2019高中数学第一章集合与函数概念单元测试(二)新人教A版必修1


第一章 集合与函数概念
注意 事项: 1 .答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2 .选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 .非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4 .考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} , B ? ?1, 2,3? ,则 A A. ?1, 2,3? B. ?1?
B ?(

则一定是 F ? x ? 单调递减区间的是(
? ? ? A. ? ? , 0? ? 2 ? ?? ? B. ? , ? ? ?2 ?


? ?? ? C. ? ?? ? ? 2 ? ? ?? ? D. ? , 2 ? ? 2 ? ?

7.已知函数 f ? x ? ? x2+bx+c 的图象的对称轴为直线 x=1,则( A. f (?1) ? f ?1? ? f ? 2? C. f ? 2? ? f (?1) ? f ?1? 8.图中的图象所表示的函数的解析式为( B. f ?1? ? f ? 2? ? f (?1) D. f ?1? ? f (?1) ? f ? 2? )



) D. ? )

A. y ? C. y ?

3 x ? 1 ? 0 ? x ? 2? 2 3 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2? 2

B. y ?

3 3 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2? 2 2

C. ?3?

D. y ? 1 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ?

2.设集合 M = ?1, 2? ,则满足条件 M A.1 B.3

N = ?1, 2,3, 4? 的集合 N 的个数是(
C.2 ) B. y ?
3 x

D.4

3.下列函数中,在 ? 0, 2 ? 上为增函数的是( A. y ? ?3x ? 2 C. y ? x 2 ? 4 x ? 5

1 ? 2 x ? 1, x ? ? ? ?1? 2 9.已知 f ? x ?=? ,则 f ? ? ? 1 ?4? ? f ? x ? 1? ? 1, x ? ? ? 2

?7? f ? ??( ?6?



A. ?

1 6

B.

1 6

C.

5 6

D. ?

5 6

D. y ? 3x2 ? 8x ? 10 )

0] 上是增函数,若 f ? a ? ? f ? 2? , 10.函数 y ? f ? x ? 是 R 上的偶函数,且在 (??,

4.若奇函数 f ? x ? 在 ?3,7? 上是增函数,且最小值是 1,则它在 [?7, ?3] 上是( A.增函数且最小值是 ?1 C.减函数且最大值是 ?1 B.增函数且最大值是 ?1 D.减函数且最小值是 ?1

则实数 a 的取值范围是( A. a ? 2 C. ?2 ? a ? 2

) B. a ? ? 2 D. a ? ?2或a ? 2

5. 已知集合 P ? x | y ? x ? 1 , 集合 Q ? y | y= x ? 1 , 则 P 与 Q 的关系是 ( A. P ? Q C. P ? Q B. P ? Q D. P Q ? ?

?

?

?

?



11. 已知函数 f ? x ? ( x ? R) 满足 f ? x ? ? f (2 ? x) , 若函数 y= x2-2 x-3 与 y ? f ? x ? 图 像的交点为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,…, ( xm , ym ) ,则 A.0 B.m

?x ? (
i1

m

) D.4m

?? ? 6.设 F ? x ? ? f ? x ? ? f (? x) , x ? R ,若 ? ??, ? ? 是函数 F(x)的单调递增区间, 2? ?

C.2m

? ? g ? x ? , 若f ? x ? ? g ? x ? 12. 已知 f ? x ? ? 3-2 x ,g ? x ? ? x2-2x ,F ? x ?=? ,则 F ? x ? 的 ? ? f ? x ? , 若f ? x ? ? g ? x ?

最值是 (



A.最大值为 3,最小值 ?1 B.最大值为 7 ? 2 7 ,无最小值 C.最大值为 3,无最小值 D.既无最大值,又无最小值

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上) 13.函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域为________. 14.有 15 人进家电超市,其中有 9 人买了电视,有 7 人买了电脑,两种均买了的 有 3 人,则这两种都没买的有________人.
2] 则函数 f (3 ? 2 x) 的定义域为________. 15.若函数 f ? x ? 的定义域为 [ ?1,

18. (12 分)已知函数 f ? x ?=

2x ? 1 . x ?1

(1)判断函数 f ? x ? 在区间 [1, ??) 上的单调性,并用定义证明你的结论;
4] 上的最大值与最小值. (2)求该函数在区间 [1,

16.规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a?b ? ab ? a ? b ,a, b ? R ,若 1?k ? 3 , 则函数 f ? x ?=k ?x 的值域是________.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17. (10 分)已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 4? , B ? {x | ?6 ? x ? 6} . (1)求 A
B和A B;

(2)求 ?U B ; (3)定义 A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} ,求 A ? B , A ? ? A ? B ? .

