2015-2016学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系总结提升课件


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【知识辨析】 判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”) 1.两条直线确定一个平面.( × ) 2.直线 a 平行于平面 α 内的一条直线,则 a∥α.( × ) 3.若一条直线平行于两个平面的交线,则这条直线至少平行 于这两个平面中的一个.( √ ) 4. 若直线 m 和不同平面 α, β 满足 α∥β, m?α, 则 m∥β.( √ ) 5.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线就垂直于 另两条直线确定的平面.( √ ) 6 .过平面 α 的一条斜线只能作出一个平面与平面 α 垂 直.( √ )

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? 题型一 空间中的平行关系 [类型总述] (1)线线平行;(2)线面平行;(3)面面平行;(4) 平行的判定定理与性质定理.

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例 1 如图 T2?1 所示,在空间四边形 ABCD 中,E 是 AB 的中点,F 是 AC 的中点,过 EF 的平面与 BD 的交点 为 H,与 CD 的交点为 G.证明:GH 与平面 ABC 平行.

图 T2?1

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证明:∵E,F 分别是 AB,AC 的中点,∴EF∥BC. ∵BC?平面 BCD,EF?平面 BCD,∴EF∥平面 BCD. ∵ 平 面 EFGH∩ 平 面 BCD = GH , EF ? 平 面 EFGH , ∴EF∥HG. 又∵GH?平面 ABC,EF?平面 ABC,∴GH∥平面 ABC.

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【变式】 [安徽卷] 如图 T2?2 所示,四棱锥 PABCD 的 底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2 17.点 G,E, F, H 分别是棱 PB, AB, CD, PC 上共面的四点, 平面 GEFH⊥ 平面 ABCD,BC∥平面 GEFH. (1)证明:GH∥EF; (2)若 EB=2,求四边形 GEFH 的面积.

图 T2?2

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解:(1)证明:因为 BC∥平面 GEFH,BC?平面 PBC,且 平面 PBC∩平面 GEFH=GH,所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC,因此 GH∥EF. (2)连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP, GK. 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC,同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC=O, 且 AC, BD 都在平面 ABCD 内, 所以 PO⊥ 平面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD, 且 PO?平面 GEFH,所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK, 所以 PO∥GK,所以 GK⊥平面 ABCD.

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又 EF?平面 ABCD,所以 GK⊥EF, 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB=8,EB=2 得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 从而 KB=4DB=2OB,即 K 是 OB 的中点. 1 再由 PO∥GK 得 GK=2PO,所以 G 是 PB 的中点,且 GH 1 =2BC=4. 由已知可得 OB=4 2,PO= PB2-OB2= 68-32=6, GH+EF 所以 GK=3,故四边形 GEFH 的面积 S= ·GK= 2

4+8 2 ×3=18.

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? 题型二 空间角的求解 [类型总述] (1)线线角;(2)线面角;(3)二面角.

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例 2 [天津卷] 如图 T2?3 所示,四棱锥 PABCD 的底面

ABCD 是平行四边形, BA=BD= 2, AD=2, PA=PD= 5, E, F 分别是棱 AD,PC 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAB; (2)若二面角 P -AD -B 为 60°. ①证明:平面 PBC⊥平面 ABCD; ②求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

图 T2?3

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解:(1)证明:如图所示,取 PB 中点 M,连接 MF,AM. 1 因为 F 为 PC 中点,所以 MF∥BC,且 MF= BC.由已知有 2 BC∥AD,BC=AD,又由于 E 为 AD 中点,因而 MF∥AE 且 MF=AE,故四边形 AMFE 为平行四边形,所以 EF∥AM.又 AM?平面 PAB,而 EF?平面 PAB,所以 EF∥平面 PAB.

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(2)①证明:连接 PE,BE.因为 PA=PD,BA=BD,而 E 为 AD 中点,所以 PE⊥AD,BE⊥AD,所以∠PEB 为二面角 PADB 的平面角.在△PAD 中,由 PA=PD= 5,AD=2, 可解得 PE=2.在△ABD 中,由 BA=BD= 2,AD=2,可解 得 BE=1.在△PEB 中,PE=2,BE=1,∠PEB=60°,故可 得∠PBE = 90 °,即 BE⊥PB. 又 BC∥AD , BE⊥AD ,从而 BE⊥BC, 因此 BE⊥平面 PBC.又 BE?平面 ABCD, 所以平面 PBC⊥平面 ABCD.

