2011届高考二轮复习(全国通用)数学学案---数列专题(教师版全套)


数列
【学法导航】 (一)方法总结 1. 求数列的通项通常有两种题型:一是根据所给的一列数,通过观察求通项;一是根据递 推关系式求通项 2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通 常有化归等比数列和可裂项的形式。 3. 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多 个知识点交融的题,这应是命题的一个方向 (二)复习建议 在进行数列二轮复习时,建议可以具体从以下几个方面着手: 1.运用基本量思想(方程思想)解决有关问题; 2.注意等差、等比数列的性质的灵活运用; 3.注意等差、等比数列的前 n 项和的特征在解题中的应用; 4.注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式; 5.根据递推公式,通过寻找规律,运用归纳思想,写出数列中的某一项或通项,主要需注 意从等差、等比、周期等方面进行归纳; 6.掌握数列通项 an 与前 n 项和 Sn 之间的关系; 7.根据递推关系,运用化归思想,将其转化为常见数列; 8.掌握一些数列求和的方法 (1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和(4)倒序相加法(5)公式法。 9.以等差、等比数列的基本问题为主,突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数 列与几何等的综合应用. 【专题综合】 1. 等差、等比数列的概念与性质 例 1. 已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足: a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22. (1)求通项 an ; (2)若数列 {bn } 是等差数列,且 bn ? 解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d

Sn ,求非零常数 c ; n?c

由题意得: ?

?(a1 ? 2d )(a1 ? 3d ) ? 117 ?2a1 ? 5d ? 22

? a1 ? 1 ? ?d ? 4

或 ?

?a1 ? 21 (舍去) ? d ? ?4

所以: an ? 4n ? 3 (2) S n ? 由于

n(1 ? 4n ? 3) ? 2n 2 ? n 2


Sn 是一等差数列 n?c

Sn ? an ? b 对一切自然数 n 都成立 n?c

即: 2n 2 ? n ? (n ? c)(an ? b) ? an2 ? (ac ? b)n ? bc

?a ? 2 ? ?ac ? b ? ?1 ?bc ? 0 ?
所以 c ? ?

? ?a ? 2 ? ?b ? 0 ? 1 ?c ? ? 2 ?



?a ? 2 ? ?b ? ?1 (舍去) ?c ? 0 ?

1 2

点评:本题考查了等差数列的基本知识,第二问,判断数列是等差数列的条件,要抓住它的 特征,充分应用等差数列的判断条件,转化为恒成立问题。 例 2.设数列{an}和{bn}满足 a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列{an+1-an }(n∈N*)是等差 数列,数列{bn-2}(n∈N*)是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)是否存在 k∈N*,使 ak-bk∈(0,

1 )?若存在,求出 k;若不存在,说明理由. 2

解 : ( 1 ) 由 题 意 得 : an?1 ? an ? (a2 ? a1 ) ? (n ? 1)?(a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 )? = ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 3 所以

an ? an?1 ? (n ? 4) ? an?2 ? (n ? 5) ? (n ? 4) ? ?
? a1 ? (?2) ? (?1) ? 0 ? ? ? (n ? 5) ? (n ? 4) ? 6 ? (?2) ? (?1) ? 0 ? ? ? (n ? 5) ? (n ? 4) (n ? 1)?(?2) ? (n ? 4)? 1 2 7 ? 6? ? n ? n?9 2 2 2
(n ? 2)

上式对 n ? 1 也成立 所以

an ?

1 2 7 n ? n?9 2 2

bn ? 2 ? (b1 ? 2)(
所以

b2 ? 2 n?1 2 1 ) ? 4 ? ( ) n?1 ? ( ) n?3 b1 ? 2 4 2

1 bn ? 2 ? ( ) n ?3 2
k ?3

1 7 ?1? (2) ck ? ak ? bk ? k 2 ? k ? 9 ? 2 ? ? ? 2 2 ? 2?
当 k ? 1,2,3 时 当k ? 4时

?