19. (12 分) 已知全集 U=R, 集合 A={x|x≤ ? a ? 1}, B={x|x ? a+2}, C={x|x ? 0 或 x≥4}都是 U 的子集. 若? U ?A

B ? ? C ,问这样的实数 a 是否存在?若存在,求出 a 的取值范围;若不
20.(12 分)已知 a,b 为常数,且 a≠0,f(x)=ax ? bx,f(2)=0,方程 f(x)=x 有两个相等实根. (1)求函数 f(x)的解析式;
2] 时,求 f(x)的值域; (2)当 x ? [1,
2

存在,请说明理由.

(3)若 F(x)=f(x) ? f( ? x),试判断 F(x)的奇偶性,并证明你的结论.

21. (12 分)设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x;当 x>2 时,y
4) 且过点 A(2, 2) 的抛物线的一部分. =f(x)的图象是顶点为 P(3,

22. (12 分) 定义在 R 上的函数 f(x), 满足当 x>0 时, f(x)>1, 且对任意的 x, y? R ,

f ? y ? ,f(1)=2. 有 f ( x ? y)=f ? x ?·
(1)求 f(0)的值; (2)求证:对任意 x ? R ,都有 f(x)>0; (3)解不等式 f(3 ? 2x)>4.

(1)求函数 f(x)在 (??, ?2) 上的解析式; (2)在图中的直角坐标系中画出函数 f(x)的图象; (3)写出函数 f(x)的值域和单调区间.

2018-2019 学年必修一第一章训练卷 集合 与函数概念( 二) 答 案 一、选择题 1. 【答案】B
2, 3} ∴ A 【解析】∵集合 A ? {x | x ? 2<0} ? {x | x<2} , B ? {1,

故 f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ,即 f ?1? ? f ? 2? ? f (?1) .故选 B. 8. 【答案】B 【解析】 0 ? x ? 1 , y ? 9. 【答案】A
3 3 x , 1 ? x ? 2 , y ? 3 ? x .故选 B. 2 2

B ? ?1? ,故选 B.

2. 【答案】D 【解析】∵ M = ?1, 2? , M

1 1 1 1 ?1? ?7? ?7 ? ?1? 【解析】 f ? ? ? 2 ? ? 1 ? ? , f ? ? ? f ? ? 1? ? 1 ? f ? ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 1 ? , 4 2 6 3 ?4? ?6? ?6 ? ?6?

N = ?1, 2,3, 4? .

∴ N = ?3,4? 或?1,3,4? 或?2,3,4? 或?1,2,3,4? , 即集合 N 有 4 个.故选 D. 3. 【答案】D 【解析】显然 A、B 两项在 ? 0, 2 ? 上为减函数,排除;
2) 上为减函数,也不符合题意; 对 C 项,函数在 (??,

?1? ∴ f ? ?? ?4?

1 ?7? f ? ? ? ? ,故选 A. 6 6 ? ?

10. 【答案】D
0] 上是增函数, 【解析】∵ y ? f ? x ? 是偶函数,且在 (??,

∴ y ? f ? x ? 在 [0, ??) 上是减函数,由 f ? a ? ? f ? 2? ,得 f ? a ? ? f ? 2? , ∴ a ? 2 ,得 a ? ?2或a ? 2 ,故选 D. 11. 【答案】B 【解析】因为 y ? f ? x ? , y= x2-2 x-3 都关于 x ? 1 对称, 所以它们交点也关于 x ? 1 对称, 当 m 为偶数时,其和为 2 ? 因此选 B.
m m ?1 ? m ,当 m 为奇数时,其和为 2 ? ?1 ? m , 2 2

? 4 ? 对 D 项,函数在 ? ? , ?? ? 上为增函数,所以在 ? 0, 2 ? 上也为增函数,故选 D. ? 3 ?

4. 【答案】B 【解析】∵奇函数在对称区间上的单调性相同,最值相反. ∴ y ? f ? x ? 在 [?7, ?3] 上有最大值 ?1 且为增函数.故选 B. 5. 【答案】C 【解析】 P ? x | y ? x ? 1 ? ? ?1, ?? ? , Q ? y | y= x ? 1 ? ? 0, ?? ? , 所以 P ? Q .故选 C. 6. 【答案】B 【解析】∵ F (? x) ? F ? x ? ,∴ F ? x ? 是偶函数,
?? ? 因而在 ? , ? ? 上 F ? x ? 一定单调递减.故选 B. ?2 ?

