2015汕头市高二统考试题2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案


2014--2015 学年第二学期期末联考

高二数学(文科)试题
(试题满分:150 分 考试时间:120 分钟)

第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(共 12 大题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M ? {?1,0,1, 2} 和 M ? {0,1,2,3} 的关系的韦恩图如图 1 所示,则阴影部分所示的 集合是( A. ?0? 2.若 p: ? ? ) B. ?0,1? C. ?0,1, 2? D. ??1,0,1, 2,3? ) M N

?
6

,q: cos ?

? 3? ? 1 ? ? ? ? ,那么 p 是 q 的( ? 2 ? 2

图1

A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 3.若复数

B.必要非充分条件 D.充要条件 ) D.2 )

1 ? bi 1 ? ( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ? ( 2?i 2 1 1 A. ?2 B. ? C. 2 2

4.已知平面向量 AB ? (1, 2) , AC ? (2, y) ,且 AB ? AC ? 0 ,则 2 AB ? 3 AC ? ( A. (8,1) B. (8, 7) C. ? ?8,8? D. ?16,8 ?

5 . 在 ?ABC 中 , a、b、c 分 别 为 三 个 内 角 A、B、C 所 对 的 边 , 设 向 量

m ? (b ? c, c ? a), n ? (b, c ? a) ,若向量 m ? n ,则角 A 的大小为(
A.

) D.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

2? 3


? x ? y ? 2 ? 0, ? 6.已知变量 x , y 满足约束条件 ? y ? 2, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? x ? y ? 0, ?
A.2 B.3 C.4 D.6

7.ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取 到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 ( A. ) C.

? 4

B. 1 ?

? 4

? 8

D. 1 ?

? 8

-1-

8.已知直线 Ax ? y ? C ? 0 ,其中 A, C , 4 成等比数列,且直线经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点, 则 A? C ?( ) A. ?1 B.0 C.1 D.4 9.如图 2 所示,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图 (左视图)和俯视图分别是等腰梯形,等腰直角三角形 和长方形,则该几何体体积为( ) A. 2 1 正视图 侧视图

5 3

B.

4 2 3

C.

7 3

D.

10 3
4 俯视图 ) 图2

10.阅读如图 3 的程序框图,则输出的 S( ) A.6 B.14 C.26 D. 40 11. 已知 x ? 0, y ? 0,lg 2x ? lg8 y ? lg 2 ,则 A.4 B. 2 ? 2 2 C.2

1 1 ? 的最小值是( x 3y

D. 2 ? 2 3

1 12.已知函数 y ? ( x ? 0) 上两点 A 1 ( x1 , y1 ) 和 A2 ( x2 , y2 ) ,其中 x2 ? x1 . 过 x

开始

S =0, i=1
T=3 i-1 S=S+T i= i+1 i>5? 是 输出 S 结束 否

A1, A2 的直线 l 与 x 轴交于 A3 ( x3 ,0) ,那么(
x A. x1 , 3 , x2 成等差数列 2
C. x1 , x3 , x2 成等差数列



x B. x1 , 3 , x2 成等比数列 2
D. x1 , x3 , x2 成等比数列

第Ⅱ 卷(非选择题)
二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.函数 f ( x) ?

图3

1 ? lg(3 ? x) 的定义域是___ _____. x?2

14.某公司为了了解员工们的健康状况,随机抽取了部分员工作为样本,

频率 组距

0.06 0.05 [60,65) ,[65,70) ,[70,75],由此得到样本的频率分布直方图,如图 4 0.04 所示. 根据频率分布直方图, 估计该公司员工体重的众数是_________; 0.03 0.02 从这部分员工中随机抽取 1 位员工, 则该员工的体重在[65,75]的概率是 测量他们的体重(单位:公斤) ,体重的分组区间为[50,55) ,[55,60) , _________.

15.已知 ?ABC 中, ?A , ?B , ?C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 a ? 1 ,

50 55 60 65 70 75 体重 图4

b ? 3 , B ? 2 A ,则 A ? ___ ______.

-2-

16.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若存在正整数 m, n ? m ? n ? ,使得 Sm ? Sn ,则 Sm ? n ? 0 . 类比上述结论,设正项等比数列 ?bn ? 的前 n 项积为 Tn ,若存在正整数 m, n ? m ? n ? ,使得 . Tm ? Tn ,则 Tm? n ? 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 2 , S3 ? 12 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 Tn ,求 T2015 的值. ? Sn ?

