高中数学选修2-2 北师大版 4.3定积分的简单应用4.3.1平面图形的面积 教案1


4.3.1 平面图形的面积 一、教学目标:1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思 想方法;2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理; 3、初步掌握利用定 积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。 二、教学重难点: 曲边梯形面积的求法及应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 1、复习: (1) 、求曲边梯形的思想方法是什么?(2)、定积分的几何意义是什么?(3) 、微积 分基本定理是什么? 2、定积分的应用 (一)利用定积分求平面图形的面积 例 1.计算由两条抛物线 y 2 ? x 和 y ? x2 所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差 得到。 解: ? ? ?y ? x ? ?y ? x 2 ? x ? 0及x ? 1 ,所以两曲线的交点为 (0, y ? x 0) 、 (1,1) ,面积 S= ? ? 1 0 xdx ? ? x 2 dx ,所以 0 3 1 1 1 ?2 3 x ? 1 S = ? ( x - x2 )dx ? ? x 2 ? ? = 0 3 ?0 3 ?3 C O B y ? x2 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤: 1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4. 分基本定理求定积分。 D A 微 积 巩固练习 计算由曲线 y ? x ? 6x 和 y ? x 所围成的图形的面积. 3 2 例 2.计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2 x 以及 x 轴所围图形的面积 S. 分析:首先画出草图(图 1.7 一 2 ) ,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面 积问题.与例 1 不同的是,还需把所求图形的面积分成两部分 S1 和 S2.为了确定出被积函数 和积分的上、下限,需要求出直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 与 x 轴的交点. 2 x 的交点的横坐标,直线 y ? x ? 4 解:作出直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 解方程组 ? 2 x 的草图,所求面积为图 1. 7 一 2 阴影部分的面积. ? y ? 2x , ? 得直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 2 x 的交点的坐标为(8,4) . ? ?y ? x ? 4 直线 y ? x ? 4 与 x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为 S=S1+S2 ?? 4 0 2 xdx ? [? 8 4 2 xdx ? ? ( x ? 4)dx] 4 8 2 2 3 2 2 3 1 40 2 4 . ? x |0 ? x 2 |8 ( x ? 4) 2 |8 4 4? 3 3 2 3 由上面的例题可以发现,在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借 助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限. 例 3.求曲线 y ? sin x  x ? [0, 2? 2? ] 与直线 x ? 0, x ? , x 轴所围成的图形面积。 3 3 2? | o3 答案: S= 练习 ? 2? 3 0 sin xdx ? ? cos x ? 3 2 1、求直线 y ? 2 x ? 3 与抛物线 y ? x 2 所围成的图形面积。 2 x+3-x 2 )dx ? (x 2 ? 3 x ? 答案: S= ( ?1 ? 3 x 3 3 32 ) | ?1 ? 3 3 y o 2、求由抛物线 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 及其在点 M(0,-3) x y=-x2+4x-3 和 N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积。 略解:? y / ? ?2 x ? 4 ,切线方程分别为 y ? 4 x ? 3 、 y ? ?2 x ? 6 ,则所求图形的面积为 S= ? 3 2 [(4 x 0 ? 3) ? (? x 2 ? 4 x ? 3)]dx ? ? 3 [( ?2 x 2 3 ? 6) ? ( ? x 2 ? 4 x ? 3)]dx= 9 4 3、求曲线 y ? log 2 x 与曲线 y ? log2 (4 ? x) 以及 x 轴所围成的图形面积。 略解:所求图形的面积为 S= 【g( y) ? f ( y)dy ? 0 ? 1 ? (4 ? 2 ? 2 0 1 y )dy ? ( 4 y ? 2 ? 2 y log2 e) |1 0 ? 4 ? 2 log2 e 4、在曲线 y ? x ( x ? 0) 上的某点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 2 1 . 12 试求:切点 A 的坐标以及切线方程. 略解:如图由题可设切点坐标为 (x 0 , x 0 ) ,则切线方程 为 y ? 2 x 0 x ? x 0 ,切线与 x 轴的交点坐标为 2 2 x y=x2 A O BC x0 3 1 ? 12 12 x ( x0 ,0) ,则由题可知有 S ? 2 ? x0 2 0 x 2 dx ? ? 2 2 x0 ( x ? 2 x 0 x ? x 0 )dx ? 2 x0 ? x 0 ? 1 ,所以切点坐标与切线方程分别为 A(1,1), y ? 2 x ? 1 [a, b]上的曲线y ? f ( x)与直线x ? a 、 (二) 、归纳总结: 1、定积分的几何意义是: 在区间 x ? b以及x 轴所围成的图形的面积的代数和,即 ? f ( x)dx ? S a b x轴上方-S x轴下方 . 因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理,但要特别注 [0 ,2?] 意图形面积与定积分不一定相等,如函数 y ? sin x x ? 的图像与 x 轴围成的图形的 面积为 4,而其定积分为 0. 2、求曲边梯形面积的方法:⑴画图,

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