2017-2018学年高中数学人教A版必修5课件:章末复习提升课01_图文


知能整合提升 1.深化对正、余弦定理的理解 正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理,要理解两个 定理及其变形. (1)正弦定理: 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, a b c 即:在△ABC 中,sinA=sinB=sinC. 正弦定理有以下三种变形形式: ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; a b c ②sinA=2R,sinB=2R,sinC=2R; 其中 R 是△ABC 外接圆的半径. ③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. (2)余弦定理;三角形中任何一边的平方等于其他两边的平 方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即: a2 = b2 + c2- 2bccosA, b2 = a2 +c2 - 2accosB, c2= a2+ b2 - 2abcosC. b2+c2-a2 a2+c2-b2 余弦定理的推论: cosA= 2bc , cosB= 2ac , cosC a2+b2-c2 = 2ab . 2.剖析斜三角形的类型与解法 正弦定理、 余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元 素(三角形有三个角和三条边,三角形的边与角称为三角形的元 素),如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边),那么 这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法,根据已知条件及适 用的定理,可以归纳为以下四种类型(设三角形为△ABC,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c): 3.解读判断三角形形状的两种方法 判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,此 类题目一般采用以下两种方法求解: (1)利用正弦定理化边为角,通过三角运算判断三角形的形 状; (2)利用余弦定理化角为边,通过代数运算判断三角形的形 状. 注意:根据余弦定理判断三角形形状时,当 a2+b2<c2,b2 +c2<a2,c2+a2<b2 中有一个关系式成立时,该三角形为钝角三 角形,而当 a2+b2>c2,b2+c2>a2,c2+a2>b2 中有一个关系式成 立时,并不能得出该三角形为锐角三角形的结论. 4.细解正、余弦定理解实际应用题的步骤 实际应用题的本质就是解三角形,无论是什么类型的题目, 都要先画出三角形的模型,再通过正弦定理或余弦定理进行求 解.解三角形应用题的一般步骤是: (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理 清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型. (3)选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中单位、 近似计算要求. 5.常用三角形面积公式总结 1 1 1 (1)S△ABC=2a· ha=2b· hb=2c· hc(ha,hb,hc 分别为 a,b,c 边 上的高). 1 1 1 (2)S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB. (3)S△ABC= p?p-a??p-b??p-c? ? ? 1 ?p= ?a+b+c??. 2 ? ? 热点考点例析 专题一 利用正、余弦定理解三角形 [例 1] (四川高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 cosA cosB sinC 是 a,b,c,且 a + b = c . (1)证明:sinAsinB=sinC; 6 (2)若 b2+c2-a2=5bc,求 tanB. a b c 【解析】 (1)证明:由正弦定理sinA=sinB=sinC,可知原 cosA cosB sinC 式可以化为 sinA + sinB =sinC=1,因为 A 和 B 为三角形内角, 所以 sinAsinB≠0, 则两边同时乘以 sinAsinB,可得 sinBcosA+sinAcosB=sinAsinB, 由和角公式可知,sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sin(π- C)=sinC,原式得证. 6 (2) 由 题 b + c - a = 5 bc ,根据余弦定理可知, cosA = b2+c2-a2 3 2bc =5. ? 3? 因为 A 为三角形内角, A∈(0, π), sinA>0, 则 sinA= 1-?5?2 ? ? 4 cosA 3 cosA cosB sinC cosB 1 =5, 即 sinA =4, 由(1)可知 sinA + sinB =sinC=1, 所以 sinB =tanB 1 =4,所以 tanB=4. 2 2 2 方法归纳, 解三角形常见类型及解法 在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解,常见 类型及其解法见下表: 已知条件 应用定理 一般解法 一边和二角 由 A+B+C=180° ,求 A;由正弦定 正弦定理 (如 a,B,C) 理求出 b 与 c 由余弦定理求第三边 c;由正弦定理 两边和夹角 余弦定理 求出一边所对的角,再由 A+B+C= (如以 a,b,C) 180° 求出另一角 由余弦定理求出 A,B,再利用 A+B 三边(a,b,c) 余弦定理 +C=180° 求出 C 两边和其 由正弦定理求出 B,由 A+B+C= 中一边的 正弦定理 180° 求出 C;再利用正弦定理求出 c 对角(如 a,b, 边 A) 能力挑战 1 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,asinA+csinC- 2asinC=bsinB. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 解析:(1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB. 2 故 cosB= 2 ,因此 B=45° . (2)sinA=sin(30° +45° ) =sin30° cos45° +cos30° sin45° 2+ 6 = 4 . 2+ 6 sinA 故 a=b×sinB= =1+ 3. 2 由 A=75° ,B=45° ,得 C=60° , sinC sin

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