2012-2013学年江苏省南通市海门中学高三(上)开学检测数学试卷


2012-2013 学年江苏省南通市海门中学高三(上) 开学检测数学试卷
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在答题卡的相应位置. 1. 分)设全集 U=R,集合 A={x|x≥2},B={﹣1,0,1,2,3},则(CuA)∩B= _________ . (5 2. 分)已知复数 z 满足(1+i)?z=﹣i,则 的模为 _________ . (5

3. 分)已知 (5

,则 a= _________ .

4. 分)右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩 (5 低于乙的平均成绩的 概率是 _________ .

5. 分)若双曲线 (5

的焦点到渐近线的距离为

,则实数 k 的值是 _________ .

6. 分)如图所示的“双塔”形立体建筑,已知 P﹣ABD 和 Q﹣CBD 是两个高相等的正三棱锥,四点 A,B,C, (5 D 在同一平面内,要使塔尖 P,Q 之间的距离为 50m,则底边 AB 的长为 _________ m.

7. 分)下面求 2+5+8+11+…+2012 的值的伪代码中,正整数 m 的最大值为 _________ . (5

8. 分)向量 a=(cos10°,sin10°) (5 ,b=(cos70°,sin70°) ,|a﹣2b|=

_________



9. 分)对于函数 y=f(x) (5 ,若存在区间[a,b],当 x∈[a,b]时,f(x)的值域为[ka,kb](k>0) ,则称 y=f(x) 为 k 倍值函数.若 f(x)=lnx+x 是 k 倍值函数,则实数 k 的取值范围是 _________ . 10. 分)函数 y=1﹣ (5 (x∈R)的最大值与最小值之和为 _________ .

11. 分)已知半椭圆 (5

+

=1(y≥0,a>b>0)和半圆 x +y =b (y≤0)组成的曲线 C 如图所示.曲线 C 交

2

2

2

x 轴于点 A,B,交 y 轴于点 G,H,点 M 是半圆上异于 A,B 的任意一点,当点 M 位于点( △ AGM 的面积最大,则半椭圆的方程为 _________ .

,﹣

)时,

12. 分)已知|AB|=3,C 是线段 AB 上异于 A,B 的一点,△ ADC,△ BCE 均为等边三角形,则△ CDE 的外 (5 接圆的半径的最小值是 _________ .

13. 分)已知实数 x、y 满足 (5

,若不等式 a(x +y )≥(x+y) 恒成立,则实数 a 的最小值是

2

2

2

_________ . 14. 分)设等比数列{an}满足公比 q∈N ,an∈N ,且{an}中的任意两项之积也是该数列中的一项,若 a1=2 , (5 则 q 的所有可能取值的集合为 _________ . 二.解答题:本大题共 9 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)已知 0<α< (1)求 cosα 的值; <β<π 且 sin(α+β)= ,tan = .
* * 81

(2)证明:sinβ



16. (14 分)如图,正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AB=2AE. (1)求证:AB∥平面 CDE; (2)求证:平面 ABCD⊥平面 ADE.

17. (14 分)某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间

第 x 个月的利润

(单位:万元) ,为了获得更多的利润,企业将每月

获得的利润投入到次月的经营中,记第 x 个月的当月利润率 . (1)求 g(10) ; (2)求第 x 个月的当月利润率 g(x) ; (3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.

,例如:

18. (16 分)已知椭圆

的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,且圆 C:

过 A,F2 两点. (1)求椭圆标准的方程; (2)设直线 PF2 的倾斜角为 α,直线 PF1 的倾斜角为 β,当 β﹣α= (3)设椭圆的上顶点为 Q,证明:PQ=PF1+PF2. 19. (16 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=a(Sn﹣an+1) 为常数,且 a≠0,a≠1) (a . (1)求{an}的通项公式; (2)设 ,若数列{bn}为等比数列,求 a 的值; 时,证明:点 P 在一定圆上;

(3)在满足条件(2)的情形下,设 cn=4an+1,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若不等式 的 n∈N 恒成立,求实数 k 的取值范围. 20. (16 分)已知函数 f(x)=(mx+n)e (m,n∈R,e 是自然对数的底) (1)若函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+ey﹣3=0,试确定函数 f(x)的单调区间; (2)①当 n=﹣1,m∈R 时,若对于任意
﹣x ﹣x

对任意

*

,都有 f(x)≥x 恒成立,求实数 m 的最小值;

②当 m=n=1 时,设函数 g(x)=xf(x)+tf'(x)+e (t∈R) ,是否存在实数 a,b,c∈[0,1],使得 g(a)+g(b) <g(c)?若存在,求出 t 的取值范围;若不存在,说明理由. 21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答, 解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21﹣1. (选修 4﹣2:矩阵与变换) 设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换. (1)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量; (2)求逆矩阵 M
﹣1

以及椭圆

+

=1 在 M

﹣1

的作用下的新曲线的方程.