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②连接 BF,由①知,BE⊥平面 PBC,所以∠EFB 为直 线 EF 与平面 PBC 所成的角.由 PB= 3及已知,得∠ABP 1 3 11 11 为直角,而 MB=2PB= 2 ,可得 AM= 2 ,故 EF= 2 . BE 2 11 又 BE=1, 故在直角三角形 EBF 中, sin∠EFB=EF= 11 . 2 11 所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 11 .

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【变式】 如图 T2?4 所示,已知在四棱锥 PABCD 中,底 面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=1,AB=2,F 是 PD 的中点,E 是 AB 上的点. (1)当 E 是 AB 的中点时,求证:AF∥平面 PEC; (2)当二面角 PECD 的大小为 45°时, 试确定 E 点的位置.

图 T2?4

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解:(1)证明:取 PC 的中点 O,连接 OF,OE,则由已知 1 得 OF∥DC,且 OF= DC.又∵E 是 AB 的中点,∴OF∥AE 且 2 OF=AE,∴四边形 AEOF 是平行四边形,∴AF∥OE.又∵OE ?平面 PEC,AF?平面 PEC,∴AF∥平面 PEC. (2)作 AM⊥CE 交 CE 的延长线于点 M,连接 PM,易得 PM⊥CE,∴∠PMA 是二面角 PECD 的平面角,即∠PMA= AE AM 45°, AM=PA=1.设 AE=x, 由△AME∽△CBE 可得CE= CB , 5 2 即得 x= (2-x) +1,解得 x= ,故当二面角 PECD 的大 4 5 小为 45°时,点 E 在 AB 上,且 AE=4.

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? 题型三 空间中的垂直关系 [类型总述] (1)线线垂直;(2)线面垂直;(3)面面垂直;(4) 垂直的判定定理与性质定理.

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例 3 如图 T2?5 所示,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB, ∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD 沿对角线 BD 折起,记折 起后 A 的位置为点 P,且使平面 PBD⊥平面 BCD.求证: (1)CD⊥平面 PBD; (2)平面 PBC⊥平面 PDC.

图 T2?5

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证明:(1)设 AD=AB=a,则 BD= 2a,DC= 2a, BC=2a,∴BD2+DC2=BC2,∴BD⊥DC.∵平面 PBD⊥ 平面 BCD, 平面 PBD∩平面 BCD=BD, ∴CD⊥平面 PBD. (2) 由 CD⊥平面 PBD ,得 CD⊥BP. 又 BP⊥PD , PD∩CD=D, ∴BP⊥平面 PDC.又 BP?平面 PBC, ∴平面 PBC⊥ 平面 PDC.

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【变式】 [辽宁卷] 如图 T2?6 所示,△ABC 和△BCD 所在 平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°, E,F,G 分别为 AC,DC,AD 的中点.

图 T2?6 (1)求证:EF⊥平面 BCG; (2)求三棱锥 D -BCG 的体积. 1 附:锥体的体积公式 V=3Sh,其中 S 为底面面积,h 为高.

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解:(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC, 因此 AC=DC. 又 G 为 AD 的中点,所以 CG⊥AD, 同理 BG⊥AD.又 BG∩CG=G, 所以 AD⊥平面 BGC.因为 E, F 分别是 AC,DC 的中点,所以 EF∥AD, 所以 EF⊥平面 BCG.

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(2)在平面 ABC 内,作 AO⊥CB,交 CB 延长线于点 O. 由平面 ABC⊥平面 BCD, 知 AO⊥平面 BDC.又 G 为 AD 的 中点,所以 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在△AOB 中,AO=AB· sin 60°= 3,又在△BCD 中,连 接 BF,则 BF⊥CD,∠DBF=60°,从而得 DC=2 3,BE=1, 1 故 S△DBC=2×2 3×1= 3.所以 1 1 3 1 V 三棱锥 DBCG=V 三棱锥 GBCD= ·S△DBC·h= × 3× 3 3 2 =2.


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