高考数学一轮复习专题训练:5 解析几何在高考中的常见题型与解析


高考数学一轮复习专题训练: 5 解析几何在高考中的常见题型与解析 x2 y2 1.(2016·长春质量检测)若 F(c,0)是双曲线 2- 2=1(a>b>0)的右焦点,过 F a b 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,△ OAB 的面积为 5 A. 3 12a2 ,则该双曲线的离心率 e=( 7 B. 4 3 C. 5 4 ) 8 5 D. 解析:选 C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ,则 tan θ= ,tan 2θ 2ab 1 ab 12a b ,解得 = 2 2,因此△OAB 的面积可以表示为 ·a·atan 2θ= 2 2= a -b 2 a -b 7 a 3 2 b a = 3 5 ,则 e= .故选 C. 4 4 2.(2016·山西省考前质量检测)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,点 E 在 C 3? ? 的准线上,且在 x 轴上方,线段 EF 的垂直平分线与 C 的准线交于点 Q?-1, ?, 2? ? 与 C 交于点 P,则点 P 的坐标为( A.(1,2) B.(2,2 2) ) C.(3,2 3) D.(4,4) 解析:选 D.由题意,得抛物线的准线方程为 x=-1,F(1,0). 设 E(-1,y), 因为 PQ 为 EF 的垂直平分线, 所以|EQ|=|FQ|, 3 即 y- = 2 解得 y=4, 所以 kEF= 4-0 1 =-2,kPQ= , -1-1 2 ?3?2 (-1-1)2+? ? , ?2? 3 1 所以直线 PQ 的方程为 y- = (x+1), 2 2 即 x-2y+4=0. 1 ?x-2y+4=0, ?x=4, 由? 2 解得? ?y =4x, ?y=4, 即点 P 的坐标为(4,4),故选 D. 3.已知 F1、F2 分别为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过椭圆的中心 O 任作一直线 4 → ·PF → 的值为________. 与椭圆交于 P,Q 两点,当四边形 PF1QF2 的面积最大时,PF 1 2 解析:易知当 P,Q 分别是椭圆的短轴端点时,四边形 PF1QF2 的面积最大.由于 → =(- 3,-1),PF → =( 3, F1(- 3,0),F2( 3,0),不妨设 P(0,1),所以PF 1 2 -1), → ·PF → =-2. 所以PF 1 2 答案:-2 x2 x2 y2 2π 4.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为 ,离心率为 e, a b 3 a2+e2 则 的最小值为________. 2b 解析:由题意, = 3,所以 b= 3a, 所以 c=2a,e=2, b a a2+e2 a2+4 a 2 2 3 = = + ≥ (当且仅当 a=2 时取等号), 2b 3 2 3a 2 3 3a a2+e2 2 3 则 的最小值为 . 2b 3 2 3 答案: 3 y2 x2 5.(2016·山西省四校联考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 a b 为 3 , 以原点为圆心, 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ 2 2 =0 相切.A、B 是椭圆 C 的右顶点与上顶点,直线 y=kx(k>0)与椭 圆相交于 E、F 两点. (1)求椭圆 C 的方程; 2 (2)当四边形 AEBF 面积取最大值时,求 k 的值. 解:(1)由题意知:e= = c a 3 , 2 c2 a2-b2 3 所以 e = 2= 2 = , a a 4 2 所以 a2=4b2. 又圆 x2+y2=b2 与直线 x-y+ 2=0 相切, 所以 b=1, 所以 a2=4, 故所求椭圆 C 的方程为 x2+ =1. 4 (2)设 E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中 x1<x2, 将 y=kx 代入椭圆的方程 x + =1 整理得:(k2+4)x2=4, 4 故 x2=-x1= 2 ,① k2+4 2 y2 y2 因为 A(1,0),B(0,2),故由两点式得直线 AB 的方程为:2x+y-2=0, 设点 E,F 到直线 AB 的距离分别为 h1,h2,则 |2x1+kx1-2| 2(2+k+ k2+4) h1= = , 5 5(k2+4) |2x2+kx2-2| 2(2+k- k +4) h2= = , 5 5(k2+4) |AB|= 22+1= 5, 所以四边形 AEBF 的面积为 2 S= |AB|(h1+h2)= × 5× 4+k2+4k =2 k2+4 1+ 4 1 2 1 2 4(2+k) 2(2+k) = 2 5(k +4) k2+4 =2 1+ 4k k +4 2 =2 k+ 4 ≤2 2, k 当 k2=4(k>0), 3 即 k=2 时,上式取等号. 所以当四边形 AEBF 面积取最大值时,k=2. 6.(2016· 河南省八校联考)已知点 P(2, 3), Q(2, -3)在椭圆 x2 16 + =1 上,A、B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点. 12 1 (1)若直线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 的面积的最大值; 2 (2)当 A、B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说 明理由. 1 x2 y2 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y= x+t,把其代入 + = 2 16 12 1,得 x +tx+t -12=0, 由Δ=t2-4(t2-12)>0, 解得-4<t<4,由根与系数的关系得 x1+x2=-t,x1x2=t2-12. 1 四边形 APBQ 的面积 S= ×6×|x1-x2|=3 48-3t2, 2 所以当 t=0 时,Smax=12 3. (2)当∠APQ=∠BPQ,则直线 PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k, 2 2 y2

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