21﹣2. (选修 4﹣4:参数方程) 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为(1,﹣5) ,点 M 的极坐标为(4, ) ,若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径.

(1)求直线 l 关于 t 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,通项公式为





(Ⅰ)计算 f(1) ,f(2) ,f(3)的值; (Ⅱ)比较 f(n)与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论. 23.如图所示,某城市有南北街道和东西街道各 n+1 条,一邮递员从该城市西北角的邮局 A 出发,送信到东南 角 B 地,要求所走路程最短. (1)求该邮递员途径 C 地的概率 f(n) ; (2)求证:2<[2f(n)]
2n+1

<3, (n∈N ) .

*

2012-2013 学年江苏省南通市海门中学高三(上) 开学检测数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在答题卡的相应位置. 1. 分)设全集 U=R,集合 A={x|x≥2},B={﹣1,0,1,2,3},则(CuA)∩B= {﹣1,0,1} . (5 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由全集 U=R,以及 A,找出不属于 A 的部分,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的公共部分,即可确定 出所求的集合. 解答: 解:∵全集 U=R,集合 A={x|x≥2}, ∴CuA={x|x<2}, 又 B={﹣1,0,1,2,3},
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则(CuA)∩B={﹣1,0,1}. 故答案为:{﹣1,0,1} 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.

2. 分)已知复数 z 满足(1+i)?z=﹣i,则 的模为 (5



考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把给出的等式变形得到 解答:

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,运用复数的除法运算化简 z,从而得到 ,则 的模可求. . .

解:由(1+i)?z=﹣i,得: 所以 故答案为 . ,所以

点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的模,复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭 复数,此题是基础题.

3. 分)已知 (5

,则 a=



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 利用换底公式对等式进行化简,便可求出 a 值.
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解答: 解: ,

可化为 loga2+loga3=2,即 loga6=2, 2 所以 a =6,又 a>0,所以 a= . 故答案为: . 点评: 本题主要考查对数的运算性质及其应用,考查运算能力,熟记相关公式并能灵活应用是解决该类题目的 基础. 4. 分)右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩 (5 低于乙的平均成绩的 概率是 .

考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 图表型. 分析: 由已知的茎叶图,我们可以求出甲乙两人的平均成绩,然后求出
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,即甲的平均成绩低于乙的平均

成绩的概率,进而得到答案. 解答: 解:由已知中的茎叶图可得 甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 88,89,90,91,92, 则甲的平均成绩 = (88+89+90+91+92)=90

设污损数字为 X, 则乙的 5 次综合测评中的成绩分别为 83,83,87,99,90+X 则乙的平均成绩 当 X=9 时, < = (83+83+87+99+90+X)=88.4+ . ,

即甲的平均成绩低于乙的平均成绩的概率为 故答案为: .

点评: 本题考查的知识点是平均数,茎叶图,古典概型概率计算公式,其中根据已知茎叶图求出数据的平均数 是解答本题的关键.

5. 分)若双曲线 (5

的焦点到渐近线的距离为

,则实数 k 的值是 8 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先分别求双曲线的渐近线方程,焦点坐标,再利用焦点到渐近线的距离为
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,可求实数 k 的值

解答: 解:双曲线的渐近线方程为 由焦点到渐近线的距离为 ,不妨

;焦点坐标是

. .解得 k=8.

故答案为 8. 点评: 本题主要考查双曲线的几何形状,考查解方程,考查学生分析解决问题的能力 6. 分)如图所示的“双塔”形立体建筑,已知 P﹣ABD 和 Q﹣CBD 是两个高相等的正三棱锥,四点 A,B,C, (5 D 在同一平面内,要使塔尖 P,Q 之间的距离为 50m,则底边 AB 的长为 m.

