2017_18学年高中数学第三章圆锥曲线与方程2.1抛物线及其标准方程课件北师大版选修_图文


理解教材 新知

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第 三 章

§ 2
抛 物 线

2.1

抛物 线及 其标 准方 程

把握热点 考向

应用创新 演练

§ 2
2.1

抛 物 线

抛物线及其标准方程

抛物线的定义

如右图,我们在黑板上画一条直线 EF, 然后取一个三角板, 将一条拉链 AB 固定在三 角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的 一端固定在 C 点,将三角板的另一条直角边 贴在直线 EF 上,在拉锁 D 处放置一支粉笔, 上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线.

问题 1:曲线上点 D 到直线 EF 的距离是什么?
提示:线段 DA 的长.

问题 2:曲线上点 D 到定点 C 的距离是什么?
提示:线段 DC 的长.

问题 3:曲线上的点到直线 EF 和定点 C 之间的距离有何关 系?
提示:相等.

抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F) 定义 距离相等 的点的集合叫作抛物线 焦点 定点F __________ 定直线l __________

准线

抛物线的标准方程

已知某定点和定直线 l(定点不在定直线 l 上),且定点到 l 的 距离为 6,曲线上的点到定点距离与到定直线 l 的距离相等.在 推导曲线的方程的过程中,由建系的不同,有以下点和直线. A(3,0),B(-3,0),C(0,3),D(0,-3); l1:x=-3,l2:x=3,l3:y=-3,l4:y=3.

问题 1: 到定点 A 和定直线 l1 距离相等的点的轨迹方程是什 么?并指出曲线开口方向.
提示:y2=12x. 向右.
问题 2: 到定点 B 和定直线 l2 距离相等的点的轨迹方程是什 么?曲线开口向哪? 提示:y2=-12x. 向左.

问题 3: 到定点 C 和定直线 l3 距离相等的点的轨迹方程是什 么?曲线开口向哪?
提示:x2=12y. 向上.
问题 4: 到定点 D 和定直线 l4 距离相等的点的轨迹方程是什 么?曲线开口向哪?

提示:x2=-12y. 向下.

抛物线的标准方程

图像

标准方程
2 y =2px(p>0) _____________

焦点坐标 准线方程
?p ? ? , 0? ?2 ?

p x=- 2 p x= 2

2 y =-2px(p>0) _____________

? p ? ?- ,0? ? 2 ?

图像
2

标准方程
x =2py(p>0) ______________
2

焦点坐标 准线方程
? p? ?0, ? 2? ? ? p? ?0,- ? 2? ?

p y=- 2 p y= 2

x =-2py(p>0) _______________

1.平面内与一定点 F 和一定直线 l 距离相等的点的集合是抛 物线,定点 F 不在定直线上,否则点的轨迹是过点 F 垂直于直线 l 的直线. 2.抛物线的标准方程有四种形式,顶点都在坐标原点,焦点 在坐标轴上.

求抛物线的焦点坐标和准线方程

[例 1]

指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛

物线开口方向. 1 2 (1)y= x ; 4 (2)x=ay2(a≠0).
[思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种

类型,求出 p.再写出焦点坐标和准线方程.

1 2 [精解详析] (1)抛物线 y= x 的标准形式为 x2=4y, 4 ∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是 y=-1.抛物线开口 向上. 1 (2)抛物线方程的标准形式为 y =ax,
2

1 ∴2p= . |a| p 1 ①当 a>0 时, = ,抛物线开口向右, 2 4a
?1 ? ∴焦点坐标是?4a,0?,准线方程是 ? ?

1 x=- ; 4a

p 1 ②当 a<0 时, =- ,抛物线开口向左, 2 4a
?1 ? ∴焦点坐标是?4a,0?,准线方程是 ? ?

1 x=- . 4a
2

综合上述,当 a≠0 时,抛物线 x=ay

?1 ? 的焦点坐标为?4a,0?, ? ?

1 准线方程为 x=- .a>0 时,开口向右;a<0 时,开口向左. 4a

[一点通] 1.先将抛物线方程化成标准形式,再判断开口方向、焦点位 置,准确地求出 p 值. 2.抛物线 y
2

?a ? =2ax(a≠0)的焦点坐标?2,0?,准线 ? ?

a x=- ,不 2

必讨论 a 的正负.

1.抛物线 x2=8y 的焦点坐标是 A.(0,2) C.(4,0) B.(0,-2) D.(-4,0)

(

)

解析:由抛物线的方程为 x2=8y 知,抛物线的焦点在 y 轴上, p 所以 2p=8, =2,所以焦点坐标为(0,2),故选 A. 2

答案:A

2 . ( 北京高考 ) 若抛物线 y2 = 2px 的焦点坐标为 (1,0) ,则 p = ________,准线方程为________.
解析:因为抛物线 y =2px
2

?p ? 的焦点坐标为?2,0?,准线方程为 ? ?

x=

p - ,抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0),所以 p=2,准线方程为 2 x=-1.

