【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第一章常用逻辑用语综合检测北师大版选修2-1


第一章

常用逻辑用语

(时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.) 1.命题“对任意 x>0,x +x>0”的否定是( A.存在 x>0,x +x>0 C.存在 x>0,x +x≤0
2 2 2

)
2

B.任意 x>0,x +x≤0 D.任意 x≤0,x +x>0
2

【解析】 先把任意“任意”改为存在“存在”,再把结论给予否定. 【答案】 C 2.下面有两个命题: ①当 a>0 且 a≠1 时,存在一个实数 x0,使 ax0≤0.②负数的立方是负数.对这两个命 题的类型判断正确的是( )

A.①是全称命题,②是特称命题 B.①是特称命题,②是全称命题 C.①②都是特称命题 D.①②都是全称命题 【解析】 命题①含有存在量词“存在一个”,所以命题①是特称命题;命题②省略了 全称量词“任何一个”,所以命题②是全称命题. 【答案】 B 3.已知命题 p:点 P 在直线 y=2x-3 上;命题 q:点 P 在直线 y=-3x+2 上,则使命 题“p 且 q”为真命题的一个点 P(x,y)是( A.(0,-3) C.(1,-1) ) B.(1,2) D.(-1,1)

【解析】 命题“p 且 q”为真命题的含义是这两个命题都是真命题,即点 P 既在直线

y=2x-3 上,又在直线 y=-3x+2 上,即点 P 是这两条直线的交点.
【答案】 C 4.设 a、b∈R,那么 ab=0 的充要条件是( A.a=0 且 b=0 B.a=0 或 b≠0 C.a=0 或 b=0 D.a≠0 且 b=0 【解析】 由 ab=0,知 a、b 至少有一个为 0. 【答案】 C π 5.“x=2kπ + (k∈Z)”是“tan x=1”成立的( 4 A.充分不必要条件 ) )

B.必要不充分条件
1

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

π π π 【解析】 x=2kπ + ? tan x=tan(2kπ + )=tan =1,而 tan x=1? x=kπ + 4 4 4 π π (k∈Z),当 k=2n+1 时? / x=2kπ + . 4 4 【答案】 A 6.下列命题中,真命题是( )

π A.存在 x∈[0, ],sin x+cos x≥2 2 B.任意 x∈(3,+∞),x >2x+1 C.存在 x∈R,x +x=-1 π D.任意 x∈( ,π ),tan x>sin x 2 π 【解析】 对于 A,sin x+cos x= 2sin(x+ )≤ 2,因此命题不成立; 4 对于 B,x -(2x+1)=(x-1) -2,显然当 x>3 时(x-1) -2>0,因此命题成立; 1 2 3 2 2 对于 C,x +x+1=(x+ ) + >0,因此 x +x>-1 对于任意实数 x 成立,所以命题不 2 4 成立; π 对于 D,当 x∈( ,π )时,tan x<0,sin x>0,显然命题不成立. 2 【答案】 B 7.若集合 A={1,m },集合 B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件
2 2 2 2 2 2 2

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】 由 A∩B={4},得 m =4,m=±2,所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不 必要条件. 【答案】 A 8.下列四个命题

其中的真命题是(

)
2

A.p1,p3 C.p2,p3

B.p1,p4 D.p2,p4

【解析】 考查指数函数、对数函数图像和性质.选 D. 【答案】 D 1+m2 9.“m=1”是“f(x)= x是奇函数”的( 1-m2 A.充分不必要条件 C.充要条件
2

x

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x

【解析】 由 f(-x)=-f(x),得(m -1)2 =0, 又∵2 ≠0,∴m -1=0,m=±1,故选 A. 【答案】 A 1 x 10.已知集合 A={x∈R| <2 <8},B={x∈R|-1<x<m+1},若 x∈B 成立的一个充 2 分不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是( A.m≥2 C.m>2 B.m≤2 D.-2<m<2 )
x
2

