北师大版必修2高中数学第一章立体几何初步6垂直关系第2课时垂直关系的性质课件


第2课时 垂直关系的性质 [核心必知] 1.直线与平面垂直的性质定理 2.平面与平面垂直的性质定理 [问题思考] 1.由线面垂直的性质定理,知垂直于同一个平面的两条 直线平行,试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗? 提示:可能平行,也可能相交.如图. 2.两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一 个平面一定垂直吗? 提示:不一定.只有在一个平面内垂直于两平面交线的 直线才能垂直于另一个平面. 讲一讲 1.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 E,F 分别在 A1D,AC 上,且 EF⊥A1D,EF⊥AC.求证: EF∥BD1. [尝试解答] 证明:如图所示,连接 AB1,B1C,BD. ∵DD1⊥平面 ABCD,AC 平面 ABCD, ∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD 且 BD∩DD1=D, ∴AC⊥平面 BDD1B1. ∵BD1 平面 BDD1B1,∴BD1⊥AC. 同理 BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥A1D,A1D∥B1C, ∴EF⊥B1C.又 EF⊥AC 且 AC∩B1C=C, ∴EF⊥平面 A B1C.∴EF∥BD1. 线面垂直的性质除了线面垂直的性质定理外,常用的还 有:①若线垂直于面,则线垂直于面内的线.②若一条直线 同时垂直于两个平面,则这两个平面平行.③若一条直线垂 直于一个平面,则与这条直线平行的直线也垂直于这个平 面.利用这些性质可以证明线线平行、线线垂直、面面平行 及线面垂直. 练一练 1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一 点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC. 求证:(1)MN∥AD1; (2)M是AB的中点. 讲一讲 2.已知平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,AE ⊥平面 PBC,E 为垂足. (1)求证:PA⊥平面 ABC; (2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形. [尝试解答] (1)如图,在平面 ABC 内取一点 D, 作 DF⊥AC 于点 F, 平面 PAC⊥平面 ABC, 且交线为 AC, ∴DF⊥平面 PAC. 又 PA 平面 PAC,∴DF⊥AP. 作 DG⊥AB 于点 G, 同理可证 DG⊥AP, DG、 DF 都在平面 ABC 内且交点为 D, ∴PA⊥平面 ABC. (2)连接 BE 并延长,交 PC 于点 H. ∵E 点是△PBC 的垂心,∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线,∴PC⊥AE. 又∵BE∩AE=E,∴PC⊥面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥AB. ∵PA∩PC=P,∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC,即△ABC 是直角三角形. 面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面 垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理,注意以 下三点:①两个平面垂直是前提条件;②直线必须在 一个平面内;③直线必垂直于它们的交线. 练一练 2.如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形 ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角 形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点 ,求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB. 讲一讲 3.如图,ABCD 是正方形,SA⊥平面 ABCD,BK ⊥SC 于点 K,连接 DK.求证: (1)平面 SBC⊥平面 KBD; (2)平面 SBC 不垂直于平面 SDC. [尝试解答] (1)连接 AC.∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD.又 SA⊥平面 ABCD, ∴SA⊥BD, ∴BD⊥平面 SAC, ∴SC⊥BD. 又∵SC⊥BK,BK∩BD=B, ∴SC⊥平面 KBD. 又 SC 平面 SBC, ∴平面 SBC⊥平面 KBD. (2)假设平面 SBC⊥平面 SDC. ∵BK⊥SC,∴BK⊥平面 SDC. ∵DC 平面 SDC,∴BK⊥DC, 又 AB∥CD,∴BK⊥AB. ∵ABCD 是正方形,AB⊥BC,∴AB⊥平面 SBC, 又 SB 平面 SBC, ∴AB⊥SB, 这与∠SBA 是 Rt△SAB 的一个锐角矛盾,故假设不成立. ∴原结论成立,即平面 SBC 不垂直于平面 SDC. 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面 垂直、面面垂直的相互转化,每一种垂直的判定都是 从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的,其转 化关系如下: 练一练 3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥ 平面PBC.求证:BC⊥AB. 4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,∠BCD =120°,平面PCD⊥平面ABCD,PC=a,PD=2a,E为PA 的中点.求证:平面EDB⊥平面ABCD. 已知:平面α∩平面β=AB,α⊥γ,β⊥γ,求证:AB⊥γ. 法二:假设 AB 不垂直于 γ, ∵α⊥γ 于 BC,在 α 内作 AB1⊥BC, 则 AB1⊥γ,在 β 内作 AB2⊥BD, 又 β⊥γ 于 BD,∴AB2⊥γ. 上述作法与过一点作平面的垂线有且只有一 条矛盾, 故 AB 不垂直于 γ 是不可能的,因此 AB⊥γ. [尝试用另外一种方法解题] 法三:如图(2),在平面 α 内作直线 m⊥BC, ∵α⊥γ,α∩γ=BC,∴m⊥γ. 同理在平面 β 内作直线 n⊥BD,则 n⊥γ.∴m∥n. ∵n β,∴m∥β. 又 m α, α∩β=AB,∴m∥AB,∴AB⊥γ. 法四:过 A 作 AB1⊥γ 于 B1. ∵α⊥γ,且点 A∈α,∴AB1 α,同理 AB1 β. ∴AB1 α∩β,∴AB1 与 AB 重合,即 AB⊥γ. 解析:∵l α,且 l 与 n 异面,∴n α. 又∵m⊥α,n⊥m,∴n∥α. 答案:A 2.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点P∈l,给出下面四个结论

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