北京市东城区高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析


流过多少 汗,流 下多少 泪,只 为高考 这一天 ;付出 多少时 间,付 出多少 努力, 只为高 考这一 刻;高 考这条 路就算 布满荆 棘也要 披荆而 过,请 相信天 道酬勤 ,请相 信付出 一定会 有回报 ,对自 己充满 信心, 加油, 祝高考 成功顺 利。

第Ⅰ卷(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一



是符合题目要求的.
1.不等式 x2 ? 2x ? 3 的解集是
A. ?x | ?1? x ? 3?

B. ?x | ?3 ? x ?1?

C. ?x | x ? ?3或x ?1?

D. ?x | x ? ?1或x ? 3?

【答案】B

考点:一元二次不等式 2.为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西 游记》若干套,如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍,那么该校高一(1)班本学期 领到《三国演义》和《水浒传》的概率为

A. 2 3

B. 1 2

C. 1 4

D. 1 6

【答案】D

【解析】

试题分析: P ? 1 ? 1 ,故选 B.

C

2 4

6

考点:古典概型

3.已知 a ? b ? 0,则

A. a2 ? ab

B. ab ? b2

C. a2 ? b2

D. a2 ? b2

【答案】D 【解析】

试题分析: y ? x2 在 ?? ?,0?单调递减,所以当 a ? b ? 0 时, a2 ? b2 ,故选 D.

考点:不等式 4.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是

?
A. y ? ?10x ? 200

?
B. y ? 10x ? 200

?
C. y ? ?10x ? 200

?
D. y ? 10x ? 200

【答案】C

考点:回归直线方程


5.已知非零向量 OA ,


OB

不共线,且


BM

=

1


BA


,则向量 OM

=

3

A.

1→ 2→ OA+ OB

33

B.

2→ 1→ OA+ OB

33

C.

1→ 2→ OA- OB

33

D.

1→ 4→ OA- OB

33

【答案】A

【解析】

? ? 试题分析: BM ? 1 BA ? OM ? OB ? 1 OA ? OB ? OM ? 1 OA ? 2 OB,故选 A.

3

3

33

考点:向量的表示

6.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,那么输出的 S 的值为

A. -1

B. 0

C. 1

D. 3

【答案】B 【解析】
试题分析:当 i ? 1时,第一次进入循环 S ? 1? 2 ?1 ? 3 , i ? 2 ,第二次进入循环,

S ? 3? ?3 ? 2? ?1 ? 4 , i ? 3 ,第三次进入循环, S ? 4? 0 ?1 ? 1, i ? 4 ,第四次进入循环,

S ? 1? ?3 ? 4? ?1 ? 0 , i ? 5 退出循环,输出 S ? 0 ,故选 B.

考点:循环结构

? ? 7.已知 an 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn ,若 a3, a4 , a8 成等比数列,则

A. a1d ? 0, dS3 ? 0

B. a1d ? 0, dS3 ? 0

C. a1d ? 0, dS3 ? 0

D. a1d ? 0, dS3 ? 0

【答案】A

【解析】

试题分析:设数列的首项为 a1 ,公差为 d ,根据条件可得
?a1 ? 3d ?2 ? ?a1 ? 2d ??a1 ? 7d ? ? 3a1d ? 5d 2 ? 0 ,所以 a1d ? 0 ,而 dS3 ? 3a1d ? 3d 2 ,
根据 3a1d ? 5d 2 ? 0 ,所以 dS3 ? 3a1d ? 3d 2 ? 0 ,故选 A.
考点:等差,等比数列 8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日

益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1 匹=40 尺,一丈=10 尺),问日益几何?”其意 思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起, 每天比前一天多织相同量的布,第一天织 5 尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?” 若一个月按 30 天算,则每天增加量为

A. 1 尺 2
【答案】C 【解析】

B. 8 尺 15

C. 16 尺 29

D. 16 尺 31

试题分析:将此问题转化为等差数列的问题,首项为 a1 ? 5 , S30 ? 390 ,求公差,

S30

?

30a1

?

30?30 ?1? d
2

?

30? 5 ?

435d

?

390 ,解得: d

?

16 29

尺,故选

C.

考点:等差数列

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 9.某学院 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟用分层 抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。已知该学院 A 专业有 380 名学生,B 专业有 420 名学 生,则该学院 C 专业应抽取______名学生. 【答案】40 【解析】
试题分析:抽样比为 1:10,而 C 学院的学生有1200- 380 - 420 ? 400人,所以按抽样比抽取
40 人,故填:40. 考点:分层抽样 10.如图所示,在边长为 1 的正方形中,随机撒豆子,其中有 1000 粒豆子落在正方形中,180

粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为_________.