1 2 7 1 k ? k ? 7 ? ( ) k ?3 2 2 2

ck ? 0
1? 7 7? 1 1? 7 7? 1 1 (k ? ) 2 ? ? ? ( ) k ?3 ? ?(4 ? ) 2 ? ? ? ( ) 4?3 ? ? 2? 2 4? 2 2? 2 4? 2 2 ? ? 1? 2?

ck ?

故不存在正整数 k 使 a k ? bk ? ? 0, ? 2. 求数列的通项与求和 例 3.(2008 江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ?????? 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 解:前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1)个,即

n2 ? n 个,因此第 n 行第 3 个 2

n2 ? n n2 ? n ? 6 数是全体正整数中第 +3 个,即为 . 2 2
点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式,难点在于求出数列的通项,解决此题 需要一定的观察能力和逻辑推理能力
x 例 4.(2009 年广东卷文)已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,

1 3

等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足

Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

(2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1 1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?
x

解: (1) Q f ?1? ? a ?

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?
Q Sn ? Sn?1 ?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009
1 ,公比 q 满足 3

3. 数列与不等式的联系 例 5. (2009届高三湖南益阳)已知等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ?

q ? 0且q ? 1。又已知 a1 , 5a3 , 9a5 成等差数列。

(1)求数列 ?an ? 的通项 (2)令 bn ? log3 a n ,求证:对于任意 n ? N ,都有 (1)解:∵ 2 ? 5a3 ? a1 ? 9a5 ∵ q ? 0且q ? 1
1
1
?

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ?1 2 b1b2 b2b3 bnbn ?1
∴ 9q4 ?10q2 ? 1 ? 0

∴ 10a1q2 ? a1 ? 9a1q4

∴q ?

1 3

∴ an ? a1qn?1 ? 3? n ,

(2)证明:∵ bn ? log3 an ? log3 3n ? n

1 1 1 1 ? ? ? bnbn?1 n(n ? 1) n n ? 1



1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? 1? ? ? ??? ? ? 1? b1b2 b2b3 bnbn?1 2 2 3 n n ?1 n ?1

1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? ?1 2 b1b2 b2b3 bnbn?1
点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(2)问,采 用裂项相消法法,求出数列之和,由 n 的范围证出不等式 例6、(2008 辽宁理) 在数列 | an | , | bn | 中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an ?1 成等差数列,

bn,an?1,bn?1 成等比数列( n ? N* )
(1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测 | an | , | bn | 的通项公式,并证明你的结论; (2)证明:

1 1 1 5 ? ?…? ? . a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

2 解: (Ⅰ)由条件得 2bn ? an ? an?1 ,an ?1 ? bnbn?1 由此可得

a2 ? 6,b2 ? 9,a3 ? 12,b3 ? 16,a4 ? 20,b4 ? 25 .
猜测 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1)2 . 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即

ak ? k (k ? 1),bk ? (k ? 1)2 ,那么当 n=k+1 时,

ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2(k ? 1)2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2),bk ?1 ?
所以当 n=k+1 时,结论也成立.

2 ak ?2 ? (k ? 2) 2 . bk

由①②,可知 an ? n(n ? 1),bn (n ?1)2 对一切正整数都成立. (2)

1 1 5 ? ? . a1 ? b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2(n ? 1)n .


1 1 1 1 1? 1 1 1 ? ? ? …? ? ? ? ? ? …? ? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 6 2 ? 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) ?
1 1?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?…? ? ? 6 2?2 3 3 4 n n ?1 ? 1 1?1 1 ? 1 1 5 ? ? ? ?? ? ? 6 2 ? 2 n ? 1 ? 6 4 12

?

?

