2019人教版 高中数学【选修 2-1】习题:314空间向量的正交分解及其坐标表示


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课时作业 21 空间向量的正交分解及其坐标表 示
时间:45 分钟 分值:100 分
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.在以下三个命题中,真命题的个数是( ) ①三个非零向量 a、b、c 不能构成空间的一个基底,则 a、b、c 共面; ②若两个非零向量 a、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个 基底,则 a、b 共线; ③若 a、b 是两个不共线的向量,而 c=λa+μb(λ、μ∈R 且 λμ≠0), 则{a,b,c}构成空间的一个基底. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①正确.基底的量必须不共面;②正确;③不对,a,b 不共线.当 c=λa+μb 时,a、b、c 共面,故只有①②正确. 答案:C 2.正方体 ABCD—A′B′C′D′,O1,O2,O3 分别是 AC, AB′,AD′的中点,以{A→O1,A→O2,A→O3}为基底,AC→′=xA→O1+ yA→O2+zA→O3,则 x,y,z 的值是( ) A.x=y=z=1 B.x=y=z=21

C.x=y=z=

2 2

D.x=y=z=2

解析:AC→′=A→B+BC→′=A→B+BB→′+B→C=A→B+A→A′+A→D=

12(A→B+A→D)+12(A→B+AA→′)+12(AA→′+A→D)=12A→C+12AB→′+12AD→′

=A→O1+A→O2+A→O3,对比A→C′=xA→O1+yA→O2+zA→O3得 x=y=z=1. 答案:A

3.若{e1,e2,e3}是空间的一个基底,又 a=e1+e2+e3,b=e1 +e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=xa+yb+zc,则 x,y, z 分别为( )

A.52,-1,-12 B.52,1,12

C.-52,1,-12 D.52,1,-12

解析:xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1+e2-e3)+z(e1-e2+e3) =(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3=e1+2e2+3e3,

??x+y+z=1, 由空间向量基本定理,得?x+y-z=2,
??x-y+z=3,

∴x=52,

y=-1,z=-21. 答案:A 4.点 M(-1,3,-4)在坐标平面 xOy、xOz、yOz 内的射影的坐 标分别是( ) A.(-1,3,0)、(-1,0,-4)、(0,3,-4) B.(0,3,-4)、(-1,0,-4)、(0,3,-4) C.(-1,3,0)、(-1,3,-4)、(0,3,-4)

D.(0,0,0)、(-1,0,0)、(0,3,0) 答案:A 5.若向量M→A、M→B、M→C的起点与终点 M、A、B、C 互不重合 且无三点共线,且满足下列关系(O 是空间任一点),则能使向量M→A、 M→B、M→C成为空间一组基底的关系是( ) A.O→M=13O→A+31O→B+13O→C B.M→A≠M→B+M→C C.O→M=O→A+O→B+O→C D.M→A=2M→B-M→C 解析:A 中 M、A、B、C 共面,因13+31+13=1;B 中可能共面, M→A≠M→B+M→C,但可能M→A=λM→B+μM→C;D 不对,∵M→A=2M→B- M→C,∴四点共面,故选 C. 答案:C 6.已知点 A 在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j, b=j+k,c=k+i,则点 A 在基底{i,j,k}下的坐标是( ) A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,12,10) D.(4,3,2) 解析:O→A=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+ 10k. 答案:A 二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 7.设 a,b,c 是三个不共面向量,现从①a-b,②a+b-c 中

