高2014级数学周练(十三)


高 2014 级数学周练(十三)
一、选择题 1.sin 930 的值是






A.

3 2

B.-

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2
( )

2.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得

A. AB

B. DA

C. BC

D. 0

3.已知集合 M ? y | y ? 2x , x ? R , N ? y | y ? x 2 , x ? R , 则M ? N等于 (A) ?0,? ?? (B) ?0,? ??

?

?

?

?





4? (C) ?2,

?4, 4?, 16?? (D) ??2,
( )

4.已知 a,b 是两个非零向量,下列各命题中真命题的个数为 (1)2a 的方向与 a 的方向相同,且 2a 的模是 a 的模的 2 倍; (2)-2a 的方向与 5a 的方向相反,且-2a 的模是 5a 的模的; (3)-2a 与 2a 是一对相反向量; (4)a-b 与-(b-a)是一对相反向量. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5.如图, ?ABC 中, AD 、 BE 、 CF 分别是 BC 、 CA 、 AB 上的中线, 它们交于点 G ,则下列各等式中不 . 正确 的是 .. A B. DG ? ( )

2 BE 3 1 2 1 DA ? FC ? BC C. 3 3 2
A.

B G?

1 AG ; 2
B

F

G

E

D. CG ? ?2FG

D

C ( )

6. y ? tan(sinx) 的值域为

A. [ ?

? ?

, ] 4 4
e x ? e?x e x ? e ?x

B. [?

2 2 , ] 2 2

C. [? tan1, tan1]

D. 以上均不对

7.函数 y ?

的图像大致为





试卷第 1 页

8. 函数 y ? log 1 sin(2 x ?
2

?
4

) 的单调减区间为
B. ( k? ?





A. ( k? ?

?

4 3 ? C. (k? ? ? , k? ? ] 8 8

, k? ]

(k ? Z ) (k ? Z )

] (k ? Z ) 8 ? 3 (k ? Z ) D. ( k? ? , k? ? ? ] 8 8 8

?

, k? ?

?

9.如右图是函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图像, A( x, y ) 是图像上任意一点,过点 A 作 x 轴的平行线,交其图像 于另一点 B (A, B 可重合) , 设线段 AB 的长为 f ( x) , 则函数 f ( x) 的图像是 ( )

A

B

C
| x|

D

10.定义: 区间 ? x1 , x2 ? ? x1 ? x2 ? 的长度为 x2 ? x1 . 已知函数 y ? 2 的定义域为 ? a, b? , 值域为 ?1, 2? , 记区间 ? a, b? 的最大长度为 m, 最小长度为 n. 则函数 g ( x) ? m x ? ( x ? 2n) 的零点个数是 A.0 二、填空题 11.已知点 A(1, ?2) ,若向量 AB 与 a ? (2,3) 同向, | AB | = 2 13 ,则点 B 的坐标为 12.函数 y ? sin x ? . B.1 C.2 D.3 ( )

1 ? cos x 的定义域是 2

.

13.若函数 f ( x) ? a sin 2 x ? b tan x ? 1,且 f (?3) ? 5, 则 f (? ? 3) ?

. .

14. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上是增函数, 且 f (2) ? 0 , 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为 15.函数 f ? x ? ? lg

x2 ? 1 x

? x ? 0, x ? R?

有如下 5 个命题,其中正确命题的序号

.

(1)函数 y ? f ? x ? 图像关于 y 轴对称. (2)当 x ? 0 时, f ? x ? 是增函数, x ? 0 时, f ? x ? 是减函数. (3)函数 f ? x ? 的最小值是 lg 2 . (4)当 ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 时. f ? x ? 是增函数. (5) f ? x ? 无最大值,也无最小值.
试卷第 2 页

三、解答题 16 . 设 全 集 U ? R , 集 合 A ? x x ? ?2或x ? 5 ,

?

?

2 18.设函数 f ( x) ? cos x ? a sin x ?