?

?

?

?

12. 【答案】B 【解析】作出 F(x)的图象,如图实线部分, 知有最大值而无最小值,且最大值不是 3,故选 B.

7. 【答案】B 【解析】因为二次函数 f ? x ? f(x)的图象的对称轴为直线 x ? 1 ,所以 f (?1) ? f ? 3? . 又函数 f ? x ? f(x)的图象为开口向上的抛物线, 则 f ? x ? 在区间 [1, ??) 上为增函数,

二、填空题
4] 13. 【答案】 (??,

【解析】令 t ? 1 ? x ,则 x ? 1 ? t 2 ?t ? 0? ,
y ? 2x ? 4 1 ? x ? 2 ? 2t 2 ? 4t ? ?2(t ? 1)2 ? 4 .

4] . 又∵ t ? 0 ,∴当 t ? 1 时, ymax ? 4 .故原函数的值域是 (??,

则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

14. 【答案】2 【解析】结合 Venn 图可知,两种都没买的有 2 人.

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 x1 ? x2 . ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?

易知 x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ,所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 所以函数 f ? x ? 在 [1, ??) 上是增函数.
4] 上是增函数, (2)由(1)知函数 f ? x ? 在 [1,

?1 ? 15. 【答案】 ? , 2 ? ?2 ?

则函数 f ? x ? 的最大值为 f ? 4 ? ?

9 3 ,最小值为 f ?1? ? . 2 5

1 ?1 ? 【解析】由 ?1 ? 3 ? 2 x ? 2 解得 ? x ? 2 ,故定义域为 ? , 2 ? . 2 ?2 ?

3? ? 19. 【答案】存在, ?a | a ? ? ? . 2? ?

16. 【答案】 (1, ??) 【解析】由题意, 1?k ? 1? k ? 1 ? k ? 3 ,得 k ? 1 . f ? x ? ? 1?x ? 1 ? x ? 1 ? x ,
1? 3 1? 3 ? ? 即 f ? x ? ? x ? x ? 1 ? ? x ? ? ? ,由于 x ? 0 ,∴ ? x ? ? ? ? 1 , 2? 4 2? 4 ? ?
2 2

【解析】因为 ? U ?A (1)若 ? U ?A (2)若 ? U ?A

B ? ? C ,所以应分两种情况.

3 B ? ?? ,则 A∪B=R,因此 a ? 2≤ ? a ? 1,即 a≤ ? . 2 3 B ? ? ? ,则 a ? 2 ? ? a ? 1,即 a ? ? . 2

因此函数 f ? x ? 的值域为 (1, ??) . 三、解答题 17. 【答案】 (1) A
B ? {x | 4 ? x ? 6} , A

又 A∪B={x|x≤ ? a ? 1 或 x ? a ? 2}, 所以 ? U ? A B ? ? {x | ?a ? 1 ? x ? a ? 2} ,

B ? ?x | x ? ?6? ;

又? U ?A

B ? ? C ,所以 a ? 2 ? 0 或 ? a ? 1≥4,

即 a ? ?2 或 a≤ ? 5,即 a ? ?2 .
3 又 a ? ? ,故此时 a 不存在. 2
3? ? 综上,存在这样的实数 a,且 a 的取值范围是 ?a | a ? ? ? . 2? ?

(2) ? U B ? {x | x ? 6或x ? ?6} ; (3) A ? B ? A

??U B? ? {x | x ? 6} , A ? ? A ? B ? ? {x | 4 ? x ? 6} .

【解析】 (1)∵ A ? ? x | x ? 4? , B ? {x | ?6 ? x ? 6} ∴A
B ? {x | 4 ? x ? 6} , A

B ? ?x | x ? ?6? .

1 2 ? 1? 20. 【答案】 (1)f(x)= ? x ? x; (2) ? 0, ? ; (3)F(x)是奇函数,见解析. 2 ? 2?

(2) ? U B ? {x | x ? 6或x ? ?6} . (3)∵定义 A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} , ∴ A? B ? A

【解析】 (1)由 f(2)=0,得 4a ? 2b=0,即 2a ? b=0.① 方程 f(x)=x,即 ax ? bx=x,即 ax ? (b ? 1)x=0 有两个相等实根,
2 2

??U B? ? {x | x ? 6} , A ? ? A ? B ? ? {x | 4 ? x ? 6} .