选出一个使其与 a,b 构成空间的一个基底,则可以选择的向量为 ________(填写代号).
解析:①∵a-b 与 a,b 共面 ∴a-b 与 a,b 不能构成空间的一个基底 ②∵a+b-c 与 a,b 不共面 ∴a+b-c 与 a,b 构成空间的一个基底. 答案:② 8.{a,b,c}为空间的一个基底,且存在实数 x,y,z 使得 xa+ yb+zc=0,则 x=________,y=________,z=________. 解析:若 x,y,z 中存在一个不为 0 的数,不妨设 x≠0,则 a =-xyb-xzc,∴a,b,c 共面.这与{a,b,c}是基底矛盾,故 x=y =z=0. 答案:0 0 0 9.已知四面体 ABCD 中,A→B=a-2c,C→D=5a+6b-8c,对角 线 AC,BD 的中点分别为 E,F,则E→F=________.
图1 解析:如图 1 所示,取 BC 的中点 G,连结 EG,FG,则E→F=G→F -G→E=21C→D-12B→A=12C→D+21A→B=12(5a+6b-8c)+21(a-2c)=3a+3b -5c.

答案:3a+3b-5c 三、解答题(共 40 分)
图2 10.(10 分)如图 2 所示,M,N 分别是四面体 OABC 的边 OA, BC 的中点,P,Q 是 MN 的三等分点,用向量O→A,O→B,O→C表示O→P 和O→Q. 解:O→P=O→M+M→P=21O→A+23M→N=21O→A+23(O→N-O→M)=12O→A+23 (O→N-21O→A)=16O→A+32×12(O→B+O→C)=61O→A+13O→B+31O→C;O→Q=O→M+ M→Q=12O→A+13M→N=12O→A+13(O→N-O→M)=21O→A+13(O→N-12O→A)=13O→A +13×12(O→B+O→C)=13O→A+16O→B+16O→C. 11.(15 分)如图 3 所示,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,O, O1 分别为底面 ABCD、底面 A1B1C1D1 的中心,AB=6,AA1=4,M 为 B1B 的中点,N 在 C1C 上,且 C1N NC=

图3 (1)若以 O 为原点,分别以 OA,OB,OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,求图 3 中各点的坐标. (2)若以 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,求图 3 中各点的坐标. 解:(1)正方形 ABCD 中,AB=6,∴AC=BD=6 2,从而 OA =OC=OB=OD=3 2, ∴各点坐标分别为 A(3 2,0,0),B(0,3 2,0),C(-3 2,0,0), D(0,-3 2,0),O(0,0,0),O1(0,0,4),A1(3 2,0,4),B1(0,3 2,4), C1(-3 2,0,4),D1(0,-3 2,4),M(0,3 2,2),N(-3 2,0,3). (2)同理,A(6,0,0),B(6,6,0),C(0,6,0),D(0,0,0),A1(6,0,4),B1(6,6,4), C1(0,6,4),D1(0,0,4),O(3,3,0),O1(3,3,4),M(6,6,2),N(0,6,3).
12.(15 分)已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,且O→P=2e1-e2 +3e3,O→A=e1+2e2-e3,O→B=-3e1+e2+2e3,O→C=e1+e2-e3.
(1)判断 P、A、B、C 四点是否共面; (2)能否以{O→A,O→B,O→C}作为空间的一个基底?若不能,说明 理由;若能,试以这一基底表示向量O→P. 解:(1)假设四点共面,则存在实数 x、y、z 使O→P=xO→A+yO→B+

zO→C,且 x+y+z=1,

即 2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2- e3),比较对应项的系数,得到关于 x、y、z 的方程组

???x2-x+3yy++zz==-2,1, ??-x+2y-z=3,

解得???xy==-175,, ??z=-30,

与 x+y+z=1 矛盾,故四点不共面;

(2)若向量O→A、O→B、O→C共面,则存在实数 m、n 使O→A=mO→B+

nO→C,同(1)可证,这不可能,因此{O→A,O→B,O→C}可以作为空间的一

个基底.令O→A=a,O→B=b,O→C=c,

由 e1+2e2-e3=a,-3e1+e2+2e3=b,e1+e2-e3=c,联立得到 方程组,从中解得

??e1=3a-b-5c, ?e2=a-c, ??e3=4a-b-7c.

所以O→P=17O→A-5O→B-30O→C


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