B ? {x | x ? 2} .
⑴ 求: CU ( A ⑵ 记 CU ( A

⑴ 当

0≤x≤

B) ; B) ? D , C ? {x 2a ? 3 ? x ? ?a} , 且

? 时,用 a 表示 f ( x ) 的最大值 M (a ) ; 2

a 1 ? . 4 2

⑵ 当 M (a) ? 2 时,求 a 的值,并对此 a 值求 f ( x ) 的最 小值;

C

D ? C,求 a 的取值范围.

17.已知 ? ? ?

?? ? , ? ? ,且 ?2 ? sin ?? ? ? ? ? cos?2? ? ? ? ?

19. 如图,OADB 是以向量 OA ? a, OB ? b 为边的平行

sin ? ? cos ? ; 求: ⑴

⑵ tan? ;

2 3

四 边形,又 BM ? BC, CN ? CD , 试用 a, b 表 示

1 3

1 3

OM , ON , MN 。

试卷第 3 页

20.某公司承建扇环面形状的花坛如图所示,该扇环 面花坛是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧 AD、弧 BC 以及两条线段 AB 和 CD 围成的封闭图形. 花坛设计周 长为 30 米, 其中大圆弧 AD 所在圆的半径为 10 米. 设 小圆弧 BC 所在圆的半径为 x 米 ?0 ? x ? 10 ? ,圆心角 为 ? 弧度.

21.已知函数 f ( x) ? 1 ? 在 R 上的奇函数. ⑴ 求 a 的值; ⑵ 求函数 f ( x) 的值域;

4 (a ? 0且a ? 1) 是定义 2a ? a
x

⑶ 当 x ? [1,?? ) 时, tf ( x) ? 2 x ? 2 恒成立,求实数 t 的 取值范围.

⑴ 求 ? 关于 x 的函数关系式; ⑵ 在对花坛的边缘进行装饰时, 已知两条线段的装饰费 用为 4 元/米, 两条弧线部分的装饰费用为 9 元/米. 设 花坛的面积与装饰总费用的比为 y , 当 x 为何值时, y 取得最大值?

试卷第 4 页

中学高 2014 级数学周练(十三) 参考答案
1. D 2. D 3. A 【 解 析 】 M ? y y ? 0 ,N ? y y ? 0 , 所 以

f (? x) ?

e? x ? e x e? x ? e x ? ? ? ? f ( x) ,所以 e? x ? e x e x ? e? x

?

?

?

?

M ? N ? ?y y ? 0? ? ?0,??? ,选 A
4. C 【解析】(1)真命题.因为 2>0,所以 2a 与 a 的方向相 同.又|2a|=2|a|,所以命题①是真命题. (2)真命题.因为 5>0,所以 5a 与 a 方向相同,且|5a| =5|a|,而-2<0,所以-2a 与 a 的方向相反,|-2a| =2|a|,所以-2a 与 5a 的方向相反,且模是 5a 的模 的.故(2)是真命题. (3)真命题. 依据相反向量的定义及实数与向量乘积的 定义进行判断. (4)假命题.因为 a-b 与 b-a 是一对相反向量.所以 a-b 与-(b-a)是一对相等向量. 正确命题个数为 3,故选 C. . 5. B 【解析】 试题分析:根据题意,由于有三角形的重心分各条中 线为 1:2 得解.解:由条件可知 G 为△ABC 的重心, 由三角形重心的性质可知 DG ? B.对于 A, BG ?

e x ? e? x y ? f ( x) 是 奇 函 数 . 又 y ? x ? x 变 形 e ?e
成: e
2x

?

y ?1 ? 0 ,解得 y ? ?1或y ? 1 .又 y ?1

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以函数 x ?x e ?e e ?1 e ?1

y ? f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递减,故选 A.
考点:函数的图像. 8.B. 【解析】 试题分析:由 y ? log1 sin(2 x ?
2

?
4

) 及复合函数单调

性的性质可知,要求原函数的单调递减区间,只需令

2k? ? 2 x ?
∴ k? ?

?
4

?

