2016_2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法课件新人教A版选修2_2201


2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 自主学习 新知突破 1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本 方法——综合法和分析法. 2.了解综合法、分析法的思考过程、特点. 3.会综合运用综合法、分析法解决数学问题. 1.阅读下列例题: 例:若实数a,b满足a+b=4,证明2a+2b≥8. 证明: ∵2a+2b≥2 2a· 2b=2 2a+b, 又∵a+b=4,∴2a+2b≥2 24=8, ∴2a+2b≥8. [问题1] 本题利用什么公式证明的? [提示1] 基本不等式. [问题2] 本题的证明顺序是什么? [提示2] 从已知到结论. 2.求证: 3+2 2<2+ 7. 证明: 要证明 3+2 2<2+ 7, 由于 3+2 2>0,2+ 7>0, 只需证明( 3+2 2)2<(2+ 7)2, 展开得 11+4 6<11+4 7,只需证明 6<7, 显然 6<7 成立. ∴ 3+2 2<2+ 7成立. [问题1] 本题证明从哪里开始? [提示1] 从结论开始. [问题2] 证题思路是什么? [提示2] 寻求上一步成立的充分条件. 综合法 1.综合法的定义 已知条件 和 某 些 数 学 _________ 定理 、 利 用 ___________ 、 ________ 定义 推理论证 ,最后推导出所要证 公理 _________ 等,经过一系列的 __________ 结论 明的__________ 成立,这种证明方法叫做综合法. 2.综合法的框图表示 P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →…→ Qn?Q 已知条件 、 已 有 的 _________ 定义 定理 (P 表 示 __________ 、 __________ 、 公理 所要证明的结论 __________ 等,Q表示________________) 1.综合法证明问题的步骤 第一步:分析条件,选择方向.仔细分析题目的已知条件 (包括隐含条件 ),分析已知与结论之间的联系与区别,选择相 关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法. 第二步:转化条件,组织过程.把题目的已知条件,转化 成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间 的转化.组织过程时要有清晰的思路,严密的逻辑,简洁的语 言. 第三步:适当调整,回顾反思.解题后回顾解题过程,可 对部分步骤进行调整,有些语言可做适当的修饰,反思总结解 题方法的选取. 分析法 1.分析法的定义 充分条件 , 结论出发 ,逐步寻求使它成立的_________ 从要证明的_________ 直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分 析法. 2.分析法的框图表示 得到一个明显 Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →…→ 成立的条件 2.应用分析法证明问题的模式 用分析法证明命题“若P,则Q”时的模式如下: 为了证明命题Q为真, 只需证明命题P1为真,从而有… 只需证明命题P2为真,从而有… … 只需证明命题P为真,而已知P为真,故Q必为真. 1.用分析法证明:欲使①A>B,只需②C<D,这里②是 ①的( ) B.必要条件 A.充分条件 C.充要条件 答案: A D.即不充分也不必要条件 解析: ②?①,∴②是①的充分条件. 2.下面叙述正确的是( ) A.综合法、分析法是直接证明的方法 B.综合法是直接证法,分析法是间接证法 C.综合法、分析法所用语气都是肯定的 D.综合法、分析法所用语气都是假定的 解析: 直接证明包括综合法和分析法. 答案: A a2+b2 3.将下面用分析法证明 2 ≥ab 的步骤补充完整:要证 a2+b2 2 2 ≥ ab ,只需证 a + b ≥2ab ,也就是证 ________ ,即证 2 ________,由于________显然成立,因此原不等式成立. 解析: a2+b2 a2+b2 用分析法证明 2 ≥ab 的步骤为:要证 2 ≥ab 成立,只需证 a2+b2≥2ab,也就是证 a2+b2-2ab≥0,即 证(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0 显然成立,所以原不等式成立. 答案: a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0 4 .已知 a , b , c , d∈R ,求证: (ac + bd)2≤(a2 + b2)(c2 + d2). 证明: ∵左边=a2c2+2abcd+b2d2 ≤a2c2+(a2d2+b2c2)+bbd2 =(a2+b2)(c2+d2)=右边, ∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 合作探究 课堂互动 综合法的应用 1 1 已知 a,b>0,且 a+b=1,求证:a+b≥4. [思路点拨] 出结论. 证明: 由已知条件出发,结合基本不等式,即可得 证法一:∵a,b∈R+,且 a+b=1, ∴a+b≥2 ab, 1 ∴ ab≤2, 1 1 a+b 1 ∴a+b= ab =ab≥4. 证法二:∵a,b∈R+, 1 1 ∴a+b≥2 ab>0,a+b≥2 ?1 1? ∴(a+b)?a+b?≥4, ? ? 1 ab>0, 又 a+b=1, 1 1 ∴a+b≥4. 证法三:∵a,b∈R , 1 1 a+b a+b ∴a+b= a + b b a =1+a+b+1≥2+2 ab b· a=4, + 当且仅当 a=b 时,取“=”号. 1. 综合法是数学证明中最常用的一种方 法,本题巧妙地应用了“1”的代换及基本不等式. 2.综合法证明不等式常用 “ 两个正数的算术平均数不小 于它们的几何平均数”这一结论,运用时要结合题目条件,有 时要适当变形. 3.综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质 和已知的重要不等式,其中常用的有如下几个: (1)a2≥0(a∈R).

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