江西省萍乡实验学校2017-2018高一第二学期期中三模试卷高一数学试题


江西省萍乡实验学校 2017-2018 高一第二学期期中三模试卷高一数学试题

萍实高中 2017—2018 学年第二学期第三次期中模拟考试

高一数学试题

班级

学号

姓名

成绩

注意事项:

本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟,试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷为

选择题,第Ⅱ卷为非选择题。

命题人:江新详

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的.

(1)已知数列 2, 5,2 2, 11,?,则2 5 是这个数列的( )

(A)第 6 项

(B)第 7 项

(C)第 19 项

(D)第 11 项

? ? (2)已知集合 A =?x | (x ?1)(x ? 2) ? 0?, B ? x |1 ? 2x ? 4 ,则 A B ? ( )

(A) ?x |1 ? x ? 2? (B) ?x | 1 ? x ? 2? (C)?x | 1 ? x ? 2? (D) ?x | 0 ? x ? 2?

(3)已知等差数列?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是(



(A) 30

(B) 15

(C) 64

(D) 31

(4)在 ΔABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 a ? 2 , b ? 2 3 , A ? 300 , 则 B =

(A) 60

(B) 60 或120

(C) 30

(D) 30 或150

(5)若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则一定有(



(A) a ? b cd

(B) a ? b cd

(C) a ? b dc

(D) a ? b dc

(6)如图,位于 A处的海面观测站获悉,在其正东方向相距 40 海里的 B 处

有一艘渔船遇险,并在原地等待营救.在 A处南偏西 30 且相距 20 海里的 C

处有一艘救援船,则该船到求助处 B 的距离为(



(A) 2800 海里

(B) 1200 海里

(C) 20 3 海里

(D) 20 7 海里

(7)已知数列?an? 满足 an?1 ? an ? n ,若 a1 ? 1 ,则 a8 ? a4 ? (



(A) ?1

(B) 1

(C) 2

(D) 4

(8)平面区域 ì??í???

y? | y?

x |, a

的面积

S

满足1#S

4 ,则实数 a 的取值范围为(



(A) a ? 2

(B)- 2 #a 2 (C)1#a 2 (D) - 2 #a - 1或1#a 2

(9)设 ?ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 cos A ? 3 , cos B ? 5 ,b ? 3 ,则

5

13

a?( )

(A) 13 5

(B) 7 5

(C) 117 25

(D) 144 65

? ? (10)等比数列

an

的前 n

项和为 Sn

?

a ? 3n?1

?b

,则

a b

?(



(A) ?3

(B) ?1

(C) 1

(D) 3

(11) 在 ?ABC 中 , 的 内 角 A, B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 若 c ? 2a ,

b sin B ? a sin A ? 1 a sin C ,则 cos B 等于(



2

(A) 3

(B) 2

(C) 1

(D) 1

4

3

3

2

? ? (12)已知函数 f (x) ? 2x .若数列

an

满足 f (an?1) ?

f(

1 1

( n ? N * ),且 a1 ? f (0) , )

1? an

则下列结论成立的是( )

(A) a12 ? a15

(B) a13 ? a14

(C) a15 ? a14

(D) a12 ? a14

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

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(13)在等差数列{an} 中,已知 a2 +a9 ? 6 ,则该数列前10 项和 S10 ? _______.

(14)在 ΔABC 中,已知 a = b = c ,则这个三角形的形状是



cos A cos B cosC

(15)我国古代数学家刘徽在《九章算术圆田术》注中,用割圆术证明了圆面积的

精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法.所谓“割圆术”,即通过圆内接正多边

形细割圆,并使正多边形的周长无限接近圆的周长,进而来求得较为精确的圆周率

(圆周率指圆周长与该圆直径的比率).刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知

圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径 R ,

此时圆内接正六边形的周长为 6R ,此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,

可得圆周率约为 3 ;当用正二十四边形内接于圆时,按照上述算法,可得圆周率约

为__________.(参考数据: cos15 ? 0.966, 0.068 ? 0.26 )

(16)下列命题中:

① y ? x ? 4 的 最 小 值 为 5 ; ② 当 a ? 0,b ? 0 时 , 1 ? 1 ? 2 ab ? 4 ; ③ 若

x ?1

ab

a2 + b2 = 2 ,则 a + b 的最大值为 2 ; ④当且仅当 a, b 均为正数时, a ? b ? 2 恒成立.
ba 其中是真命题的是__________.(填上所有真命题的序号)

三、解答题:本大题共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 3asin B + bcos A = c . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 a ? 2 3c , ?ABC 的面积为 2 3 ,求. b

(18)(本小题满分 12 分)

已知数列 {an }

的前

n

项和

Sn

?

