2014年高考数学安徽卷理科第15题的推广与反思_图文


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中学数学教学

2014年第4期

f彳。葡2014年高考数学安徽卷理科第15题的推广与反思
;方 法{
安徽省铜陵市第一中学 陈良骥 (邮编:2440∞)

k.+.+。一+√



2014年安徽省高考数学理科试卷第15题以向量的数量积为背景,结合计数原理等知

识,构思精巧,综合性强,值得研究.本文将对其进行推广探究. 关键词 高考数学安徽卷;第15题;推广探究

2014年高考数学安徽卷(理)第15题: 已知两个不相等的非零向量口、6,两组向量
x1、x 2、x 3、x

!力:

6,6,6,…,6一直不变. 对y-、y z、…、J,。+。的初始情形中的前一个口 与前一个6进行一次交换,变为6,Ⅱ,…,Ⅱ,
、——————、,——————7

4、x5和yl、y 2、y 3、J,4、y 5均由2个口

和3个6排列而成.记S=x1?yl+x2?y2+x3?
y 3+x 4?y 4+x 5?y
5,

m个

Ⅱ,6,6,…,6,此时S记作Sl,显然S1一(m一1)
、—‘——‘————、,———————一
n个

s。。表示s所有可能取值中的最小值.下列
命题正确的是 号). ①S有5个不同的值

(写上所有正确命题的编


I口I 2+(咒一1)l



2+2n?6.

再对y-、y z、…、y。+。的初始情形中的前两 个口与前两个6进行一次交换,变为厶,6,…,口,
、——————、,————一
m十

②若口j-b,则s。i。与l口l无关 ③若Ⅱ//6,则s。i。与l


I无关

口,n,6,…,6,此时S记作S:,显然S:一(m一2)
、———————‘、,———————一 "个

④若I ⑤若I 夹角为÷


6 6

I>4 l口|,则s。。。>o

lⅡ|2+(咒一2)I



2+4a?6.

l一2|口I,s。i。=8 I口I 2,则Ⅱ与6的
再对y-、y z、…、y。+。的初始情形中的前i个 Ⅱ与前i个6进行一次交换,
!定 义

变为

本题属于非常规题,以向量的数量积为背 景,结合计数原理等知识,构思精巧,给人启迪. 现略作推广与反思如下: 推广l 已知两个不相等的非零向量口、6, 两组向量x1、x 2、…、x。+i和y1、y 2、…、y。+。均 由m个Ⅱ和行个6排列而成.(m≤竹,m,咒∈N+) 记S=x1?y1+x2?y 2+…+xm+H?ym+n, 下用局部调整的方法研究S的所有取值 可能. 不妨设向量
吠 口,口,…,口,6,6,…,6.
!建

6,6,…,6,Ⅱ,…,口,口,Ⅱ,…,口,6,…,6,此时S
、——————————、r——————————。、——————————、r——————————。

m个

"个

记作S,,显然0≤i≤仇,i∈N+且

si=(优一i)iⅡI 2+(行一i)l



2+2幻?厶.

直至i一研时,y,,y z,…,y。+。变为
!二定1

6,6,…,6,口,口,…,口,6,…,6.

、。———-、,_——一、。————————、,_———————一
卅个 "个

x。、x:、…、x。+。

就是

s。=(咒一优)I



2+2ma?西.

由此我们可以得到: ①S有m+1个不同的值,分别是.S。、S。、 的初始情形是
S2、…、S,.

则J,。、y z、…、J,。+。
口,n,…,Ⅱ,6,6,6,…,6.

。—————r———一L——————、,——————-,
掰个 H个

②s,一(m—i)l口I 2+(押一i)I



2+2i口?

此时s记作s。,显然s。一m I口I

2+咒I厶I
竺定

b(O≤i≤m,i∈N+);
2.

③{S。}(o≤i≤m,i∈N+)组成一个等差 数列,公差d一一(口一6)2;

现保持向量x1、x2、…、x。+。是口,口,…,a,

万方数据

2014年第4期

中学数学教学 记作Sj,显然O≤i≤是,i∈N+且

35

用S。¨S。。。分别表示S所有可能取值中的 最小值、最大值;

si=(愚一i)j口I 2+(靠一i)I




2+(m一是+

④s。i。一s。一(行一m)l
-L

2+2m口?6,若Ⅱ

2i)口?6.

