【湖南专用】2012高三数学理《夺冠之路》一轮复习课件第3单元第17讲导数在函数中的应用_图文


1.了解函数单调性和导数的关系,能利用导数 研究函数的单调性,会求函数的单调区间(对多 项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充要 条件;会用导数求函数的极大值、极小值(对多项 式函数一般不超过三次);会求闭区间上的函数的 最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次).

1 .已知函数f ? x?在点x0处连续,下列命题中, 正确的是? C ?
A.导数为零的点一定是极值点
B.如果在点x0附近的左侧f ?? x? ? 0, 右侧f ?? x? ? 0,那么f ? x0 ?是极小值 C.如果在点x0附近的左侧f ?? x? ? 0, 右侧f ?? x? ? 0,那么f ? x0 ?是极大值 D.如果在点x0附近的左侧f ?? x? ? 0, 右侧f ?? x? ? 0,那么f ? x0 ?是极大值
易错点: 对极值定义不理解造成错选.

 2.函数y

?

x 1+x2

的单调递增区间为?

?

A.(??,-1)

B.(?1,1)

C.(1,+?)

D.(??,2)

解析:

因为y?

?

1+x2 ? ?1+x2

2x ?2

2

?

1? x2 , ?1+x2 ?2

所以由y? ? 0得1? x2 ? 0,所以x2 ? 1,

所以-1 ? x ? 1.故选B.

3.已知函数f ? x? ? x3+ax2+3x ? 9在x ? ?3时

取得极值,则a等于? ?

A.2

B.3

C.4

D.5

解析: 因为f ?? x? ? 3x2+2ax+3, 又f ? x?在x ? ?3时取得极值,
所以f ?(?3) ? 30 ? 6a ? 0,解得a ? 5.

4.函数f ? x?=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的

最大值是 ,最小值是 解析: f ??x?=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f ?? x?=0,得x=?1. 而f (-3)=-17,f (-1)=3,f ?0?=1, 故f ? x?在[-3,0]的最大值是3,最小值是-17.

  .

5.若函数y=x3-ax2+4在? 0, 2?内单调递减,

则实数a的取值范围为 解析: 因为函数y=x3-ax2+4在?0,2?内单调 递减,所以y?=3x2-2ax ? 0在?0,2?内恒成立,

所以

? ? ?

y y

|x=0 |x=2

=0 ? 0 12-4a

?

,所以a 0

?

3.

  .

1.函数的单调性与其导数的关系

?1?对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f ? x?,

由f ?? x? ? 0 ? y=f ? x?在(a,b)内单调递增 ? f ?? x? ? 0

在(a,b)内恒成立,其中(a,b)为f ? x?的单调递增区间;

?2?对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f ? x?,

由f ?? x? ? 0 ? ① 

? f ?? x? ? 0在(a,b)内

恒成立,其中区间(a,b)为f ? x?的单调递减区间.

2.函数的极值与其导数的关系
?1?极值与极值点:设函数f ? x?在点x0及其附近有定义,
如果对x0附近的异于x0的所有点x,都有② _________,
则称f ? x0 ?为f ? x?的极大值,记作y极大值=f ? x0 ?,x0为极 大值点.反之,若③ ____________,则称f ? x0 ?为f ? x? 的极小值,记作y极小值=f ? x0 ?,x0为极小值点,极大值
和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极
值点.?2?若x0为可导函数f ? x?的极值点,则有④ _____;
反之,不一定成立.

3.函数的最值与其导数的关系

?1?函数的最值:如果在函数y=f ? x?的定义域I内存在

x0,使得对任意的x ? I,都有⑤

,则称f ? x0 ?

为函数的最大值,记作ymax=f ? x0 ?;反之,若有

⑥ ___________,则称f ? x0 ?为函数的最小值,

记作ymin=f ? x0 ?.最大值和最小值统称为最值;

?2?如果函数y=f ? x?在闭区间[a,b]上的图象是

⑦ __________的曲线,则该函数在闭区间[a,b]

上一定能够取得最大值与最小值.

4.极值与最值的区别与联系 极值是反映函数的局部性质,最值是反映函数的 整体性质.极大(小)值不一定是最大(小)值,最大 (小)值也不一定是极大(小)值,极大值不一定比极 小值大.但如果函数的图象是一条不间断的曲线, 在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大(小)值就 是最大(小)值.

【要点指导】
①y=f ? x?在(a,b)内单调递减; ②f ? x? ? f ? x0 ?;③f ? x? ? f ? x0 ?; ④f ?? x0 ?=0;⑤f ? x? ? f ? x0 ?; ⑥f ? x? ? f ? x0 ?;⑦一条连续不间断

题型一 函数的单调性与导数
例1.已知函数f ? x? ? x3+ax2+x+1,a ? R. ?1?讨论函数f ? x?的单调区间; ?2?若函数f ? x?在区间(? 2 ,? 1)内是减函数,
33 求a的取值范围.

