

α·?-sin -sin α

α?=sin

α,

所以原式=-sin α+sin α=0.

2.求证:csoins??-1 414800°°+-αα??··csoins??α--α1-018800°°??=-1. 证明:因为左边= sin?α+4×360°?·cos?α-3×360°? cos[-?180°+α?]·sin[-?180°+α?] =cos?180°+siαn?·α[-·cossinα?180°+α?] =?-sicnoαs ·αc?o·ssiαn α=-1=右边. 所以原等式成立.

忽视题设隐含条件致误

[典例] 若 sin θ,cosθ 是关于 x 的方程 5x2-x+a=0(a 是常

数)的两根,θ∈(0,π),则 cos 2θ 的值为( )

7 A.25

B.-275

C.±275

D.与 a 有关的值

解题指南 利用诱导公式求解

解析 由题意知,sin θ+cos θ=15, ∴(sin θ+cos θ)2=215,∴sin 2θ=-2245, 即2sin θcos θ=-2245<0,则sin θ与cos θ异号, 又sin θ+cos θ=15>0,∴π2<θ<34π, ∴π<2θ<32π,故cos 2θ=- 1-sin22θ=-275. 答案 B

错误解答 由题意知,sin θ+cos θ=15, ∴(sin θ+cos θ)2=215,∴sin 2θ=-2245, ∵θ∈(0,π),∴2θ∈(0,2π), ∴cos 2θ=± 1-2sin22θ=±275.

防范措施

忽视隐含条件,产生了增解

7 25

,解答这类问题

一要注意考虑题设中的角的范围;二要考虑题设中的隐含条件.

备考建议 (1)涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系

问题时,应深挖隐含条件,处理好开方、平方关系,避免出现增

解与漏解的错误.

(2)熟练掌握几种常见角的变形和公式的变形.

◆三种方法 三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用 方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=csoins αα化成正、余弦 函数;(2)和积转换法:如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系 进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+ tan2θ)=sin2θ???1+tan12θ???=tan π4=….

◆三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三 角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意 判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整体化.

◆四个原则 利用诱导公式化简求值的原则. (1)“负化正”,将任意负角的三角函数化为任意正角的三角 函数. (2)“大化小”,将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的 三角函数,将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函 数.

(3)“小化锐”,将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函 数.
(4)“锐求值”,得到0°到90°的三角函数后,若是特殊角直 接求得,若是非特殊角可由计算器求得.


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