6,则s咖与IⅡl无关;
⑤s—。=s。=m I口I 2+n


2,s。。。和n与

直至i=忌时,y。、y。、…、y。+。变为
三舱 6,6,…,6,口,Ⅱ,…,口,6,…,6.

6的夹角无关; ⑥S。。一S。i。一仇(口一6)2. 推广2 已知两个不相等的非零向量口,6,

、————、’——一。——————————i————————一
★个 f个

s^=(72一忌)|6

2+(m+忌)口?6,

向量x,、x。、…、x。+。由m个口和挖个6排列而成. 向量y。、y。、…、j,。+。均由点个Ⅱ和z个6排列而 成.(m+咒一是+z,愚≤m≤以≤Z,愚、m、佗、Z∈ NI)(记S—x1?yl+x2?y 2+…+xm+。?ym+。, 下用研究S的所有取值可能. 不妨设向量xl、x2、…、x。+。
竺廷 !月:

由此我们类似推论1得到:‘ ①S有忌+1个不同的值.分别是S。、S。、S z、
…、SI;

②si一(忌一i)I口I 2+(以一i)l扫I 2+(优一是
+2i)Ⅱ?6(0≤i≤是,i∈N+); ③{S。)(o≤i≤五,i∈N+)组成一个等差 数列.公差d=一(口一6)2;

就是

口,口,…,口,6,6,6,…,6.

则y。、y。、…、y。+。
口,…,口,6,6,6,6,…,6.

的初始情形是

用S。¨S。。。分别表示S所有可能取值中的 最小值、最大值;

、———,—一、———————’,———————。
^个 f个

④s。i。=s。=(行一志)l


6 2+(m+志)a?6,

此时s记作s。,显然s。=是I口l 2+咒I
2(m一是)Ⅱ?6.

2+

若n上6,则s。i。与I口I无关;
⑤s。。。一so一是I


2+行I



2+2(磁一是)口

竺建

现保持向量xl、x2、…、x。+。是口,a,…,口,
!定

?6,m≠愚时S。。,和Ⅱ与6的夹角有关; ⑥S。。一S。i。=点(口一6)2. 一点反思:
反思1

6,6,6,…,6一直不变. 对y,、yz、…、y。+。的初始情形中的前一个Ⅱ 与前一个6进行一次交换,变为6,口,…,口, ———————、,—————一
^个

通过局部置换法我们发现,当x。、

x:、…、_x。+。与y。、j,2、…、y。+。尽量“同序”即n? 6个数较少时,S值较大;而x。、工:、…、x。+。与 y。、J,。、…、y。+。尽量“反序”即Ⅱ?6个数较多时,

口,6,6,…,6,此时S记作S。,显然
、————————、,———————一
f个

s。一(忌一1)l
+2)口?6.



2+(行一1)I



2+(m~忌

S值较小,与排序不等式“反序和”≤“乱序和”≤ “同序和”有异曲同工之妙;
反思2

已知两个不相等的非零向量口、6,

再对y。、y z、…、y。+。的初始情形中的前两 个a与前两个6,进行一次交换,变为 6,6,口,…,口,口,口,6,…,6,此时S记作S 2,
、——————Y——————一———————Y——————一

向量x1、x2、…、x。+。由m个口和咒个6排列而成. 向量yt、y z、…、y。+。均由志个Ⅱ和Z个6排列而 成.(曼,研,行,Z∈N+)记S—xl?y1+x2?j,2+…
+Xm+n。J,爪+n,

女个

,个

显然

s:一(愚一2)l口I 2+(n一2)I
+4)口?6.