?
2

? 2k? , (k ? Z ) ,

1 GA 显然成立, 故选 2

?
8

? x ? k? ?

?
8

, (k ? Z ) ,

2 BE ,以及 C. 3 1 2 1 DA ? FC ? BC 和 D. CG ? ?2FG 成立, 故 3 3 2

∴单调递减区间为 ( k? ?

?
8

, k? ?

?
8

]

(k ? Z ) .

错误的为 B. 考点:三角形的重心 点评:考查三角形中重心的性质.属于基础题。 6. C 【解析】

考点:1.三角函数的性质;2.复合函数单调性的判断. 9.A 【解析】 试题分析:∵ A( x, y ) 是函数 y ? sin x 上的一点,由 图及诱导公式 sin ? ? sin(? ? ? ) , 可知: B(? ? x, y ) , ∴当 x ? (0, 当 x?(

y ? tan(sinx) 中 sin x ?? ?1,1? , y ? tan(sinx) 的值
域为 [? tan1, tan1] 7. A 【解析】 试 题 分析 :因 为 y ? f ( x ) 的 定义域 是 x x ? 0 且

?
2

) 时, AB ? f ( x) ? ? ? x ? x ? ? ? 2 x ,

?
2

, ? ) 时,有

?

?

AB ? f ( x) ? x ? (? ? x) ? 2 x ? ? ,故选 B.

答案第 1 页,总 1 页

考点:三角函数的图像与性质. 10.C 【解析】 本题考查指数函数的性质和创新定义的应用。 最 大 长 度 为 m=2 , 最 小 长 度 为 n=1 , 故

x ? 0 时, f ? x ? ? lg

x2 ? 1 1 1 ? lg( x ? ) . y ? x ? 在 x x x

g ? x ? ? 2 ? ? x ? 2? ,由 y ? 2 和 y ? x ? 2 的图像交
x
x

(0,1) 上 单 调 递 减 , 在 (1, ??) 上 单 调 递 增 . 从 而
在 (1, ??) 上单调递增. y ? f ( x) 在 (0,1) 上单调递减, 又 因 为 y ? f ( x) 是 偶 函 数 , 所 以 函 数 y ? f ( x) 在 在 (?1, 0) 上单调递增.所以 (2) (??, ?1) 上单调递减, 错, (4)正确.

点可知零点个数是 2. 11.(5,4) 12. [

?
3

? 2k? , 2k? ? ? ](k ? z )

? sin x ? 0 ? 【解析】由 ? 1 得, ? cos x ? 0 ? ?2
? 2 k? ? x ? 2 k ? ? ? , k ? z ? ,所以 5? ?? ? 2 k ? ? x ? 2 k ? ? , k ? z ? 3 ?3

x2 ? 1 1 f ? x ? ? lg ? lg( x ? ) ? lg 2 .所以(3)正确, x x
(5)错. 16.试题分析: ( 1 )由 A ? x x ? ?2或x ? 5 , B ? x x ? 2 , 求出

?

?

?

?

?
3

? 2 k? ? x ? 2 k ? ? ? , k ? z ,

A B ;再由 U ? R ,求出 CU ( A B) ;
(2 )由(1 )得 D ? x 2 ? x ? 5 , 由题知 C ? D , 因 为 C ? x 2a ? 3 ? x ? ? a

定义域为 [ 13.-3

?
3

? 2k? , 2k? ? ? ](k ? z ) .

?

?

14. ? ??, ?2? 【解析】

? 0, 2?

?

?

, 所 以 分 C ?? 和

C ? ? 两种情况讨论,并将两种情况得到的 a 的范围
合并即可. 在进行集合运算时要注意区间端点的开闭; 在由 C ? D 求参数范围时,要注意 C ? ? 能否成立. 试题解析: (1)∵ A ? x x ? ?2或x ? 5 , B ? x x ? 2 , ∴A ∵

试题分析:因为函数 f ( x) 定义在 R 上的偶函数在

?0, ?? ? 上是增函数,所以函数 f ( x) 在 ?? ?,0? 是减
函 数 , 因 为 f (2) ? 0 , 所 以 f (?2) ? 0 , 不 等 式

?