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 创新题型. 分析: 根据正三棱锥的性质有底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心. P, 在底面的 设 S 射影分别为 N,M,有 M,N 分别是正三角形 BCD 和正三角形 ABD 的中心,且 PS=MN,再利用正三角 形的性质得出 MN 的长即可求出 AB. 解答: 解:根据题意知,底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心, 如图. 设 P,S 在底面的射影分别为 N,M. 则 M,N 分别是正三角形 BCD,和正三角形 ABD 的中心 且 PS=MN,
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又 ON=OM= OA= × ∴MN= 即 , =50,

AB,

∴AB= m ∴底边 AB 的长为 故答案为:

m

点评: 本题是一道立体几何的综合题,着重考查了组合几何体、本题是一道立体几何的综合题,着重考查了组 合几何体的面积、体积问题直线与平面垂直的判定等知识点,属于中档题.等知识点,属于中档题. 7. 分)下面求 2+5+8+11+…+2012 的值的伪代码中,正整数 m 的最大值为 2015 . (5

考点: 伪代码. 专题: 规律型. 分析: 根据已知中程序的功能,我们可以分析出累加项的步长为 3,循环变量 I 的终值为 2012,故 2012<m< 2016,进而可得 m 的最大值. 解答: 解:由伪代码知,这是当型循环结构的算法, 由于累加项的步长为 3, 循环变量 I 的终值为 2012 故 2012<m<2016 由于 m 是正整数,所以最大值为 2015. 故答案为:2015 点评: 本题考查的知识点是伪代码,其中熟练掌握当型结构的特点,并根据已知中的程序功能分析出循环变量 的终值,是解答的关键.
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8. 分)向量 a=(cos10°,sin10°) (5 ,b=(cos70°,sin70°) ,|a﹣2b|= 考点: 专题: 分析: 解答: 向量的模;向量的减法及其几何意义. 计算题. 先求向量 a﹣2b,然后求它的模,即可. 解:a﹣2b=(cos10°﹣2cos70°,sin10°﹣2sin70°)
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|a﹣2b|= = 故答案为: 点评: 本题考查向量的模,三角函数的化简,是基础题. 9. 分)对于函数 y=f(x) (5 ,若存在区间[a,b],当 x∈[a,b]时,f(x)的值域为[ka,kb](k>0) ,则称 y=f(x) 为 k 倍值函数.若 f(x)=lnx+x 是 k 倍值函数,则实数 k 的取值范围是 (1,1+ ) .

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;新定义. 分析: 由于 f(x)在定义域{x|x>0} 内为单调增函数,利用导数求得 g(x)的极大值为:g(e)=1+ ,当 x
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趋于 0 时,g(x)趋于﹣∞,当 x 趋于∞时,g(x)趋于 1,因此当 1<k<1+ (x)的图象有两个交点,满足条件,从而求得 k 的取值范围.

时,直线 y=k 与曲线 y=g

解答: 解:∵f(x)=lnx+x,定义域为{x|x>0},f(x)在定义域为单调增函数, 因此有:f(a)=ka,f(b)=kb,即:lna+a=ka,lnb+b=kb,即 a,b 为方程 lnx+x=kx 的两个不同根. ∴k=1+ ,令 1+ =g(x) ,令 g'(x)= =0,可得极大值点 x=e,故 g(x)的极大值为:g

(e)=1+ , 当 x 趋于 0 时,g(x)趋于﹣∞,当 x 趋于∞时,g(x)趋于 1, 因此当 1<k<1+ 时,直线 y=k 与曲线 y=g(x)的图象有两个交点,方程 k=1+ 有两个解.

故所求的 k 的取值范围为(1,1+ ) , 故答案为 (1,1+ ) . 点评: 本题主要考查利用导数求函数的值的方法,体现了转化的数学思想,属于基础题. 10. 分)函数 y=1﹣ (5 (x∈R)的最大值与最小值之和为 2 .

考点: 奇偶函数图象的对称性;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 构造函数 g(x)=﹣ ,可判断 g(x)为奇函数,利用奇函数图象的性质即可求出答案.
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解答: 解:f(x)=1﹣ 设 g(x)=﹣ ,

,x∈R.

因为 g(﹣x)=﹣

=

=﹣g(x) ,所以函数 g(x)是奇函数.

奇函数的图象关于原点对称,它的最大值与最小值互为相反数. 设 g(x)的最大值为 M,则 g(x)的最小值为﹣M. 所以函数 f(x) 的最大值为 1+M,则 f(x)的最小值为 1﹣M. ∴函数 f(x) 的最大值与最小值之和为 2. 故答案为 2 点评: 本题主要考查奇函数图象的性质、函数的最值及分析问题解决问题的能力,解决本题的关键是恰当构造 奇函数.