6 2+(m一是

①S有N+1个不同的值,分别是S。、S。、
S 2、…、SN,其中N=min{m,椎,五,Z);

②si=(愚一f)I口l 2+(以一i)I
再对y。、.),。、…、J,。+。的初始情形中的前i个 口与前i个6,进行一次交换,
久 .一一!允一



2+(m一愚

+2i)口?6(O≤i≤愚,i∈N+); ③{Si}(o≤i≤忌,i∈N+)组成一个等差 数列,公差d=一(口一6)2; 用S。i。、S。。分别表示S所有可能取值中的

变为

6,6,…,6,a,…,口,Ⅱ,Ⅱ,…,Ⅱ,6,…,6,此时S 、—————————’,————————一、—————————’,————————一
^个
f个

万方数据

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中学数学教学

2014年第4期

立足通性通法

兼顾巧解巧法
(邮编:232200)

——对一道公开课例题的解法分析与拓展
安徽省寿县第一中学梁昌金 最近,我有幸聆听了我校一位资深教师的数 学公开课,主讲内容是高三第二轮复习解析几何 专题.授课教师力求对解析几何问题求解的常见 方法与思想进行梳理,让学生体会到“直线与圆 锥曲线位置关系”有关综合问题常用的数学思想 与方法、解题的基本规律与技巧等,从而提高综 合分析问题和解决问题的能力.其中一道解析几 何题引起了我的极大兴趣,课后在评课时才知 道,这道解析几何题选自安徽省合肥市2013届高 三第三次教学质量检测理科数学第20题.


生从特殊到一般去发现结论、推厂命题,既司以 使学生享受学习成功的喜悦,也循序渐进地撩开 了数学试题的真实面纱,逐渐使学生达到融会贯 通的学习境界. 解

(1)点P的轨迹方程为兰;+荽一1.
4 J

(2)证法1由条件,直线AB的斜率必存在 (且不为o),可设AB:y=愚(z一1)(忌≠0), b=愚(z一1)

联立方程组{z




y 3



,,消去y,得(3+


原题再现。解法分析 平面内定点F(1,O),定直线Z:z=

题目

4忌2)z 2—8点2z+4忌2—12=O,

4,P为平面内动点,作PQ J-z,垂足为Q,且
————’————I’

PQ l一2

PF

1.

(1)求动点P的轨迹方程; (2)过点F与坐标轴不垂直的直线,交动点 P的轨迹于A、B,线段AB的垂直平分线交z轴
Fp

丽埘一2。i而矿
8愚2 4忌2—12

设A(zl,yi),B(z

2,y

2),则z1+z

2=

设AB中点为D(z。,y。),知z。=苎L}垒=

于点R,试判断}**是否为定值. f^D}
分析 第(1)问属于常规题;第(2)问考查 了解析几何的通性通法,并考查了函数与方程的 思想、数形结合的思想、化归与转化的思想、特殊 与一般的思想.本题是圆锥曲线的一个性质,带 有数学探究的意味,在分析问题时要充分挖掘试 题的本质,揭示数学问题的精髓,有意识地让学

羔蜘酬一,,一番 y一蒜一÷cz一羔,. oz一丁丽几
所以线段AB的垂直平分线方程为

y一了干i矿。一i

令y_0,得zR=者≥,

l职I=|,一嘉I一等等.
已知两个不相等的非零向量n、

西o’070’bo’c'ooo,,cotoK艺—>,c’oo^:ot々coo'o,,o'o.,o’o'c,;h>,o’090'c々c々t々oo心々t,)c’c々co心々c?o'_。,_。'c,o'‘’, (上接第36页) 最小值、最大值; 提出问题

移,向量_x。、x2、…、x。+。由m个口和n个b排列而


④s。i。=s。=(靠一N)I

2+(优+N)口?

成,向量y。、y z、…、y。+。中的每一个向量均可以 是口和6某一个,记S—x1?J,1+x2?J,2+…+

扫,若口上6,则s。i。与lⅡl无关; ⑤s。。。一s。一是I口I 2+咒I


2+2(优一是)n

x。+。?y。+。,问S有哪些特征?
(收稿日期:2014一06—12)

?6,卅≠愚时,S。。。和口与6的夹角有关; ⑥S。。。一S。i。一N(Ⅱ一6)2.

万方数据


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