18.(本小题满分 12 分) “孝敬父母。感恩社会”是中华民族的传统美德。从出生开始,父母就对我们关心无微不 至,其中对我们物质帮助是最重要的一个指标,下表是一个统计员在统计《父母为我花了多 少》当中使用处理得到下列的数据: 参考数据公式: ? xi yi ? 1024.6 , ? xi 2 ? 730 ,
i ?1 i ?1
? ? ?

6

6

线性回归方程: y ? b x ? a , (b ?

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

, a ? y ?bx )

?

?

2

i

1 2.8 9 17 22 假设花费累积 y 与岁数 x 符合线性相关关系,求 (1)花费累积 y 与岁数 x 的线性回归直线方程(系数保留 3 位小数) ;

岁数 x 花费累积 y (万元)

1

2

6

12

16

17 24

(2)24 岁大学毕业之后,我们不再花父母的钱,假设你在 30 岁成家立业之后,在你 50 岁 之前偿还父母为你的花费(不计利息) 。那么你每月要偿还父母约多少元钱?

19.(本小题满分 12 分) 将棱长为 a 正方体截去一半 (如图 6 所示) 得到如图 7 所示的几何体, 点E , F 分别是 BC , 的中点. DC (1)证明: AF ? ED1 ; (2)求三棱锥 E ? AFD1 的体积. A1 D1 B1 D A 图6
-3-

C1 A1

D1

C B A

D

F E B

C

图7

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆心在 x 轴上, 半径为 4 的圆 C 位于 y 轴右侧, 且与 y 轴 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)若椭圆

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 ,且左右焦点为 F1 , F2 .试探究在圆 C 上是否存 5 25 b

在点 P ,使得 ?PF1 F2 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必 具体求出这些点的坐标) .

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=x + (1)求 a , b 的值; (2)讨论函数 f (x) 的单调区间; (3)若函数 f (x) 在区间 [ m, 2] 上的最大值为 28,求 m 的取值范围.
3

3 ? a ? 1? x 2 ? ?ax ? b , x ? R 在 (0,1) 处的切线方程是 y ? ?9x ? 1 。 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 直线 AB 经过⊙ O 上的点 C , 并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E ,D , 连接 EC, CD . (1)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线; (2)若 tan ?CED ? E O D A
-4-

1 , ⊙ O 的半径为 3,求 OA 的长. 2
C

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

? 2 x ? 3? t ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程;

(t 为参数),在极坐标系(与

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C

(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| (1)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8 ; (2)若 | a |? 1,| b |? 1,且 a ? 0 ,求证: f ( ab) ?| a | f ( ) .

b a

-5-

2014--2015 学年第二学期期末联考 高二数学(文科)答案
一、选择题 1.C 2.A 3.C 二、填空题: 13. ? ?2,3? 4.A 5.B 6.D 7.B 8.A 9.A 10.D 11. A 12.A

3 14.62.5, 10

π 15. 6

16 . 1

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , ∵?

?a1 ? 2 , ∴d ? 2 ?S3 ? 3a1 ? 3d ? 12

数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n (2)∵Sn ?

1 1 1 1 n(2 ? 2n) ? ? ? n(n ? 1) ,∴ ? Sn n(n ? 1) n n ? 1 2

∴T2015 ? T1 ? T2 ? T3 ?

? T2015
1 ? ? 1 ?? ? ? ? 2015 2016 ?

? 1? ?1 1? ?1 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4?
? 1? 1 2015 ? 2016 2016

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)y = 1.404 x+ 0.004 (2)当 x ? 24 ? y ?33.7 (万元)
?

337000 ? 240 ? 1404

(元) 所以每月要偿还 1404 元 19. (本小题满分 12 分) 1 ( ) 证:连接 DE ,交 AF 于点 O ∵D1 D ? 平面 ABCD , AF ? 平面 ABCD ∴D1D ? AF ∵ 点 E , F 分别是 BC , D1C 的中点,∴DF ? CE 又∵ AD ? DC , ?ADF ? ?DCE ? 90 ∴?ADF ≌?DCE ,∴?AFD ? ?DEC 又∵?CDE ? ?DEC ? 90 A A1

D1

D

F O

C E B

-6-

∴?CDE ? ?AFD ? 90 ∴?DOF ? 180 ? ? ?CDE ? ?AFD? ? 90 ,即 AF ? DE 又∵D1D

DE ? D ∴AF ? 平面 D1 DE 又∵ED1 ? 平面 D1 DE ∴AF ? ED1

(2)解:∵D1 D ? 平面 ABCD ,∴D1 D 是三棱锥 D1 ? AEF 的高,且 D1D ? a ∵ 点 E , F 分别是 BC , D1C 的中点,∴DF ? CF ? CE ? BE ? ∴S?AEF ? S正方形ABCD ? S?ADF ? S?FCE ? S?ABE

a 2

1 1 1 ? a 2 ? ? AD ? DF ? ? CF ? CE ? ? AB ? BE 2 2 2

? a2 ?

a 2 a 2 a 2 3a 2 ? ? ? 4 8 4 8

∴VE ? AFD1 ? VD1 ? AEF ?