解析: ?1?对f ? x?=x3+ax2+x+1求导, 得f ?? x?=3x2+2ax+1, 当? ? 0,即a2 ? 3时,f ?? x? ? 0在R上恒成立, f ? x?在R上递增;

当? ? 0,即a2 ? 3时,由f ?? x?=0,得x=-a ± a2-3 ,
3

即f ? x?在(-?,-a- a2-3 )上递增,
3

在(-a- a2-3 ,-a+ a2-3 )上递减,

3

3

在(-a+ a2-3 ,+?)上递增. 3

?-a- ?

a2-3 ? - 2

解析:

?

2?

方法1:由题设得

? ?

3

3,

?-a+ a2-3

??

3

?-1 3

且a2 ? 3,故a ? 2.

方法2:令g ? x?=3x2+2ax+1,

由题设知g ? x?在(-2 ,-1)内恒小于或等于零,
33

? 所以???
? ??

g?- 2 ? 3
g ?- 1 ? 3

? ?

00即???????1343--2433aa++11??

0 0

又a2 ? 3,故a ? 2.即a的取值范围是[2,+?).

评析: ?1? f ?? x? ? 0(或f ?? x? ? 0)仅是f ? x?在某个区间上
为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函
数f ? x?在(a,b)上递增(或递减)的充要条件是f ?? x? ? 0 (或f ?? x? ? 0)对x ? (a,b)恒成立,但f ? x?不恒为0. ?2?已知函数f ? x?是增函数(或减函数),求参数的取值 范围时,应令f ?? x? ? 0(或f ?? x? ? 0)恒成立,解出参数 的取值范围后检验参数的取值能否使f ?? x?恒等于0.若 恒等于0,则参数的这个值应舍去;若f ?? x?不恒等于 0,则由f ?? x? ? 0(或f ?? x? ? 0)恒成立解出的参数的取值
范围确定.

素材1:求函数f ? x?=(x-1)(x-2)(x-3)

的单调递增区间.

解析:因为
f ?? x?=(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)
=3x2-12x+11.

由f ?? x? ? 0,得x ? 2- 3 或x ? 2+ 3 .

3

3

故函数f ? x?的单调递增区间

是(-?,2- 3 ]与[2+ 3 ,+?).

3

3

评析: 本题易错误地作答为递增区间是

(-?,2- 3 ] [2+ 3 ,+?).

3

3

误将正值区间?1, 2 ? 或(3,+?)作为增区间.

题型二 函数的极值与导数
例2.已知x=3是函数f ? x?=a ln(1+x)+x2-10x
的一个极值点.
?1?求a; ?2?求函数f ? x?的极大值; ?3?若直线y=b与函数y=f ? x?的图象有3个交点,
求b的取值范围.

解析:

?1?因为f

??

x

?

?

a 1+x

+2x-10,

所以f ??3?=a+6-10 ? 0,因此a ? 16.
4

?

2?由?1?知,f

??

x?

?

16 1+x

+2x-10

?

2? x-1?? x-3? x+1

(x

? -1).

此时,f ?? x?、f ? x?随x的变化情况如下表:

由上表知函数f ? x?的极大值为f ?1? ? 16ln 2-9.

解析:

?

2?由?1?知,f

??

x?

?

16 1+x

+2x

?10

?

2?

x

? 1?? x x+1

?

3?

(x

?

?1).

此时,f ?? x?、f ? x?随x的变化情况如下表:.

(-1,1) 1

(1,3)

3



0



0

极大值

极小值

由上表知函数f ? x?的极大值为f ?1? ?16ln2 ?9.

解析: ?3?由?2?知,f ? x?在(?1,1)内单调递增, 在?1,3?内单调递减,在(3,+?)上单调递增, 且当x ? 1或x ? 3时,f ?? x? ? 0, 所以f ? x?的极大值为f ?1? ? 16ln 2 ? 9, 极小值为f ?3? ? 32ln 2 ? 21. 若直线y ? b与函数y ? f ? x?的图象有3个交点, 当且仅当f ?3? ? b ? f ?1?.
因此,b的取值范围为(32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9).

评析: (1)运用导数求可导函数y=f(x)极值 的步骤:
①先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导 函数f′(x) ; ②求方程f′(x) =0的根; ③检查f′(x)在方程根的左右的值的符号, 如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极 大值.如果左负右正,那么f(x)在这个根处 取得极小值.

评析:(2)根据定义,极值点是区间[a,b] 内部的点,不会是区间的端点a、b,且极值 必须在区间内的连续点处取得.

评析: (3)一个函数在其定义域内可以有 许多个极小值和极大值,且极小值与极大 值没有必然的大小关系.如果函数在[a,b] 上有极值的话,它的极值点的分布是有规 律的,相邻两个极大值点之间必有一个极 小值点,同样,相邻两个极小值点之间必 有一个极大值点,极大值点与极小值点是 交替出现的.