1 x 【解析】 A={x∈R| <2 <8}={x|-1<x<3}. 2 ∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ∴A? B, ∴m+1>3,即 m>2. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 11.下列结论: ①若命题 p:存在 x∈R,tan x=1,命题 q:任意 x∈R,x -x+1>0,则命题“p 且綈
2

q”是假命题;
②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; ③命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x -3x+2≠0”.其 中正确结论为________.(把你认为正确结论的序号都填上) 【解析】 当 a=b=0 时,l1⊥l2,所以②是假命题,①③是真命题,故填①③. 【答案】 ①③ 12.已知命题 p:任意 x∈R,存在 m∈R,4 -2 数 m 的取值范围是________. 【解析】 若命题非 p 是假命题,则命题 p 是真命题,即关于 x 的方程 4 -2
x x+1 x x+1
2 2

a b

+m=0,若命题非 p 是假命题,则实

+m=0

3

有实数解,而 m=-4 +2

x

x+1

=-(2 -1) +1,所以 m≤1.

x

2

【答案】 (-∞,1] 13.有三个命题: (1)“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; (2)“若 a>b,则 a >b ”的逆否命题; (3)“若 x≤-3,则 x +x-6>0”的否命题. 其中真命题的个数为________. 【解析】 (1)真,(2)原命题假,所以逆否命题也假,(3)易判断原命题的逆命题假, 则原命题的否命题假. 【答案】 1 14.设 p:(4x-3) ≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实 数 a 的取值范围是________. 1 【解析】 p: ≤x≤1,q:a≤x≤a+1,易知 p 是 q 的真子集, 2 1 ? ?a≤ , ∴? 2 ? ?a+1≥1. 1 ∴0≤a≤ . 2
2 2 2 2

1 【答案】 [0, ] 2 三、解答题(本大题 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 12 分)(1)若 p:两条直线的斜率互为负倒数,q:两条直线互相垂直, 则 p 是 q 的什么条件? (2)若 p:(3x-4) >4,q:
2

1 >0,则非 p 是非 q 的什么条件? x -x-2
2

【解】 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数, ∴两条直线垂直.∴p? q, 又∵一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0,两直线也垂直, ∴q? / p,∴p 是 q 的充分不必要条件. 2 2 (2)解不等式(3x-4) >4 得 p:{x|x>2 或 x< }, 3 2 ∴綈 p:{x| ≤x≤2}, 3 解不等式 1

x2-x-2

>0,得 q:{x|x>2 或 x<-1},

∴綈 q:{x|-1≤x≤2}, ∴綈 p? 綈 q,綈 q ? / 綈 p.
4

∴綈 p 是綈 q 的充分不必要条件. 16.(本小题满分 12 分)已知命题 p:?
?x+2≥0, ? ?x-10≤0, ?

命题 q:1-m≤x≤1+m,m>0,

若非 p 是非 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 【解】 p:x∈[-2,10],q:x∈[1-m,1+m],m>0, ∵非 p 是非 q 的必要不充分条件,∴p? q 且 q ? / p.

m>0, ? ? ∴[-2,10]?[1-m,1+m].∴?1-m≤-2, ? ?1+m≥10,
故 m 的取值范围是[9,+∞).

∴m≥9.

1 x 17.(本小题满分 12 分)已知 c>0,设命题 p:函数 y=c 为减函数,命题 q:当 x∈[ , 2 1 1 2]时,函数 f(x)=x+ > 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题.求 c 的取值范

x c

围. 1 5 【解】 由命题 p 知:0<c<1.由命题 q 知:2≤x+ ≤ , x 2 1 1 要使此式恒成立,则 2> ,即 c> . c 2 又由 p 或 q 为真,p 且 q 为假知 p、q 必有一真一假, 1 当 p 为真,q 为假时,0<c≤ . 2 当 p 为假,q 为真时,c≥1. 1 综上,c 的取值范围为{c|0<c≤ 或 c≥1}. 2 18.(本小题满分 14 分)已知两个命题 r(x):sin x+cos x>m,s(x):x +mx+1>0. 如果对任意 x∈R,r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题,求实数 m 的取值范围. π 【解】 ∵sin x+cos x= 2sin(x+ )≥- 2, 4 ∴当 r(x)是真命题时,m<- 2. 若对? x∈R,s(x)为真命题,即 x +mx+1>0 恒成立,有 Δ =m -4<0,∴-2<m< 2. ∴当 r(x)为真,s(x)为假时,满足 m<- 2,同时 m≤-2 或 m≥2,即 m≤-2, 当 r(x)为假,s(x)为真时,m≥- 2且-2<m<2, 即- 2≤m<2.
2 2 2

5

综上所述,m 的取值范围是{m|m≤-2 或- 2≤m<2}.

6


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