1 2

n2

?

1 2

n



(Ⅰ)求通项公式 an ;

(Ⅱ)令 bn ? an ? 2n?1 ,求数列{bn } 的前 n 项和 Tn .

(19)(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角 A, B,C 对边分别为 a,b,c ,三角形面积为 S ,且 a2 ? b2 ? c2 ? 4S . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 2 ,求 a ? 2 b 的取值范围.
2
(20)(本小题满分 12 分) 电视台应某企业之约播放甲乙两部连续剧. 甲剧每次播放时间为 70min,其中广告时间 为 1min,收视观众为 60 万人;乙剧每次播放时间为 40min,其中广告时间为 1min,收视观 众为 40 万人.此企业与电视台达成协议,要求电视台,两.部.连.续.剧.都.要.播.放.,每周至少播放 6min 广告,而电视台每周只能为该企业提供不.多.于.380min 的节目时间(此时间不.包.含.广告). 如果你是企业人,将要求电视台每周播映两部连续剧各多少次,使广告收视总人次最多?

(21)(本小题满分 12 分)

已知数列?an ? ,满足: a1

?

?

1 4

, an?1an

?

an?1

? an



(Ⅰ)证明数列

{

1 an

}

为等差数列,并求数列

?an

?

的通项公式;

(Ⅱ)设 Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? 求实数 a 的取值范围.

? an an?1 ,对任意 n ?

N + 不等式 4aS ? n ? 2 恒成立时, n n?3

(22)(本小题满分 10 分)

设不等式 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集为 A ,不等式 5 ? 4x ? x2 ? 0 的解集为 B .

(Ⅰ)求 A B ; (Ⅱ)若不等式 x2 ? ax ? b ? 0 的解集是 A

B ,求不等式 x ? a ? 0 的解集 x?b

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高一数学试题答案

命题人:江新详

一、选择题(12×5=60 分):BCBBD;DCCAA;AB. 二、填空题(4×5=20 分):13. 30; 14.等边三角形; 15. 3.12; 16.②③. 三、解答题(共 70 分):
17.(Ⅰ)由正弦定理得 3 sin Asin B ? sin B cos A ? sin C ,………………………………(2
分)
所以 3 sin Asin B ? sin Bcos A ? sin ? A ? B? ,

即 3 sin Asin B ? sin Acos B ,………………………………………………………………(4
分)

由 sin A ? 0 得 tan B ? 3 ,……………………………………………………………………(5 3
分)
所以 B ? 30? .……………………………………………………………………………………(6
分)

(Ⅱ)由 a ? 2

3c

得 S?ABC

?

1 acsin 30 2

?

3 c2 ,…………………………………………(7 2

分)

令 3 c2 ? 2 3 ,得 c ? 2, a ? 4 3 .…………………………………………………………(9 2
分)

由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 3ac ? 28 ,……………………………………………………(11
分)

故 b ? 2 7 .……………………………………………………………………………………(12
分) 18.(Ⅰ)a1 ? S1 ? 1.……………………………………………………………………………(1 分) 当 n ? 2 时,an ? Sn ? Sn?1 ? n .…………………………………………………………………(3 分) a1 ?1 也满足上式,所以 an ? n (n ? N*) . ……………………………………………………(4 分)
(Ⅱ)bn ? an ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ,……………………………………………………………………(5 分)
所以, Tn ? 1?1 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? ? n ? 2n?1 ,……………………………………………………(6 分)
2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n , …………………………………………(7

分) 两式相减,得
?Tn ? 1 ? 21 ? 22 ? ? 2n?1 ? n ? 2n ………………………………………………………………… (9 分)
? 1? 2n ? n ? 2n ? 2n ?1? n ? 2n ,…………………………………………………………………(11 1? 2
分)
所以, Tn ? (n ? 1)? 2n ? 1.………………………………………………………………………… (12 分)

19.(Ⅰ)由 a2 ?b2

?c2

? 4s ,得 a2 ? b2 ? c2

1 ? 4 ? ab sin C ? 2ab sin C .………………(2

2

分)

a2 ? b2 ? c2 ? sin C ,由余弦定理得 tan C ?1,………………………………………………… 2ab

(4 分)

又因为角 C 为 ?ABC 的内角,所以.

? C?

.……………………………………………………(5

4

分)

(Ⅱ)由正弦定理得: a ? b ? c ? 2 ,……………………………………………(7 sin A sin B sin C
分)

所以,a ?

2 b ? 2 sin A ?