11. 分)已知半椭圆 (5

+

=1(y≥0,a>b>0)和半圆 x +y =b (y≤0)组成的曲线 C 如图所示.曲线 C 交

2

2

2

x 轴于点 A,B,交 y 轴于点 G,H,点 M 是半圆上异于 A,B 的任意一点,当点 M 位于点(

,﹣

)时,

△ AGM 的面积最大,则半椭圆的方程为

(y≥0) .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由点 M( ,﹣ )在半圆上,可求 b,然后求出 G,H,A,根据已知 AGM 的面积最大的条件可知,
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OM⊥AG, 即 KOM?KAG=﹣1,代入可求 a,进而可求椭圆方程 解答: 解:由点 M( ,﹣ )在半圆上,

所以 b=1, ∵G(0,a) ,H(0,﹣a) ,A(﹣b,0) 而当点 M 位于( 即 KOM?KAG=﹣1, ,﹣ )时,△ AGM 的面积最大可知,OM⊥AG,



,KAG= =a

∴ ∴a=

═﹣1 ,b=1 (y≥0)

所以半椭圆的方程为

故答案为:

(y≥0)

点评: 本题主要考查了椭圆方程的求解,直线的垂直与斜率关系的应用,解题的关键是灵活利用椭圆的性质 12. 分)已知|AB|=3,C 是线段 AB 上异于 A,B 的一点,△ ADC,△ BCE 均为等边三角形,则△ CDE 的外 (5 接圆的半径的最小值是 .

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 2 设 AC=m,CB=n,则 m+n=3,在△ CDE 中,由余弦定理知 DE =9﹣3mn,利用基本不等式,可得
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再利用△ CDE 的外接圆的半径

,即可得到结论.

解答: 解:设 AC=m,CB=n,则 m+n=3, 2 2 2 2 2 2 在△ CDE 中,由余弦定理知 DE =CD +CE ﹣2CD?CEcos∠DCE=m +n ﹣mn=(m+n) ﹣3mn=9﹣3mn 又 ,当且仅当 时,取“=”,所以 ,

又△ CDE 的外接圆的半径 ∴△CDE 的外接圆的半径的最小值是 故答案为: .

点评: 本题考查余弦定理的运用,考查基本不等式,考查正弦定理的运用,确定 DE 的范围是关键.

13. 分) (5 已知实数 x、 满足 y

, 若不等式 a (x +y ) (x+y) 恒成立, ≥ 则实数 a 的最小值是

2

2

2



考点: 简单线性规划;函数恒成立问题. 专题: 综合题. 分析: 确定约束条件的平面区域,求得与原点连线的斜率的范围,再分离参数,利用函数的单调性,确定函数 的最值,即可得到结论. 解答:
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解:实数 x、y 满足

的可行域是一个三角形,三角形的三个顶点分别为(1,4)(2,4) , ,

与原点连线的斜率分别为 4,2,∴ a(x +y )≥(x+y) 等价于 a≥1+
2 2 2

∵ 在[2,4]上单调增 ∴ ≤ + ≤4+ = ∴a≥1+ = ∴实数 a 的最小值是 故答案为: 点评: 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表 达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案. 14. 分)设等比数列{an}满足公比 q∈N ,an∈N ,且{an}中的任意两项之积也是该数列中的一项,若 a1=2 , (5 81 27 9 3 则 q 的所有可能取值的集合为 {2 ,2 ,2 ,2 ,2} . 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 依题意可求得该等比数列的通项公式 an,设该数列中的任意两项为 am,at,它们的积为 ap,求得
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*

*

81

q=

,分析即可.


解答: 解:由题意,an=281qn 1,设该数列中的任意两项为 am,at,它们的积为 ap, 81 m﹣1 81 t﹣1 81 p﹣1 * 则为 am?at=ap,即 2 q ?2 q =2 ?q , (q,m,t,p∈N ) , ∴q= ,

故 p﹣m﹣t+1 必是 81 的正约数, 即 p﹣m﹣t+1 的可能取值为 1,3,9,27,81, 即 的可能取值为 1,3,9,27,81,
81 27 9 3

所以 q 的所有可能取值的集合为{2 ,2 ,2 ,2 ,2} 点评: 本题考查等比数列的通项公式,依题意求得 q= 数是关键,考查分析与运算能力,属于难题. 二.解答题:本大题共 9 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)已知 0<α< (1)求 cosα 的值; (2)证明:sinβ . <β<π 且 sin(α+β)= ,tan = . 是难点,分析得到 p﹣m﹣t+1 必是 81 的正约

考点: 两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系;半角的三角函数. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)利用二倍角的正切公式可求得 tanα,结合 0<α< 即可求得 cosα 的值;
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(2)由于 β=(α+β)﹣α,利用两角差的正弦结合已知即可求得 sinβ 的值,从而使结论得证.