【答案】0.18 【解析】 试题分析:此为几何概型,正方形的面积为 1,设阴影面积为 x,所以
x ? 180 ? 0.18 ? x ? 0.18 ,故填:0.18. 1 1000
考点:几何概型

11.若非零向量 a,b 满足 a ? b ,(2a ? b) ?b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为_________.

【答案】120

【解析】

? ? 试题分析:

2a?

?

? b

? b

?0

?

2a?b? cos ?

a?,

? b

?

? ?b 2

? 0 ,因为

a?

?

? b

,所以

cos

?

a?, b?

??

?

1

,所以

?

a?,

? b

??

120

0

,故填:1200

.

2

考点:向量数量积

12.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C ?ccos B ?asin A ,则 ?A

的度数为_______________.

【答案】90

【解析】

试题分析:根据正弦定理可得

2R sin B cosC ? 2R sin C cos B ? 2R sin 2 A ? sin?B ? C? ? sin 2 A ,而 sin?B ? C? ? sin A ,

所以 sin A ? sin 2 A ,所以 sin A ? 1,所以 ?A ? 900 .
考点:正弦定理
13.已知 x ? 0, y ? 0 ,且满足 x ? y ? 1,则 xy 的最大值为___________. 34
【答案】3 【解析】

试题分析:1 ? x ? y ? 2 xy ,所以 2 xy ? 1 ,整理为 xy ? 3 ,等号成立的条件为

3 4 12

12

x ? y ? 1 ,即 x ? 3 , y ? 2 ,所以 xy 的最大值为 3.

342

2

考点:基本不等式

14.已知平面向量 a,b 和 c 在同一平面内且两两不共线,关于非零向量 a 的分解有如下四个

命题:

①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c;

②给定向量 b 和 c,总存在实数λ 和μ ,使 a=λ b+μ c;

③给定单位向量 b 和正数μ ,总存在单位向量 C 和实数λ ,使 a=λ b+μ c;

④给定正数λ 和μ ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λ b+μ c.

则所有正确的命题序号是________.

【答案】①②

【解析】

试题分析:因为向量

a?,

? b,

c?

在同一平面内且两两不共线,所以给定向量

? b

,总存在向量

c?

,使

三个向量能构成三角形,满足

a?

?

? b

?

c?

,故①正确,根据平面向量基本定理可知②正确;同

样根据平面向量基本定理可知③不正确,当 ?

?

?

? 1,

a?

?

? 2 时,不存在单位向量 b

和单位

向量

? c

,使

a?

?

? ?b

?

?c?

,故正确的是①②.

考点:平面向量基本定理
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本题满分 8 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(3,2),D(-3,-1),以线段 AB,AD 为邻边作 平行四边形 ABCD. 求 (I)点 C 的坐标; (II)平行四边形 ABCD 的面积.

【答案】(Ⅰ) ?1,3? ;(Ⅱ)12.

【解析】

试题分析:(Ⅰ)根据向量加法的平行四边形法则,可得 AC ? AB ? AD ,求得点 C 的坐标;(Ⅱ)
根据向量的坐标,可先求得两邻边的长度,在求邻边的夹角,最后根据面积公式求面积.
试题解析:(I) AB ? (4, 4), AD ? (?2,1) ,

AC ? AB ? AD ? (2, 5) ,点 C 的坐标为(1,3).…………………………4 分 (II) AB ? 4 2, AD ? 5 .

cos ? AB, AD ?? AB ? AD ? ? 10 . AB ? AD 10

sin ? AB, AD ?? 3 10 . 10
SABCD ? AB ? AD ? sin AB, AD ?? 12 .………………………………8 分

考点:1.向量的坐标表示;2.向量的数量积. 16.(本题满分 9 分)

已知数列?an? 是等比数列,满足 a1 ? 3, a4 ? 24 ,数列?bn? 满足 b1 ? 4, b4 ? 22 ,且?bn ? an?

是等差数列.

(I)求数列?an? 和?bn? 的通项公式;

(II)求数列?bn? 的前 n 项和。

【答案】(Ⅰ) an ? 3 ? 2n?1 ; bn ? 2 ? n ? 3? 2n?1(n ? 1, 2,
【解析】

). (Ⅱ) n (3 ? n) ? 3? 2n ? 3 . 2

? ? 试题分析:(Ⅰ)数列

an

是等比数列,所以根据公式 q n?m ? an ,求公比,根据首项和公比 am

? ? 求通项公式,因为数列 bn ? an 是等差数列,所以根据数列的首项 b1 ? a1 和数列的第四项 b4 ? ? a4 ,求数列的公差,即求得数列 bn ? an? 的通项公式,最后再求得数列?bn ?的通项公式;

(Ⅱ) bn ? 2 ? n ? 3? 2n?1(n ? 1, 2, ) ,所以根据分组转化法:等差数列加等比数列求和.