1 1 3a 2 a3 ? S?AEF ? D1D ? ? ?a ? 3 3 8 8
2

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意,设圆的方程为 ? x ? a ? ? y 2 ? 16 ? a ? 0 ? . ∵ 圆与 y 轴相切,∴a ? 4 ∴ 圆的方程为 ? x ? 4? ? y2 ? 16
2

(2)∵ 椭圆

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 25 b
解得 b 2 ? 9

∴e ?

c 25 ? b2 4 ? ? a 5 5

∴c ? a2 ? b2 ? 4 ∴F 1 ? ?4,0 ? , F 2 ? 4,0 ? 即 F2 ? 4,0? 恰为圆心 C

(i)过 F2 作 x 轴的垂线,交圆 P 1, P 2 ,则 ?PF 1 2F 1 ? ?P 2 F2 F 1 ? 90 ,符合题意; (ii)过 F1 可作圆的两条切线,分别与圆相切于点 P 3, P 4, 连接 CP 3 , CP 4 ,则 ?F 1P 3F 2 ? ?F 1P 4 F ? 90 ,符合题意. 综上,圆 C 上存在 4 个点 P ,使得 ?PF1 F2 为直角三角形.

-7-

21. (本小题满分 12 分) 解:(1) f ?(x)=3x +3? a ?1? x ? ?a
2

∴?

? f ?(0)= ? 9 ? f ?(0)= ? 3a ? ?9 ? a=3 ?? ?? ? f (0) ? 1 ? f (0) ? b ? 1 ?b ? 1

∴a ? 3, b ? 1. (2) f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 1 ? f ?(x) ? 3x2 ? 6 x ? 9 令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? ?3 当 x ? ?3 或 x ? 1 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ??, ?3? ?1, ? ?? 内单调递增 当 ?3 ? x ? 1 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ?3, ?1? 内单调递减

(3) f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 1, x ?[m, 2]

f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ?1)
令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? ?3 将 x , f ?( x ) , f ( x) 变化情况列表如下:

x
f ?( x ) f ( x)
由此表可得

(??,?3)

?3
0 极大

( ?3,1)
?


1 0 极小

(1,2]

?


?


f ( x)极大 ? f (?3) ? 28 , f ( x)极小 ? f (1) ? ?4
又 f (2) ? 3 ? 28

(? ?, ? 3] . 故区间 [ m, 2] 内必须含有 ? 3 ,即 m 的取值范围是
22 证明: (Ⅰ )如图,连接 OC,错误!未找到引用源。OA =OB,CA=CB,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。是圆的半径,错误!未找到引用源。是圆的切 线. (3 分) (Ⅱ )错误!未找到引用源。是直径,错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。2 错误!未找到引用源。 (5 分) 错误!未找到引用源。

-8-

错误!未找到引用源。∽ 错误!未找到引用源。 (7 分) 设错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 错误!未 找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。…(9 分) 错误!未找到引用源。 (10)分 23. (本小题满分 10 分) 解:(1)由 ρ=2 5sin θ,得 x2+y2-2 5y=0, 即 x2+(y- 5)2=5. -----------5 分

(2)法一:将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得(3- 2 2 2 t) +( t)2=5, 2 2

即 t2-3 2t+4=0. 由于 Δ=(3 2)2-4× 4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,

?t1+t2=3 2, 所以? t2=4. ?t1·
又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2.-----------10 分 (2)法二:因为圆 C 的圆心为(0, 5),半径 r= 5, 直线 l 的普通方程为:y=-x+3+ 5.

?x +y- 5 =5, 由? 得 x2-3x+2=0. ?y=-x+3+ 5. ?x=1, ?x=2, 解得:? 或 ? ?y=2+ 5. ?y=1+ 5.
不妨设 A (1,2+ 5),B(2,1+ 5), 又点 P 的坐标为(3, 5), 故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2. -----------10 分

2

2

? ?-2x-2,x<-3, -3≤x≤1, 24.(Ⅰ )f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ? 2 x + 2 , x>1. ? 当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. …………5 分 b (Ⅱ )f (ab)>|a|f ( )即|ab-1|>|a-b|. …………6 分 a 因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.

-9-

故所证不等式成立.

……………10 分

- 10 -


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