综上,原不等式成立. 点评:本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运 用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力. 4. 数列与函数、概率等的联系 例 7.(2007江西理)将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的 概 率 A. D. 解:一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 的 有 6 个;(2)公差为 1 或-1 的有 8 个;(3)公差为 2 或-2 的有 4 个,共有 18 个, 成等差数列的概率为 ,选 B 个,其中为等差数列有三类:(1)公差为 0 为 ( B. C. )

点评:本题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面,有采取分类讨论,分类时要 做到不遗漏,不重复。

例 8. 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 对 一 切 正 整 数 n , 点 Pn (n, S n ) 都 在 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2x 的图像上,且过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n .
(1)求数列 {an } 的通项公式. (2)若 bn

? 2 kn an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

? ? ( 3 ) 设 Q ? {x x ? k n , n ? N }, R ? {x x ? 2a n , n ? N } , 等 差 数 列 {cn } 的 任 一 项

cn ? Q ? R ,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数, 110 ? c10 ? 115,求 {cn } 的通项公式.
解: (1)? 点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,? Sn ? n2 ? 2n(n ? N * ) ,
2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1. 当n=1 时, a1 ? S1 ? 3 满足上式,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. (2)由 f ( x) ? x 2 ? 2 x 求导可得 f‘ ( x) ? 2x ? 2

? 过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n ,? kn ? 2n ? 2 .

?bn ? 2kn an=4 ? (2n ? 1) ? 4n . ? Tn ? 4 ? 3 ? 41 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ? ???+4 ? (2n ? 1) ? 4n ①
由①×4,得

4Tn ? 4 ? 3 ? 42 ? 4 ? 5 ? 43 ? 4 ? 7 ? 44 ? ???+4 ? (2n ? 1) ? 4n?1 ②
① ② 得 :
2 3 n n ?1 ? ?3Tn ? 4 ? ?3 ? 4 ? 2 ? ? 4 ? 4 ? ? ? ?+4 ? -(2n ? 1) ? 4 ?

2 ? ? 4( 1 ? 4n?1) ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? -(2n ? 1) ? 4n?1 ? 1? 4 ? ?

? Tn ?

6n ? 1 n ? 2 16 ?4 ? 9 9

? ? (3)? Q ? {x x ? 2n ? 2, n ? N }, R ? {x x ? 4n ? 2, n ? N } ,? Q ? R ? R .

又? cn ? Q ? R ,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数,? c1 ? 6 .

??cn ? 是公差是 4 的倍数,?c10 ? 4m ? 6(m ? N * ) .

又?110 ? c10 ? 115 ,? ? 所以 c10 ? 114 ,

?110 ? 4m ? 6 ? 115 ?m ? N
*

,解得m=27.

设等差数列的公差为 d ,则 d=

c10 ? c1 114 ? 6 = =12, 10 ? 1 9

? cn ? 6 ? (n ? 1) ?12 ? 12n ? 6 ,所以 ?cn ? 的通项公式为 cn ? 12n ? 6
【专题突破】 一、选择题 1 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? ( A )

?4

B

?6

C

?8

D

?10

2 设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 A

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
1 2



1

B

?1
x

C
x

2

D

3 若 lg 2, lg(2 ? 1), lg(2 ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于( A



1

B

0 或 32

C

32

D

log2 5


4 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q ,则 q 的取值范围是( A

(0,

1? 5 ) 2

B

1? 5 ( ,1] 2

C

[1,

1? 5 ) 2

D

(

?1? 5 1? 5 , ) 2 2
1 为 3

5

在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差 , tan B 是以 )

第三项, 9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( A 钝角三角形 6 B 锐角三角形

C 等腰直角三角形

D 以上都不对

在 等 差 数 列 ?a n ? 中 , 设 S1 ? a1 ? a2 ? ... ? an , S 2 ? an?1 ? an?2 ? ... ? a2n , ) D 都不对

S3 ? a2n?1 ? a2n?2 ? ... ? a3n ,则 S1 , S 2 , S3 , 关系为(
A 等差数列 B 等比数列

C 等差数列或等比数列

7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 OB ? a1 OA ? a200 OC ,且 A、B、C 三点共线 (该直线不过原点 O) ,则 S200=( )

A.100

B.101

C.200

D.201

8.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则 Sn 等 于( )A. 2
n ?1

?2

B. 3n

C. 2 n

D. 3 ? 1
n

9.设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f ( n) 等于( A.