解答: 解: (1)将 tan = 代入 tanα= 得:tanα= (4 分)

所以

,又 α∈(0,

) ,

解得 cosα= . 分) (6 (2)证明:∵0<α< ∴ <α+β< <β<π, ,

,又 sin(α+β)= , 分) (8

所以 cos(α+β)=﹣

由(1)可得 sinα= , (10 分) 所以 sinβ=sin[(α+β)﹣α]= × ﹣(﹣ )× = > . (14 分)

点评: 本题考查同角三角函数间的基本关系,考查两角和与差的正弦,考查分析与运算能力,属于中档题. 16. (14 分)如图,正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AB=2AE. (1)求证:AB∥平面 CDE; (2)求证:平面 ABCD⊥平面 ADE.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据正方形对边平行可得 AB∥CD,结合线面平行的判定定理可得 AB∥平面 CDE; (2)由已知 AE⊥平面 CDE,可得 AE⊥CD,结合正方形 ABCD 邻边垂直及线面垂直的判定定理可得 CD⊥平面 ADE,进而由面面垂直的判定定理可得平面 ABCD⊥平面 ADE 解答: 证明: (1)正方形 ABCD 中,AB∥CD, 又 AB?平面 CDE, CD?平面 CDE, 所以 AB∥平面 CDE. 分) (6 (2)因为 AE⊥平面 CDE, 且 CD?平面 CDE,
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所以 AE⊥CD, 分) (8 又正方形 ABCD 中,CD⊥AD 且 AE∩AD=A,AE,AD?平面 ADE, 所以 CD⊥平面 ADE, (12 分) 又 CD?平面 ABCD, 所以平面 ABCD⊥平面 ADE. (14 分) 点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定与性质,直线与平面平行的判定, 熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键. 17. (14 分)某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间

第 x 个月的利润

(单位:万元) ,为了获得更多的利润,企业将每月

获得的利润投入到次月的经营中,记第 x 个月的当月利润率 . (1)求 g(10) ; (2)求第 x 个月的当月利润率 g(x) ; (3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.

,例如:

考点: 分段函数的应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 应用题. 分析: (1)当 1≤x≤20 时,f(x)=1,易知 f(1)=f(2)=f(3)=…=f(9)=f(10)=1,从而知
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(2)求第 x 个月的当月利润率,要考虑 1≤x≤20,21≤x≤60 时 f(x)的值,代入 即可. (3)求那个月的当月利润率最大时,由(2)得出的分段函数,利用函数的单调性,基本不等式 可得,解答如下: 解答: 解: (1)由题意得:f(1)=f(2)=f(3)=…═f(9)=f(10)=1 . (2)当 1≤x≤20 时,f(1)=f(2)═f(x﹣1)=f(x)=1 ∴ 当 21≤x≤60 时, .

=

=

∴当第 x 个月的当月利润率



(3)当 1≤x≤20 时, 此时 g(x)的最大值为 当 21≤x≤60 时,

是减函数,

当且仅当

时,即 x=40 时, ,又∵ , (13 分) .

∴当 x=40 时,

答:该企业经销此产品期间,第 40 个月的当月利润率最大,最大值为

点评: 本题是分段函数的应用题,借助分段函数考查反函数的单调性,基本不等式的应用,求分段函数的最值, 综合性强,难度适中,值得学习.

18. (16 分)已知椭圆

的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,且圆 C:

过 A,F2 两点. (1)求椭圆标准的方程; (2)设直线 PF2 的倾斜角为 α,直线 PF1 的倾斜角为 β,当 β﹣α= (3)设椭圆的上顶点为 Q,证明:PQ=PF1+PF2. 考点: 圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程. 专题: 综合题. 分析: (1)由圆 C: 确定 A,F2 两点的坐标,即可求得椭圆方程;
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时,证明:点 P 在一定圆上;

(2)设点 P(x,y) ,因为 F1(﹣

,0) 2( ,F

,0) ,则可求



,利用 β﹣α=

,及差

角的正切公式,即可证得结论; 2 2 (3)利用两点间的距离公式,计算|PQ| =12﹣4y,计算出(|PF1|+|PF2|) ,即可得到结论.