答案:2

x=-1

求抛物线的标准方程

[例 2]

求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1)过点(-3,2); (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上; (3)已知抛物线焦点在 y 轴上,焦点到准线的距离为 3.
[思路点拨] 确定 p 的值和抛物线的开口方向,写出标准方程.

[精解详析] (1)设所求的抛物线方程为 y2=-2p1x(p1>0)或 x2 =2p2y(p2>0),∵过点(-3,2), ∴4=-2p1(-3)或 9=2p2· 2. 2 9 ∴p1= 或 p2= . 3 4 4 9 2 故所求的抛物线方程为 y =- x 或 x = y. 3 2
2

(2)令 x=0 得 y=-2,令 y=0 得 x=4, ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). p 当焦点为(4,0)时, =4, 2 ∴p=8,此时抛物线方程 y2=16x; p 当焦点为(0,-2)时, =|-2|, 2 ∴p=4,此时抛物线方程为 x2=-8y. 故所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=-8y. (3)由题意知, 抛物线标准方程为 x2=2py(p>0)或 x2=-2py(p>0) 且 p=3,∴抛物线标准方程为 x2=6y 或 x2=-6y.

[一点通] 求抛物线标准方程的方法有: (1)定义法,求出焦点到准线的距离 p,写出方程. (2)待定系数法, 若已知抛物线的焦点位置, 则可设出抛物线的 标准方程,求出 p 值即可,若抛物线的焦点位置不确定,则要分情 况讨论.另外,焦点在 x 轴上的抛物线方程可统一设成 y2 = ax(a≠0),焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2=ay(a≠0).

3.(陕西高考)设拋物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则 拋物线的方程是 A.y2=-8x C.y2=-4x B.y2=8x D.y2=4x ( )

解析:由准线方程 x=-2,可知拋物线为焦点在 x 轴正半轴 上的标准方程,同时得 p=4,所以标准方程为 y2=2px=8x.
答案:B

4.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上一点(-5,2 5) 到焦点的距离是 6,则抛物线的方程是________.

解析:因为点(-5,2 5)在第二象限,且以原点为顶点,x 轴 为对称轴, 故抛物线开口向左, 设其方程为 y2=-2px, 把(- 5,2 5)代入得 p=2,故所求方程为 y2=-4x.
答案:y2=-4x

5.已知焦点在 x 轴上, 且抛物线上横坐标为 3 的点 A 到焦点的距 离为 5,求抛物线的标准方程.

解:由题意,设抛物线方程为 y2=2px(p>0),其准线为 x= p - . 2 ∵A 到焦点的距离为 5,∴A 到准线的距离也是 5, 即
? p? 3-?-2?=5,解得 ? ?

p=4.

故所求的抛物线标准方程为 y2=8x.

抛物线标准方程的实际应用
[ 例 3] 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组

成,尺寸如图所示,某卡车载一集装箱,箱宽 3 m,车 与箱共高 4 m,此车能否通过此隧道?请说明理由.
[思路点拨 ] 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线

上点的坐标, 求出抛物线方程, 然后比较当车辆从正中通过时, 1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断.

[精解详析] 建立如图所示的平面直角坐标 系. 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 当 x=3 时,y=-3,即点(3,-3)在抛物线上. 代入得 2p=3,故抛物线方程为 x2=-3y. 已知集装箱的宽为 3 m, 3 3 当 x= 时,y=- ,而桥高为 5 m, 2 4 3 1 所以 5- =4 >4. 4 4 故卡车可通过此隧道.

[一点通] 1.本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题,利用数学 模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解 决问题. 2.在建立抛物线的标准方程时,以抛物线的顶点为坐标原点, 对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样可使得方程的形式更为简 单,便于计算.

6. 某河上有抛物线形拱桥, 当水面距拱顶 6 m 时, 水面宽 10 m, 抛物线的方程可能是 25 A.x =- y 6
2

( 25 B.x =- y 12
2

)

36 C.x =- y 5
2

25 D.x =- y 24
2

解析:建立直角坐标系如图,设抛物线方程 为 x2=-2py(p>0), 则 P(5, -6)在抛物线上. 25 ∴25=-2p(-6),∴p= . 12 25 ∴抛物线方程为 x =- y. 6
2

答案:A

7.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱桥高度是 4 米,在建桥时, 每 4 米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.
解:如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p >0).依题意知,点 P(10,-4)在抛物线上, ∴100=-2p×(-4),2p=25. 即抛物线方程为 x2=-25y. ∵每 4 米需用一根支柱支撑, ∴支柱横坐标分别为-6,-2,2,6. 由图知,AB 是最长的支柱之一,点 B 的坐标为(2,yB),代入 x2 4 =-25y,得 yB=- . 25 4 ∴|AB|=4- =3.84,即最长支柱的长为 3.84 米. 25

1.确定抛物线的标准方程,只需求一个参数 p,但由于 标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方 向不确定时,应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一 形式,避免讨论,如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 y2=2mx(m≠0),焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x2= 2my(m≠0).

2.求抛物线标准方程的方法:

特别注意在设标准方程时,若焦点位置不确定,要分类 讨论.


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