2 n (8 ? 1) 7

B.

2 n ?1 (8 ? 1) 7

C.

2 n ?3 (8 ? 1) 7

D.

2 n?4 (8 ? 1) 7

10.弹子跳棋共有 60 棵大小相同的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体球垛,使剩下 的弹子尽可能的少,那么剩下的弹子有( A.3 B.4 ) C.8 D.9

11.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n ,称 Tn 为数列 a1 , a2 ,??, n

,已知数列 a1 , a2 ,??, a500 的“理想数”为 2004,那么数列 2, a1 , an 的“理想数”

a2 ,??, a500 的“理想数”为(
A.2002 B.2004

) C.2006 D.2008 )

12. 已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ? N* 满足 a p?q ? a p ? aq , 且 a2 ? ?6 , 那么 a10 等于 ( A. ?165 二、填空题 B. ?33 C. ?30 D. ?21

Sn 13.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4-a2=8,a3+a5=26,记 Tn= 2,如果存在正整数 n

M,使得对一切正整数 n,Tn≤M 都成立.则 M 的最小值是__________.
14.无穷等比数列{an}中,a1>1,|q|<1,且除 a1 外其余各项之和不大于 a1 的一半,则 q 的取值范围是________. (a+b) 15.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 的最小 cd 值是________. 16 . 在 等 差 数 列 ?a n ? 中 , 公 差 d ?
2

1 , 前 100 项 的 和 S100 ? 45 , 则 2

a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 =_____________
三、解答题

17. 设

为 等 比 数 列 , Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? (n ? 2)a3 ? ? ? 2an?1 ? an , 已 知

T1 ? 1,T2 ? 4 。

(1)求数列{an}的首项和公比; (2)求数列

的通项公式。

18. 已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1. (1) 写出数列 ?an ?的前三项 a1 , a2 , a3 ; (2) 求证数列 ?a n ?

? ?

2 ? (?1) n ? 为等比数列,并求出 ?an ?的通项公式. 3 ?
n?2 n

19. 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= 证明: (1)数列{
Sn }是等比数列; (2)Sn+1=4an. n

Sn(n=1,2,3,?).

20. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (1)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (2)求数列 {an } 的通项公式。 21. 已知数列{an}中 a1=2,an+1=( 2-1)( an+2),n=1,2,3,?. (1)求{an}的通项公式; 3bn+4 (2) 若数列{an}中 b1=2, bn+1= , n=1, 2, 3, ?.证明: 2<bn≤a4n?3, n=1, 2, 3, ? 2bn+3 22.
3


3




3


2

?an ?





an ? 0









n? N?

,



a1 ? a2 ? ? ? an ? S n , a1 ? a2 ? ? ? an ? S n ,
(1)求证:对一切 n ? N 有an?1 ? an?1 ? 2S n
2 ?

(2)求数列 ?an ? 通项公式. (3)求证:

1 2 3 n ? 2 ? 2 ??? 2 ? 3 2 a1 a2 a3 an
专题突破参考答案

一、选择题 1 B

a1a4 ? a32 ,(a2 ? 2)(a2 ? 4) ? (a2 ? 2)2 , 2a2 ? ?12, a2 ? ?6
S9 9a5 9 5 ? ? ? ?1 S5 5a3 5 9

2

A

3

D

lg 2 ? lg(2x ? 3) ? 2lg(2x ?1), 2(2x ? 3) ? (2x ?1)2

(2x )2 ? 4 ? 2x ? 5 ? 0, 2x ? 5, x ? log2 5
?a ? aq ? aq 2 ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ? ? 设三边为 a, aq, aq 2 , 则 ?a ? aq 2 ? aq ,即 ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ?aq ? aq 2 ? a ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ? ?