解答:

(1)解:圆 故 ∴椭圆方程是: ,所以 b=3, .

与 x 轴交点坐标为





(2) 证明: 设点 P (x, , y) 因为 F1 (﹣ 因为 β﹣α= ,所以 tan(β﹣α)=﹣

, ,2 0) F ( .

, , 0) 则

=tanβ=



=tanα=



因为 tan(β﹣α)=
2 2

=

,所以

=﹣



化简得 x +y ﹣2y=3. 2 2 所以点 P 在定圆 x +y ﹣2y=3 上. 2 2 2 2 2 2 2 2 (3)证明:∵|PQ| =x +(y﹣3) =x +y ﹣6y+9,x +y =3+2y,∴|PQ| =12﹣4y. 2 2 2 2 2 2 又|PF1| =(x+ ) +y =2y+6+2 x,|PF2| =(x﹣ ) +y =2y+6﹣2 x, ∴2|PF1|×|PF2|=2
2 2

=4 ,



因为 3x =9﹣3y +6y,所以 2|PF1|×|PF2|=4 ∵β=α+ >
2 2

,又点 P 在定圆 x +y ﹣2y=3 上,∴y<0,

所以 2|PF1|×|PF2|=﹣8y, 2 2 2 2 从而(|PF1|+|PF2|) =|PF1| +2|PF1|×|PF2|+|PF2| =4y+12﹣8y=12﹣4y=|PQ| . 所以|PQ|=|PF1|+|PF2|. 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查差角的正切公式,考查距离公式,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题. 19. (16 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=a(Sn﹣an+1) 为常数,且 a≠0,a≠1) (a . (1)求{an}的通项公式; (2)设 ,若数列{bn}为等比数列,求 a 的值; 对任意

(3)在满足条件(2)的情形下,设 cn=4an+1,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若不等式 的 n∈N 恒成立,求实数 k 的取值范围.
*

考点: 数列与不等式的综合;等比数列的性质;数列递推式. 专题: 综合题. 分析: (1)当 n=1 时,S1=a(S1﹣a1+1) ,得 a1=1.当 n≥2 时,由(1﹣a)Sn=﹣aan+a,得, (1﹣a)Sn﹣1=﹣aan ﹣1+a.故 an=aan﹣1,由此能求出{an}的通项公式.
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(2)由

,若数列{bn}为等比数列,则有

,而

,故[a (2a+1)] =(2a )?a (2a +a+1) ,由此 能求出 a 的值.

3

2

2

4

2

(3)由

,知

,故

,所以

,由不

等式

恒成立,得

恒成立,由此能求出实数 k 的取值范围.

解答: 解: (1)当 n=1 时,S1=a(S1﹣a1+1) ,得 a1=1. 当 n≥2 时,由 Sn=a(Sn﹣an+1) , 即(1﹣a)Sn=﹣aan+a,① 得, (1﹣a)Sn﹣1=﹣aan﹣1+a,② ①﹣②,得(1﹣a)an=﹣aan+aan﹣1, 即 an=aan﹣1, ∴ ,

∴{an}是等比数列,且公比是 a, ∴ .

(2)由(1)知,



即 若数列{bn}为等比数列, 则有 而 ,




3 2 2 4 2

故[a (2a+1)] =(2a )?a (2a +a+1) , 解得 再将 , 代入 bn,得 ,



,知{bn}为等比数列, . ,知 ,



(3)由









由不等式

恒成立,



恒成立,



,由



∴当 n≤4 时,dn+1>dn,当 n≥4 时,dn+1<dn, 而 ∴d4<d5, ∴ ∴ , . ,

点评: 本题考查数列与不等式的综合,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维 的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答. 20. (16 分)已知函数 f(x)=(mx+n)e (m,n∈R,e 是自然对数的底) (1)若函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+ey﹣3=0,试确定函数 f(x)的单调区间; (2)①当 n=﹣1,m∈R 时,若对于任意
﹣x ﹣x

,都有 f(x)≥x 恒成立,求实数 m 的最小值;