试题解析:(I)设等比数列?an? 的公比为

q,由题意得 q3

?

a4 a1

?

24 3

? 8 ,解得 q

?

2.

所以 an ? a1qn?1 ? 3? 2n?1(n ? 1, 2, ) .………………………………3 分

设等差数列?bn ? an? 的公差为 d,

所以 b4 ? a4 ? (b1 ? a1) ? 3d .即 22 ? 24 ? (4 ? 3) ? 3d .解得 d ? ?1 .………………5 分

所以 bn ? an ? (b1 ? a1) ? (n ?1)d ? 1? (n ?1) ? 2 ? n .

从而 bn ? 2 ? n ? 3? 2n?1(n ? 1, 2, ). ………………………………6 分

(II)由(I)知 bn ? 2 ? n ? 3? 2n?1(n ? 1, 2, ) .

? ? 数列?2 ? n?的前 n 项和为 n (3 ? n) ,数列 3? 2n?1 的前 n 项和为 2

3? 1? 2n ? 3(2n ?1) ? 3? 2n ? 3 ..……………………9 分 1? 2

所以,数列?bn?

的前

n

项和为

n 2

(3

?

n)

?

3?

2n

?

3

.

考点:1.等差,等比数列求和;2.分组转化法求和. 17.(本题满分 9 分)

△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b sin A ? 3a cos B .
(I)求角 B 的大小;
(II)若 b ? 3,sin C ? 2sin A ,求 a,c 的长.

【答案】(Ⅰ) B ? ? ;(Ⅱ) c ? 2a ? 2 3 . 3
【解析】

试题分析:(Ⅰ)根据正弦定理,将边转化为角,b ? 2R sin B, a ? 2R sin A ,根据三角函数求
角;(Ⅱ)同样根据正弦定理 sin A ? a ,再结合上一问的结果,利用余弦定理求边长. sin C c
试题解析:(I)∵ b sin A ? 3 acos B ,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin Acos B .………
2分
∵ sin A ? 0 ,∴ tan B ? 3 .…………………………3 分 ∴ B ? ? .………………………………4 分
3 (II)∵ sin C ? 2sin A,由正弦定理得 c ? 2a ,……………………5 分 由余弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? cos B , 得 9 ? a2 ? 4a2 ? 2a ? 2a cos ? .…………………………7 分
3 解得 a ? 3 .………………………………8 分
∴ c ? 2a ? 2 3 .………………………………9 分

考点:1.正弦定理;2.余弦定理. 18.(本题满分 9 分) 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从 甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽

取 8 天的数据如下: 甲公司某员工 A:32 33 33 35 36 39 33 41 乙公司某员工 B:42 36 36 34 37 44 42 36 (I)根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工 A 和某员工 B 投递快递件数的茎叶图,并 通过茎叶图,对员工 A 和员工 B 投递快递件数作比较,写出一个统计结论:
统计结论:__________________________________________________________ (II)请根据甲公司员工 A 和乙公司员工 B 分别随机抽取的 8 天投递快递件数,试估计甲公 司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率。 【答案】(Ⅰ)通过茎叶图可以看出,乙公司某员工 B 投递快递件数的平均值高于甲公司某员
工 A 投递快递件数的平均值.(其它正确的结论照样给分);(Ⅱ)P= 3 . 16
【解析】 试题分析:(Ⅰ)根据茎叶图,计算两名员工的平均数,写出结论;(Ⅱ)A 和 B 都是 8 天的快
递数,所以共有 8?8 ? 64 种组合情况,其中列举所有满足甲公司员工比乙公司员工该月投递
快递件数多的基本事件的个数,最后根据古典概型,相除即得结果. 试题解析:(I)某员工 A 和某员工 B 投递快递件数的茎叶图如下:
统计结论:通过茎叶图可以看出,乙公司某员工 B 投递快递件数的平均值高于甲公司某员工 A 投递快递件数的平均值.(其它正确的结论照样给分)……………………4 分
(II)设事件 Ai 为“甲公司某员工 A 在抽取的 8 天中,第 i 天投递的快递件数”, 事件 Bi 为“乙公司某员工 B 在抽取的 8 天中,第 i 天投递的快递件数”,i=1,2,…,8.
设事件 C 为“甲公司某员工 A 比乙公司某员工 B 投递的快递件数多”.由题意知
C ? A4 B4 A5 B4 A6 B2 A6 B3 A6 B4 A6 B5 A6 B8 A8 B2 A8 B3 A8 B4 A8 B5 U A8 B8

因此 P(C) ? 12 ? 3 .………………………………8 分 64 16
因此可以估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率为 3 .………………9 分 16
考点:1.茎叶图;2.古典概型. 19.(本题满分 9 分)
已知关于 x 的不等式 (ax ?1)(x ? 2) ? 2 的解集为 A,且 3? A.
(I)求实数 a 的取值范围; (II)求集合 A.