4

D

?1 ? 5 1? 5 ?q? ? 2 2 ? ?1 ? 5 1? 5 ? 得 ?q ? R ,即 ?q? 2 2 ? ? 1 ? 5 ? 1 ? 5 ?q ? , 或q ? ? 2 2 ? 1 5 B a3 ? ?4, a7 ? 4, d ? 2, tan A ? 2, b3 ? , b6 ? 9, q ? 3, tan B ? 3 3
tan C ? ? tan( A ? B) ? 1 , A, B, C 都是锐角
6 A

S1 ? Sn , S2 ? S2n ? Sn , S3 ? S3n ? S2n , Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , 成等差数列

7.A. 依题意,a1+a200=1,故选 A. 8.C.因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则

(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1
即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C. 9.D. f(n)=

2[1 ? 23( n?1) ] 2 n? 4 ? (8 ? 1) ,选 D. 1 ? 23 7

10.B. 正四面体的特征和题设构造过程,第 k 层为 k 个连续自然数的和,化简通项再裂
2 项 用 公 式 求 和 . 依 题 设 第 k 层 正 四 面 体 为 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? k ?k ? 1? ? k ? k , 则 前 k 层 共 有

2

2

1 2 1 k ?k ? 1??k ? 2 ? 1 ? 2 2 ? L ? k 2 ? ?1 ? 2 ? ? k ? ? ? 60 2 2 6 ,k 最大为 6,剩 4,选 B.

?

?

11.A.认识信息,理解理想数的意义有,

2004 ?

500a1 ? 499a 2 ? 498a3 ? ? ? a500 501? 2 ? 500a1 ? 499a 2 ? 498a3 ? ? ? a500 ,? ? 2002,选 A. 500 501

12.C.由已知 a4 = a2 + a2 = -12, a8 = a4 + a4 =-24, 二、填空题

a10 = a8 + a2 = -30,选 C.

13.2 解析:由 a4-a2=8,可得公差 d=4,再由 a3+a5=26,可得 a1=1,故 Sn=n+2n(n 2n-1 1 2 -1)=2n -n,∴Tn= =2- ,要使得 Tn≤M,只需 M≥2 即可,故 M 的最小值为 2,

n

n

答案:2 1 14.(-1,0?∪(0, ? 3 a1q a1 1 1 解析: ≤ ?q≤ ,但|q|<1,且 q≠0,故 q∈(-1,0?∪(0, ?. 1-q 2 3 3 (a+b) (x+y) (2 xy) 15.4 解析:∵ = ≥ =4. cd xy xy 16. 10 解析: S100 ?
2 2 2

100 (a1 ? a100 ) ? 45, a1 ? a100 ? 0.9, a1 ? a99 ? a1 ? a100 ? d ? 0.4, 2 50 50 S " ? (a1 ? a99 ) ? ? 0.4 ? 10 2 2

三、解答题

17. 解: (1)



为等比数列,故





(2)∵







②-①得

∴ 18.解: (1)在 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1中分别令 n ? 1,2,3

得:

?a1 ? 2a1 ? 1 ? ?a1 ? a 2 ? 2a 2 ? 1 ?a ? a ? a ? 2 a ? 1 2 3 3 ? 1

?a1 ? 1 ? 解得: ?a 2 ? 0 ?a ? 2 ? 3

(2)由 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1得: S n?1 ? 2an?1 ? (?1) n?1 , n ? 2 两式相减得: an ? 2an ? (?1) n ? 2an?1 ? (?1) n?1 , n ? 2 即: an ? 2an?1 ? 2(?1) n , n ? 2

4 2 4 2 a n ? 2a n ?1 ? (?1) n ? (?1) n ? 2a n ?1 ? (?1) n ?1 ? (?1) n 3 3 3 3 2 2 a n ? (?1) n ? 2(a n ?1 ? (?1) n ?1 )( n ? 2) 3 3
故数列 ?a n ? 所以

? ?

2 1 2 ? (?1) n ? 是以 a1 ? ? 为首项,公比为 2 的等比数列. 3 3 3 ?