②当 m=n=1 时,设函数 g(x)=xf(x)+tf'(x)+e (t∈R) ,是否存在实数 a,b,c∈[0,1],使得 g(a)+g(b) <g(c)?若存在,求出 t 的取值范围;若不存在,说明理由. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题. 分析: (1)求导函数,利用函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+ey﹣3=0,可得 f(1)= ,f′(1)
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=﹣ ,从而可得函数的解析式,利用导数的正负可得函数的单调区间; (2)①对于任意 ,都有 f(x)≥x 恒成立,等价于 m≥ ,对于任意 恒成立,

构造函数可得 φ(x)的最大值是 φ( )和 φ(2)中的较大的一个,由此可求 m 的最小值; ②假设存在 a,b,c∈[0,1],使得 g(a)+g(b)<g(c) ,则问题等价于 2g(x)min<g(x)max,1 求 导函数,分类讨论求出函数的最值,即可求得结论.

解答: 解: (1)由题意,f′(x)= ∵函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+ey﹣3=0 ∴f(1)= ,f′(1)=﹣ ∴ ,

∴m=1,n=1 ∴f(x)=(x+1)e ,f′(x)= 令 f′(x)>0,可得 x<0,令 f′(x)<0,可得 x>0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,在(﹣∞,0)上单调递增; (2)①当 n=﹣1,m∈R 时, ,即 m≥
﹣x

对于任意 记 φ(x)= 记 h(x)= ∴h(x)= ∵ ∴φ′(x)=

,都有 f(x)≥x 恒成立,等价于 m≥ ,则 φ′(x)= ,则 h′(x)= 在 上单调递增 >0 对于任意

,对于任意

恒成立

恒成立,



上有唯一的零点 x0,

∴x∈( ,x0) ,φ′(x)<0,x∈(x0,2) ,φ′(x)>0 ∴φ(x)在( ,x0)上单调递减,在(x0,2)上单调递增 ∴φ(x)的最大值是 φ( )和 φ(2)中的较大的一个 ∴m≥φ( )且 m≥φ(2) ∴m≥ +2 且 m≥ ;

∴m 的最小值为

②假设存在 a,b,c∈[0,1],使得 g(a)+g(b)<g(c) ,则问题等价于 2g(x)min<g(x)max, ∵g(x)=xf(x)+tf'(x)+e =
﹣x

,∴g′(x)=

当 t≥1 时,在[0,1]上 g′(x)≤0,∴g(x)在[0,1]上单调递减,∴2g(1)<g(0) ,∴2×

<1,



; ,∴t

当 t≤0 时,在[0,1]上 g′(x)≥0,∴g(x)在[0,1]上单调递增,∴2g(0)<g(1) ,∴2<

<3﹣2e<0; 当 0<t<1 时,在[0,t)上,g′(x)<0,∴g(x)在[0,t)上单调递减,在(t,1]上,g′(x)>0, ∴g(x)在(t,1]上单调递增,∴2g(t)<max{g(0) ,g(1)} ∴2×

由(1)知 f(t)= ∵

在[0,1]上单调递减,故



∴2×

无解

综上所述,存在 t∈(﹣∞,3﹣2e)∪(3﹣ ,+∞) ,使得命题成立. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,正确求导, 合理分类是关键. 21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答, 解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21﹣1. (选修 4﹣2:矩阵与变换) 设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换. (1)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量; (2)求逆矩阵 M
﹣1

以及椭圆

+

=1 在 M

﹣1

的作用下的新曲线的方程.

21﹣2. (选修 4﹣4:参数方程) 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为(1,﹣5) ,点 M 的极坐标为(4, ) ,若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径.

(1)求直线 l 关于 t 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. 考点: 直线与圆的位置关系;特征值、特征向量的应用;简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆. 分析: 21﹣1. (选修 4﹣2:矩阵与变换) (1)由 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换,可得矩阵 M,进 而根据矩阵特征值和特征向量的定义得到矩阵 M 的特征值及相应的特征向量;
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(2)根据(1)中 M 求出 M ,结合椭圆方程 21﹣2. (选修 4﹣4:参数方程)

﹣1

+

=1,可得在 M

﹣1

的作用下的新曲线的方程.