【答案】(Ⅰ)?a | a ?1? ;(Ⅱ)详见解析.

【解析】
试题分析:(Ⅰ)因为 3? A,所以将 3 代入后 ?3a ?1??3 ? 2? ? 2 ,可求得 a 的取值范围;(Ⅱ)

将不等式整理为 ax2 ? ?2a ? 1?x ? 0 ,再讨论 a ? 0, a ? 0 以及 a ? 0三种情况,确定三种情况

后,再求二次不等式对应的二次方程的实根,讨论实根的大小,从而确定不等式的解集.
试题解析:(I)∵ 3? A,∴当 x ? 3 时,有 (ax ?1)(x ? 2) ? 2 ,即 3a ?1? 2 .
∴ a ?1,即 a 的取值范围是?a | a ?1? .…………………………3 分

(II) (ax ?1)(x ? 2) ? 2 ? (ax ?1)(x ? 2) ? 2 ? 0 ? ax2 ? (2a ?1)x ? 0 ………………4 分
当 a=0 时,集合 A ? ?x | x ? 0? ;………………………………5 分



a

?

?

1 2

时,集合

A

?

? ? ?

x

|

0

?

x

?

2

?

1 a

? ? ?

;……………………6



当 a ? ? 1 时,原不等式解集 A 为空集;……………………7 分 2

当?

1 2

?

a

?

0

时,集合

A

?

?? x ?

|

2

?

1 a

?

x

?

0?? ?

;……………………8





0

?

a

?

1时,集合

A

?

? ? ?

x

|

x

?

0或x

?

2

?

1 a

? ? ?

.……………………9



考点:含参的一元二次不等式的解法 20.(本体满分 8 分)
对 于 项 数 为 m 的 有 穷 数 列 ?an? , 记 bk ? max?a1, a2, , ak?(k ?1, 2, , m) , 即 bk 为 a1, a2, , ak 中的最大值,并称数列 ?bk ? 是 ?an? 的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是
1,3,3,5,5.

(I)若各项均为正整数的数列?an? 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有符合条件的数列?an? ; ( II ) 设 m=100 , 若 an ?| n2 ? 4,| ?bn? 是 ?an? 的 控 制 数 列 , 求
(b1 ? a1) ? (b2 ? a2 ) ? ? (b100 ? a100 ) 的值;
(III)设?bn? 是?an? 的控制数列,满足 ak ? bm?k?1 ? C (C 为常数, k ? 1, 2, , m ).
求证: bk ? ak (k ? 1, 2, , m) .
【答案】(Ⅰ)数列?an? 为 2,3,4,5,1;2,3,4,5,2;2,3,4,5,3;2,3,4,5,4;2,3,4,5,5;(Ⅱ)
详见解析;(Ⅲ)详见解析. 【解析】
试题分析:(Ⅰ)读懂题就比较好写, b1 ? max?a1?, b2 ? max ?a1, a2 ?, b3 ? max?a1, a2 , a3?……;(Ⅱ)因为 2n ? 4 是单调递增数列,首先讨论 n ,将绝对值去掉, 讨论数列?an ?的控制数列 ?bn ?与原数列的关系,得到所求的和;(Ⅲ)根据条件证明数列?an ?
是单调递增数列,即得结论.
试题解析:(I)数列?an? 为 2,3,4,5,1;2,3,4,5,2;2,3,4,5,3;2,3,4,5,4;
2,3,4,5,5.………………2 分
(II)∵ an ?| 2n ? 4 | ,?bn? 是?an? 的控制数列,
∴ b1 ? a1 ? 2, a2 ? 0,b2 ? 2 . 当 n≥3 时, bn ? an , ∴ (b1 ? a1) ? (b2 ? a2 ) ? ? (b100 ? a100 ) ? 2 .…………………………5 分
(III)因为 bk ? max?a1, a2, ak?,bk?1 ? max?a1, a2, ? ak , ak?1 ,
所以 bk?1 ? bk .……………………………………6 分 因为 ak ? bm?k?1 ? C, ak?1 ? bm?k ? C , 所以 ak?1 ? ak ? bm?k?1 ? bm?k ? 0 ,即 ak ?1 ? ak .…………………………7 分 因此, bk ? ak .………………………………8 分
考点:1.集合;2.数列的函数性质.


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