2018学年高中数学北师大版选修4-1课件:1.2.1 圆周角定理 精品_图文


阶 段 一 阶 段 三 §2.圆与直线 2.1 阶 段 二 圆周角定理 学 业 分 层 测 评 1.掌握圆周角定理,圆周角定理的两个推论. 2.会用圆周角定理及其推论解决与圆心角、圆周角有关的问题. [基础· 初探] 教材整理 1 圆周角定理 一条弧所对的 圆周角等于它所对的圆心角 的一半;圆周角的度数等于 它所对的孤的度数的一半. ︵ ︵ ︵ 1.△ABC 内接于⊙O,且AB∶BC∶CA=3∶4∶5,则∠A=________,∠B =________,∠C=________. ︵ ︵ ︵ 【解析】 ∵AB∶BC∶CA=3∶4∶5, ︵ ︵ ︵ ∴AB的度数为 90° ,BC的度数为 120° ,CA的度数为 150° , ∴∠A=60° ,∠B=75° ,∠C=45° . 【答案】 60° 75° 45° 教材整理 2 推论 1 对的弧相等 . 推论 2 圆周角定理的两个推论 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所 半圆(或直径)所对的圆周角是直角 ;90° 的圆周角所对的弧是半圆 . ︵ 2.如图 121,AB 为⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上的两点,∠BAC=20° ,AD ︵ =CD,则∠DAC 的度数是( ) 图 121 A.30° C.45° B.35° D.70° 【解析】 ∵∠BAC=20° , ︵ ∴BC的度数为 40° , ︵ ∴AC的度数为 140° . ︵ ︵ ∵AD=CD, ︵ ∴CD的度数为 70° . ∴∠DAC=35° . 【答案】 B 3.如图 122, A, B, C 是⊙O 的圆周上三点, 若∠BOC=3∠BOA, 则∠CAB 是∠ACB 的________倍. 【导学号:96990014】 图 122 1 1 【解析】 ∵∠ACB=2∠AOB,∠CAB=2∠BOC, 又∵∠BOC=3∠BOA, ∴∠CAB=3∠ACB. 【答案】 3 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________ [小组合作型] 与圆周角定理相关的证明 如图 123,已知:△ABC 内接于⊙O,D,E 在 BC 边上,且 BD =CE,∠1=∠2. 求证:AB=AC. 图 123 【精彩点拨】 证明此题可先添加辅助线,再由圆周角∠1=∠2 得到其所 对弧相等.进而构造等弦、等弧的条件. 【自主解答】 延长 AD,AE,分别交⊙O 于 F,G,连接 BF,CG, ︵ ︵ ∵∠1=∠2,∴BF=CG, ︵ ︵ ∴BF=CG,BG=CF, ∴∠FBD=∠GCE. 又∵BD=CE, ∴△BFD≌△CGE, ︵ ︵ ∴∠F=∠G,AB=AC, ∴AB=AC. 1.解答本题时,添加辅助线,构造等弧是解题的关键. 2.利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题,在解此类问题时, 主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系,有时,需添加辅助线构 造等弧、等角、等弦的条件. [再练一题] 1.如图 124, △ABC 内接于⊙O, 高 AD, BE 相交于 H, AD 的延长线交⊙O 于 F,求证:BF=BH. 图 124 【证明】 ∵BE⊥AC,AD⊥BC, ∴∠AHE=∠C. ∵∠AHE=∠BHF,∠F=∠C, ∴∠BHF=∠F. ∴BF=BH. 直径所对的圆周角 如图 125,AB 是半圆的直径,AC 为弦,且 AC∶BC=4∶3,AB =10 cm,OD⊥AC 于 D.求四边形 OBCD 的面积. 图 125 【精彩点拨】 由 AB 是半圆的直径知∠C=90° ,由条件求出 AC,BC,四 边形 OBCD 面积可求. 【自主解答】 ∴∠C=90° . ∵AB 是半圆的直径, ∵AC∶BC=4∶3, ∴可设 AC=4x,BC=3x. 又∵AB=10, ∴16x2+9x2=100, ∴x=2, ∴AC=8 cm,BC=6 cm. 又∵OD⊥AC, ∴OD∥BC, ∴AD=4 cm,OD=3 cm. ∴S 四边形 OBCD=S△ABC-S△AOD 1 1 =2×6×8-2×3×4=24-6=18(cm2). 1.解答本题时利用 AC∶BC=4∶3,得到 AC 与 BC 的关系,然后根据勾股 定理可求出 AC 与 BC 的长度. 2.在圆中, 直径是一条特殊的弦, 其所对的圆周角是直角, 所对的弧是半圆, 利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关 系,还可以证明比例式相等. [再练一题] 2.如图 126, AB 是⊙O 的直径, AB=2 cm, 点 C 在圆周上, 且∠BAC=30° , ∠ABD=120° ,CD⊥BD 于 D.求 BD 的长. 【导学号:96990015】 图 126 【解】 如图,连接 BC, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90° . ∵∠A=30° ,AB=2 cm, AB ∴BC= 2 =1(cm). ∵∠ABD=120° , ∴∠DBC=120° -60°

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