(1)根据 P 点坐标及直线 l 的倾斜角,可求出直线 l 的参数方程,根据点 M 的极坐标及圆 C 以 M 为圆 心、4 为半径可求出圆 C 的极坐标方程; (2)求出直线 l 和圆 C 的普通方程,代入点到直线距离公式,求出圆心 M 到直线 l 的距离,与圆的半径 进行比较后,可判断直线与圆的位置关系. 解答: 解:21﹣1. (选修 4﹣2:矩阵与变换) (1)∵M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换 ∴矩阵 M= ,

∴它的特征值为 2 和 3, ∴对应的特征向量为 及 ;

(2)M =

﹣1



椭圆

+

=1 在 M

﹣1

的作用下的新曲线的方程为 x +y =1.

2

2

解:21﹣2. (选修 4﹣4:参数方程) (1)∵P 的直角坐标为(1,﹣5) , 直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,

直线 l 的参数方程为



又∵圆 C 以 M 为圆心、4 为半径 圆 C 的极坐标方程为 ρ=8sinθ. (2)因为 M(4, 直线 l 的普通方程为 )对应的直角坐标为(0,4) , x﹣y﹣5﹣ =0, = >5,

∴圆心到直线 l 的距离 d=

所以直线 l 与圆 C 相离. 点评: 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系,特征值,特征向量的求法,简单曲线的极坐标方程,难度中 档.

22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,通项公式为





(Ⅰ)计算 f(1) ,f(2) ,f(3)的值; (Ⅱ)比较 f(n)与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论. 考 数列递推式;用数学归纳法证明不等式. 点 :

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专 计算题. 题 : 分 (1)此问根据通项公式计算出前 n 项的和.当 n=1 时,f(1)=s2;当 n=2 时,f(2)=s4﹣s1=a2+a3;当 n=3 析 时,f(3)=s6﹣s2. (2)当 n=1 时, ≥1.当 n≥2 时,f(n)中没有 a1,因此都小于 1. : 解 解: (Ⅰ)由已知 , , 答 : ; 分) (3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(1)>1,f(2)>1;当 n≥3 时,猜想:f(n)<1. 分) (4 下面用数学归纳法证明: (1)由(Ⅰ)当 n=3 时,f(n)<1; 分) (5 (2)假设 n=k(k≥3)时,f(n)<1,即 = = , 所以当 n=k+1 时,f(n)<1 也成立.由(1)和(2)知,当 n≥3 时,f(n)<1. 分) (9 所以当 n=1,和 n=2 时,f(n)>1;当 n≥3 时,f(n)<1. (10 分) 点 此题主要考查数列递推式及相关计算. 评 : 23.如图所示,某城市有南北街道和东西街道各 n+1 条,一邮递员从该城市西北角的邮局 A 出发,送信到东南 角 B 地,要求所走路程最短. (1)求该邮递员途径 C 地的概率 f(n) ; (2)求证:2<[2f(n)]
2n+1

,那么

=

<3, (n∈N ) .

*

考 二项式定理的应用;等可能事件的概率;组合及组合数公式. 点 : 专 计算题. 题

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: 分 (1)求得所走路程最短共有 析 : 径 C 地的概率 f(n) 的值. (2)由 2f(n)= , =1+

种不同的走法,其中途径 C 地的走法有 2

种走法,由此可得邮递员途

,得只要证且 n≥3 时,2<

<3 即可.利用放缩法证明 2<

<3,从而证明不等式成立. 种不同的走法,其

解 解: (1)邮递员从该城市西北角的邮局 A 到达东南角 B 地,要求所走路程最短共有 答 : 中途径 C 地的走法有 2 种走法,

所以邮递员途径 C 地的概率 f(n)=

=

?
2n+1

=



(2)由 2f(n)= 要证 n∈N 时,2<[2f(n)] 只要证 n∈N 时,2<
* * * *

=1+
2n+1

,得[2f(n)]

=



<3, <3,

因为 n∈N 时,2n+1∈N ,且 2n+1≥3, 所以只要证 n∈N 时,且 n≥3 时,2< 由于 n≥3 时, 且 = + ? + ? +…+ ? =2+ ? + ? +…+ = + ? + ?
*

<3. +…+ ? > + ? =2,

?

=2+

+

+…+

<2+

+

+…+

<2+ <3.

+

+

+…+

=2+

+

+

+…+

=3﹣

综上可得:2<

<3 成立,即 2<[2f(n)]

2n+1

<3 成立.

点 本题主要考查排列、组合以及二项式定理的应用,等可能事件的概率,用放缩法证明不等式,属于难题. 评 :


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