高中数学选修2-2 北师大版 4.3定积分的简单应用4.3.1平面图形的面积 教案1


4.3.1 平面图形的面积 一、教学目标:1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思 想方法;2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理; 3、初步掌握利用定 积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。 二、教学重难点: 曲边梯形面积的求法及应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 1、复习: (1) 、求曲边梯形的思想方法是什么?(2)、定积分的几何意义是什么?(3) 、微积 分基本定理是什么? 2、定积分的应用 (一)利用定积分求平面图形的面积 例 1.计算由两条抛物线 y 2 ? x 和 y ? x2 所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差 得到。 解: ? ? ?y ? x ? ?y ? x 2 ? x ? 0及x ? 1 ,所以两曲线的交点为 (0, y ? x 0) 、 (1,1) ,面积 S= ? ? 1 0 xdx ? ? x 2 dx ,所以 0 3 1 1 1 ?2 3 x ? 1 S = ? ( x - x2 )dx ? ? x 2 ? ? = 0 3 ?0 3 ?3 C O B y ? x2 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤: 1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4. 分基本定理求定积分。 D A 微 积 巩固练习 计算由曲线 y ? x ? 6x 和 y ? x 所围成的图形的面积. 3 2 例 2.计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2 x 以及 x 轴所围图形的面积 S. 分析:首先画出草图(图 1.7 一 2 ) ,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面 积问题.与例 1 不同的是,还需把所求图形的面积分成两部分 S1 和 S2.为了确定出被积函数 和积分的上、下限,需要求出直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 与 x 轴的交点. 2 x 的交点的横坐标,直线 y ? x ? 4 解:作出直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 解方程组 ? 2 x 的草图,所求面积为图 1. 7 一 2 阴影部分的面积. ? y ? 2x , ? 得直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 2 x 的交点的坐标为(8,4) . ? ?y ? x ? 4 直线 y ? x ? 4 与 x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为 S=S1+S2 ?? 4 0 2 xdx ? [? 8 4 2 xdx ? ? ( x ? 4)dx] 4 8 2 2 3 2 2 3 1 40 2 4 . ? x |0 ? x 2 |8 ( x ? 4) 2 |8 4 4? 3 3 2 3 由上面的例题可以发现,在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借 助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限. 例 3.求曲线 y ? sin x  x ? [0, 2? 2? ] 与直线 x ? 0, x ? , x 轴所围成的图形面积。 3 3 2? | o3 答案: S= 练习 ? 2? 3 0 sin xdx ? ? cos x ? 3 2 1、求直线 y ? 2 x ? 3 与抛物线 y ? x 2 所围成的图形面积。 2 x+3-x 2 )dx ? (x 2 ? 3 x ? 答案: S= ( ?1 ? 3 x 3 3 32 ) | ?1 ? 3 3 y o 2、求由抛物线 y

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