2 sin B ………………………………………………………………(8

2

分)

? 2 sin A ? 2 sin( A ? ? ) ? sin A ? cos A ……………………………………………………………
4

(9 分)

? 2 sin( A ? ? ) ,………………………………………………………………………………… 4
(10 分)

又因为 0 ?

A?

3?

,所以 ? ?

?

? A?

?

?

,…………………………………………………(11

4

4

42

分)

所以 ?1 ?

? 2 sin(A ? ) ?

2,故 a ?

2 b 的取值范围是 (?1, 2 ) .………………………

4

2

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(12 分)
20.设电视台播放甲剧 x 次,播放乙剧 y 次, 广告收视总人数为 z (万人次),
则 z ? 60x ? 40y ,…………………(2 分) 且满足以下条件:

ì??? í?????

70x x+ x, y

+ y ?

40 y ? 6, 1,

?

380,



ì???í?????

7x+ 4y ? x + y ? 6, x, y ? 1.

38,

(6 分)

其可行域如右图所示:

…………………………………………(8 分)

作 l : 60x ? 40y ? 0 即 y ? ? 3 x 2

(x, y ? N + ) ,平移 l 至 l0 ,其中 l0 经过点

P(2, 6) 时 , 可 使 z 达 到 最 大 值 ( 见 上
图).…………………………………(10 分) 此时,z ? 60?2 ? 40?6 ? 360 .…… (11 分) 答: 要求电视台播放甲剧 2 次,播放乙剧 6 次, 使 广 告 收 视 总 人 数 最 多 为 360 万 人 次.………………………………………………………………………………………………… (12 分)

21.(Ⅰ) an?1an

?

an?1

? an 变形为

1 an+ 1

-

1 = - 1,…………………………………………(2 an

分)

1 = - 4 ,∴数列{ 1 } 是以 ?4 为首项, ?1为公差的等差数列.……………………………

a1

an

(3 分)

∴ 1 ? ?4 ? (n ?1) ? (?1) ? ?n ? 3 ,……………………………………………………………… an

(4 分)



an

?

?

1 n?3

.……………………………………………………………………………………

(5 分)

(Ⅱ)因 an?1an

?

an?1

?a n

?

1 n?3

?

1 n?

4

,……………………………………………………(6

分)

所以, Sn

?

a1a2

? a2a3

? … ? anan?1

?

1 ( 4

?

11 )?(
55

?

1 )?
6

11 ?( ? )
n?3 n?4

11 ?? ?

n

,…………………………………………………………………………(7

4 n ? 4 4(n ? 4)

分)



4aSn

?

n n

? ?

2 3

?

an n?4

?

n n

? ?

2 3

?

(a

? 1)n 2 (n

? (3a ? 6) ? ? 3)(n ? 4)

n

?8



由题意可知 (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立.……………………………………………(8

分)

设 f (n) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 .

当 a ?1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立.………………………………………………………(9 分)

当 a ? 1 时,由 (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 的判别式 ? ? (3a ? 6)2 ? 32(a ?1) ? 0 ,

再结合二次函数的性质

4aSn

?

n?2 n?3

不可能成立.……………………………………………

(10 分)

当 a ?1时,对称轴 n ? ? 3 ? a ? 2 ? ? 3 (1? 1 ) ? 0 , f (n) 在 (1, ??) 上为单调递减函数,
2 a ?1 2 a ?1 ∵ f (1) ? (a ?1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ?15 ? 0 ,

∴ a ?1 时,4aS ? n ? 2 恒成立.………………………………………………………………(11
n n?3 分)

综上知:当 a

? 1时,4aSn

?

n?2 n?3

恒成立.

…………………………………………………(12

分)

22.(Ⅰ)解不等式 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,得 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? .………………………………

(2 分)

不等式 5 ? 4x ? x2 ? 0 即 x2 ? 4x ? 5 ? 0 ,解得 B ? ?x | ?5 ? x ?1? .………………………

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(4 分)

? A B ? ?x | ?5 ? x ? 3? .……………………………………………………………………(5

分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, x2

?

ax

?b

?

0 的解集是 (?5,3) .



?25 ? 5a ? b ? 0, ??9 ? 3a ? b ? 0,

………………(7

分)

解得

?a ??b

? ?

2, ?15.

……………………………………………………………………………………

(8 分)

不等式 x ? a ? 0 ,即 x ? 2 ? 0 ,等价于 (x ? 2)(x ?15) ? 0(x ? 15) ,………………………

x?b

x ?15

(9 分)

解得解集为?x | ?2 ? x ?15? .…………………………………………………………………(10

分) (不等式的解集未写成集合形式不扣分.)


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