2 1 1 2 (?1) n ? ? 2 n ?1 a n ? ? 2 n ?1 ? ? (?1) n 3 3 3 3 n?2 n?2 2n ? 2 S n 得: S n ?1 ? S n ? S n 即 S n ?1 ? Sn 19. 解: (1)由 a n ?1 ? n n n an ?
所以

S n ?1 S n ? n ?1 n

所以数列 ?

? Sn ? ? 是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列. ?n?

(2)由(1)得

Sn ? 2 n ?1 n

S n ? n ? 2 n?1

S n?1 ? (n ? 1) ? 2 n

所以

?1(n ? 1) ?1(n ? 1) an ? ? ?? ? (n ? 1) ? 2 n?2 n?2 S ? S ( n ? 2 ) ( n ? 1 ) ? 2 ( n ? 2 ) n ?1 ? n ?
S n?1 ? 4an

所以

20. 解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , 有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (2)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. ? 数列 { n n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 2 2 4 4 4
21. 解: (1)由题设:an+1=( 2-1)(an+2)=( 2-1)(an- 2)+( 2-1)(2+ 2), =( 2-1)(an- 2)+ 2,∴an+1- 2=( 2-1)(an- 2). 所以,数列{an- 2}a 是首项为 2- 2,公比为 2-1)的等比数列, an- 2= 2( 2-1) , 即 an 的通项公式为 an= 2[( 2-1) +1],n=1,2,3,?. (2)用数学归纳法证明. (ⅰ)当 n=1 时,因 2<2,b1=a1=2,所以 2<b1≤a1,结论成立. (ⅱ)假设当 n=k 时,结论成立,即 2<bk≤a4k?3, ,也即 0<bn- 2≤a4k?3- 2, 3bk+4 (3-2 2)bk+(4-3 2) (3-2 2)(bk- 2) 当 n=k+1 时,bk+1- 2= - 2= = 2bk+3 2bk+3 2bk+3 >0, 又 1 1 < =3-2 2, 2bk+3 2 2+3 (3-2 2)(bk- 2) 2 4 <(3-2 2) (bk- 2)≤( 2-1) (a4k?3- 2)=a4k+1 2bk+3
n n

所以 bk+1- 2=

- 2 也就是说,当 n=k+1 时,结论成立. 根据(ⅰ)和(ⅱ)知 2<bn≤a4n?3,n=1,2,3,?. 22. 解: (1) 证明:
3 3

a1 ? a2 ? ?? an ? Sn
3 2

3

3

3

2

???. ①

3 a1 ? a2 ? ?? an ? an ?1 ? Sn?1
2 2 3 ② - ①: Sn ?1 ? S n ? an?1
3 an?1 (2Sn ? an?1 ) ? an ?1 ;

????②

3 (Sn?1 ? Sn )(Sn?1 ? Sn ) ? an ?1

an?1 ? 0.
?

2 ?an ?1 ? an?1 ? 2Sn

(n? N )

2 2 (2)解:由 an ?1 ? an?1 ? 2S n 及 an ? an ? 2Sn?1 (n ? 2)

两式相减,得: (an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? an?1 ? an

?an?1 ? an ? 0

?an?1 ? an ? 1,

(n ? 2)
(n ? 1)

?n ? 1,2时,易得a1 ? 1, a2 ? 2, an?1 ? an ? 1
∴ ?an ?是等差数列, (3) 证明: ∵ an ? n

an ? n .

1 2 ∴ n? n? 1 ? ? 2 2 3 an n (n ? 1)n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 1) ? 2 n n
? 2 (n ? 1)(n ? 1)( n ? 1 ? n ? 1)

?

n ? 1 ? n ?1 1 1 ? ? (n ? 1)(n ? 1) n ?1 n ?1
∴ Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 22 32 n2
? 1 ? (1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )?( ? )?( ? ) ??? ( ? )?( ? ) 3 2 4 3 5 n?2 n n ?1 n ?1


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