1 且 a≠0,∴b ? 1=0,∴b=1,代入①得 a= ? . 2 1 2 ∴f(x)= ? x ? x. 2 1 1 2 2] 上是减函数, (2)由(1)知 f(x)= ? (x ? 1) + .显然函数 f(x)在 [1, 2 2

9 3 18. 【答案】 (1)增函数,见解析; (2) , . 2 5

【解析】 (1)函数 f ? x ? 在 [1, ??) 上是增函数. 证明:任取 x1 , x2 ? [1, ??) ,且 x1 ? x2 ,

∴x=1 时,f(x)max=

1 ,x=2 时,f(x)min=0. 2

所以 f(0)≠0,因此 f(0)=1.

? 1? 2] 时,函数 f(x)的值域是 ? 0, ? . ∴ x ? [1, ? 2?

x x ? x? ? x? ? (2)证明:对任意 x ? R ,有 f ( x) ? f ( ? ) ? f ? ?· f ? ???f 2 2 ?2? ?2? ?
假设存在 x0 ? R ,使 f(x0)=0, 则对任意 x>0,有 f(x)=f[(x ? x0)+x0]=f(x ? x0)·f(x0)=0.

? x ?? ? ?? ? 0 . ? 2 ??

2

(3)F(x)是奇函数.
? 1 ? ? 1 ? 证明: F ? x ? ? f ? x ? ? f (? x) ? ? ? x 2 ? x ? ? ? ? (? x) 2+(? x) ? ? 2 x , 2 2 ? ? ? ?

这与已知 x>0 时,f(x)>1 矛盾.所以,对任意 x ? R ,均有 f(x)>0 成立. (3)令 x=y=1 有 f(1 ? 1)=f(1)·f(1), 所以 f(2)=2×2=4.任取 x1,x2 ? R ,且 x1<x2, 则 f(x2) - f(x1) = f[(x2 ? x1) + x1] ? f(x1) = f(x2 ? x1)·f(x1) ? f(x1) =

∵F( ? x)=2( ? x)= ? 2x= ? F(x),∴F(x)是奇函数. 21. 【答案】 (1) f ? x ?=-2( x ? 3)2 ? 4 , x ? (??, ?2) ; (2)见解析;
3] .单调减区间为 [ ?3, 0] 和 [3, ??) . (3){y|y≤4},单调增区间为 (??, ?3] 和 [0,

f(x1)·[f(x2 ? x1) ? 1].
∵x1<x2,∴x2 ? x1>0,由已知 f(x2 ? x1)>1,∴f(x2 ? x1) ? 1>0. 由(2)知 x1 ? R ,f(x1)>0.所以 f(x2) ? f(x1)>0,即 f(x1)<f(x2). 故函数 f(x)在 (??, ??) 上是增函数. 由 f(3 ? 2x)>4,得 f(3 ? 2x)>f(2),即 3 ? 2x>2.解得 x<
1? ? 所以,不等式的解集是 ? ??, ? . 2? ?

【解析】 (1)当 x>2 时,设 f(x)=a(x ? 3) ? 4. ∵f(x)的图象过点 A(2,2),∴f(2)=a(2 ? 3) ? 4=2,∴a= ? 2, ∴ f ? x ?=-2(?x ? 3) ? 4 .
2
2

2

设 x ? (??, ?2) ,则 ? x>2,∴ f ? ?x ?=-2(?x ? 3)2 ? 4 . 又因为 f(x)在 R 上为偶函数,∴f( ? x)=f(x), ∴ f ? x ?=-2(?x ? 3)2 ? 4 , 即 f ? x ?=-2( x ? 3)2 ? 4 , x ? (??, ?2) . (2)图象如图所示.

1 . 2

(3)由图象观察知 f(x)的值域为{y|y≤4}.
3] .单调减区间为 [ ?3, 0] 和 [3, ??) . 单调增区间为 (??, ?3] 和 [0,

1? ? 22. 【答案】 (1)1; (2)见解析; (3) ? ??, ? . 2? ?

f ? y? . 【解析】 (1)对任意 x,y ? R , f ( x ? y)=f ? x ?·
令 x=y=0,得 f(0)=f(0)·f(0),即 f(0)·[f(0) ? 1]=0. 令 y=0,得 f(x)=f(x)·f(0),对任意 x ? R 成立,


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