?

?

?

?x ? 0 ?x ? 0 xf ( x) ? 0 等价于 ? 或? ? f ( x) ? f (2) ? f ( x) ? f (?2)
所 以 0 ? x ? 2, 或x ? ?2 , 所 以 该不 等 式的解 集 为

B ? ? x x ? 2或x ? 5? , -------------- 3 分
全 集

U ?R

,



CU ( A

B ) ? ? x 2 ? x ? 5? . ---------------------------------

? ??, ?2? ? 0, 2? .
考点:函数的单调性与奇偶性. 15. (1) (3) (4) 【解析】 试题分析:(1)易得 f (? x) ? f ( x) ,所以 y ? f ( x ) 是 偶函数,它的图象关于 y 轴对称.

-------------------------------6 分 (2)由(1)得 D ? x 2 ? x ? 5 ,∵ C

?

?

D?C,

∴ C ? D .-------------------------------------------------7 分 ∵ C ? x 2a ? 3 ? x ? ? a , ∴当 C ? ? 时,有 ?a ? 2a ? 3 ,解得 a ? 1 .------8 分
答案第 2 页,总 4 页

?

?

? 2a ? 3 ? ? a ? 当 C ? ? 时 , 有 ? 2 ? 2a ? 3 , 此 时 a 无 ??a ? 5 ?
解.-------------------------------------------------------------10 分 综上可知, a 的取值范围是 (1, ??) . ------------------------------------------------------------------12 分 考点:①集合与集合的运算;②利用集合与集合的关 系求参数范围(值) . 17.试题分析: (1) ? ? ?

18.
? a 1 a?0 ?? 4 ? 2 ? 2 ? a a 1 M (a) ? ? ? ? 0?a?2 ? 4 4 2 ?3 1 a?2 ? 4a? 2 ?

试题分析:(1)

(? )

(省略了一些过程,请同学们自己补充吧! )
-------------------------------------------------------------------- 6 分 (2) 将 M (a) ? 2 代入( ? )式,

?? ? , ? ? 时, ?2 ?

sin ?? ? ? ? ? cos ? 2? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ?
两边平方

2 , 3

10 . 3 (同样省略了一些过程,请自己补充吧! ) 当 a ? ?6 时,
得 a ? ?6 或 a ?

f ( x) ? ?(sin x ? 3) 2 ? 11

2 9 7 ? 2 sin ? cos ? ? ? 9 1 ? 2 sin ? cos ? ?

? f ( x)?min ? ?5 ;
当a ?

10 时, 3

? ? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ?
2

16 9

又? ? ?

?? ? ,? ? ?2 ?
4 -------- 6 分 3

? sin ? ? cos ? ? 0 ? sin ? ? cos ? ?
(2)由 sin ? ? cos ? ?

4 2 , sin ? ? cos ? ? 得 3 3


5 22 f ( x) ? ?(sin x ? ) 2 ? 3 9 ? f ( x)?min ? ? 1 .-------------------12 分 3 1 5 19. OM ? a ? b , 6 6 2 ON ? (a ? b ) , 3 1 1 MN ? a ? b 2 6
20.试题分析: (1)由于花坛设计周长为 30 米,其中 大圆弧 AD 所在圆的半径为 10 米.设小圆弧 BC 所在 圆的半径为 x 米 ( 0 ? x ? 10 ) , 圆心角为 ? 弧度.所以 AD 的 弧 长 为 10? , BC 的 弧 长 为 x? . 所 以 可 得

2 ?4 ?sin ? ? 6 cos ? ? 2 ?4 9?4 2 ? tan ? ? ? 7 6

--------12 分

考点:同角间的三角函数关系及完全平方公式。 点评: 利用 sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ,sin ? cos ? 三者的关系解题较简单。

10? ? x? ? 2(10 ? x) ? 30 .即可得结论.
(2)由花坛两条线段的装饰费用为 4 元/米,两条弧 线部分的装饰费用为 9 元/米. 即可得所需费用的关系 式 . 花坛的面积由大扇形面积减去小的扇形面积即 可,再利用基本不等式即可求得结论. 解:(1)设扇环的圆心角为?,则

答案第 3 页,总 4 页

30 ? ? ?10 ? x ? ? 2(10 ? x) ,
所以 ? ?

∴0 ?

2 2 ? 2 ,?1? 1? x ?1 2 ?1 2 ?1
x

10 ? 2 x 10 ? x -----------------------------5 分

∴函数 f ( x) 的值域 ( ?1,1)

------8 分

(2) 花坛的面积为

(Ⅲ)由题意得,当 x ? 1 时, t (1 ? 即t ?

2 ) ? 2x ? 2 2 ?1
x

1 ? (102 ? x2 ) ? (5 ? x)(10 ? x) ? ? x2 ? 5x ? 50, (0 ? x ? 10) 2 -----------------------------------7 分
装饰总费用为 9? ?10 ? x ? ? 8(10 ? x) ? 170 ? 10 x ,--9 分 所以花坛的面积与装饰总费用的比 ? x 2 ? 5 x ? 50 x 2 ? 5 x ? 50 y= =? ,------------10 分 170 ? 10 x 10(17 ? x) 令 t ? 17 ? x ,则 y ?

2x ?1 ? 2 x ? 2 恒成立, x 2 ?1

x ∵ x ? 1 ,∴ 2 ? 2 ,

∴t ?

(2 x ? 2) ? (2 x ? 1) ( x ? 1 )恒成立, --10 分 2x ?1

39 1 324 3 ? (t ? )≤ 10 10 t 10

设 u ( x) ?

(双勾函数,你看出来了吗?你能否总结出什 么样的式子可以通过换元弄成双勾函数?如果 你做到了 10 分这一步,感觉实在太难,也大可 不必为这 3 分纠结, 考试方法技巧真的很重要! )
12 此时 t=18, x ? 1,? ? . 11 答 : 当 x ?1 时 , 花 坛 的 面 积 与 装 饰 总 费 用 的 比 最 大. -----------------------------------------13 分 考点:1.扇形的面积.2.函数的最值.
21.解: (Ⅰ)∵ f ( x) 是奇函数 又 f ( x) ?

(2 x ? 2) ? (2 x ? 1) 2 ? 2x ? x ( x ? 1) x 2 ?1 2 ?1

下证 u( x ) 在当 x ? 1 时是增函数. 任取 x2 ? x1 ? 1 ,则

u( x2 ) ? u( x1 ) ? 2 x2 ?

2 2 ? 2 x1 ? x1 2 ?1 2 ?1
x2

? (2 x2 ? 2 x1 ) ? (1 ?

2 )?0 (2 ? 1) ? (2 x2 ? 1)
x1

-----------------------------------12 分 ∴当 x ? 1 时, u( x ) 是增函数,

∴ f ( ? x ) ? ? f ( x)

2a ? a ? 4 2a x ? a
x

∴ u( x ) min ? u(1) ? 0 ∴ t ? u( x) min ? u(1) ? 0 ∴实数 t 的取值范围为 t ? 0 . -------14 分



2a ? x ? a ? 4 2a x ? a ? 4 ? ? , 2a ? x ? a 2a x ? a

即 (a ? 2)[2a 2 x ? (a ? 2)a x ? 2] ? 0 对任意 x 恒成立, ∴a ? 2

(或者利用 f (0) ? 0 ,求得 a ? 2 ,再验证 是奇函数,最好用这个方法! )(Ⅱ)∵ y ? 1 ? 4分

考点:本试题考查了函数的性质运用。 点评:解决该试题关键是对于函数奇偶性概念 和单调性概念的运用, 并能结合不等式 恒成立 问题,分离变量思想求解参数的取值范围。

4 2 ? 1? x x 2?2 ? 2 2 ?1

x x 又∵ 2 ? 0 , ∴ 2 ? 1 ? 1

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