评析: ?4?若函数f ? x?在[a,b]内有极值,则f ? x?
在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间[a,b]上单 调的函数没有极值.注意:可导函数的极值点必 须是导数为0的点,导数为0的点不一定是极值点.
可导函数f ? x?在点x0处取得极值的充要条件是 f ?? x0 ?=0,且在x0的左侧与右侧的f ?? x?的符号不同,
不可导的点也可能是极值点.

素材2.若上例2?3?变为:方程f ? x?=b有一解、
两个不同解、三个不同解,那么实数b的取 值范围将如何?
解析:由上表不难解得b ? 32ln 2 ? 21 或b ? 16ln 2 ? 9时有一解, b ? 16ln 2 ? 9或b ? 32ln 2 ? 21时, 有两个不同的实数解; 32ln 2 ? 21 ? b ? 16ln 2 ? 9时, 方程有三个不同的实数解.

题型三 函数的最大值、最小值与导数
例3.已知函数f ? x?=ln x-(a ? R,a ? 0). ?1?若a=-1,求f ? x?在[1,e]上的
e 最大值和最小值;
?2?若f ? x?在区间[1,e]上的最小值是 3,
2 求实数a的值.

解析: ?1?当a=-1时,f ? x?=ln x+1,
x

定义域为(0,+?).

由f

?

?

x

?=

1 x



1 x2



x-1=0,得x=1. x2

x ??0,1?时,f ?? x? ? 0,f ? x?递减;

x ? (1,+?),f ?? x? ? 0,f ? x?递增.

又f ?1?=1,f ()=-1+e,f ?e?=1+1,
e

易知f (1) ? f ?e? ? f ?1?,
e

f

( x) max =f

(1)=e-1, e

f

( x)min =f

(1)=1.

解析:

?

2

?由f

?

?

x

?=

x+a x2

,x

?[1,e].

①当a ? -1时,因为x ? 1,所以x+a ? 1+a ? 0,

所以f ? x?在[1,e]上递增.

于是f ? x? =f ?1?=-a=3,a=-3,不成立.

min

2

2

②当a ? -e时,而x ? e,x+a ? e+a ? 0,

所以f ? x?在[1,e]上递减,

于是f ? x? =f ?e?=1-a=3,所以a=- e ,不成立.

min

e2

2

解析:③当-e ? a ? ?1时,

在区间[1,-a]上,f ?? x? ? 0,f ? x?递减,

在区间[?a,e]上,f ?? x? ? 0,f ? x?递增,

所以f

? x?min

?

f

(?a)=ln(?a)+1 ?

3, 2

所以a ? ? e.

综上得,实数a ? ? e.

评析: (1)函数的最大值和最小值是一个整体 性概念,最大值必须是整个区间上所有函数值 中的最大值,最小值必须是整个区间上所有函 数值中的最小值. (2)函数的极值可以有多个,但最大值(最小值) 只能有一个. (3)极值只能在区间内取得,最值却可以在端点 处取得.

评析: ?4?一般的,在闭区间[a,b]上的连续函数 f ? x?必有最大值与最小值,在区间(a,b)内的连续 函数不一定有最大值与最小值.若函数y=f ? x?在 闭区间[a,b]上单调递增,则f ?a?是最小值,f ?b?是 最大值;若函数y=f ? x?在闭区间[a,b]上单调递减, 则f ?a?是最大值,f ?b?是最小值.

素材3.已知a是实数,函数f ? x? ? (x ? a). ?1?求函数f ? x?的单调区间;
?2?设g ?a?为f ? x?在区间?0,2?上的最小值,
写出g ?a?的表达式.

解析: ?1?函数的定义域为[0,+?), f ?? x? ? x+ x ? a ? 3x ? a ? x ? 0?.
2x 2x
若a ? 0,则f ?? x? ? 0,f ? x?有单调递增区间[0,+?);
若a ? 0,令f ?? x? ? 0,得x ? a,
3
当0 ? x ? 时,f ?? x? ? 0,当x ? 时,f ?? x? ? 0,
故f ? x?的单调递减区间为[0,a],
3 单调递增区间为[ a,+?).
3

解析: ?2?若a ? 0,f ? x?在?0,2?上单调递增,

所以g ?a? ? f ?0? ? 0,若0 ? a ? 6,

f ? x?在[0,a ]上单调递减,在[ a ,2]上单调递增,

3

3

所以g ?a? ? f ( a ) ? ? 2a

a =- 2

3

a

3 2

.

3 33 9

若a ? 6,f ? x?在?0,2?上单调递减,

所以g ?a? ? f ?2? ? 2(2 ? a).

?0

综上所述,g

?

a

?

?

? ? ? ?

2

9

3

a

3 2

?? 2?2 ? a?

?a ? 0? ?0 ? a ? 6?.
?a ? 6?

备选例题 对任意的正整数n,

求证:ln(

1 n

+1)>

1 n2

?

1 n3

.

证明: 令函数f ? x? ? x3 ? x2+ln(x+1),

则f

??

x

?

?

3x2

?

2x+

1 x+1

?

3x3+? x ?1?2 x+1

.

所以当x ?[0,+?)时,f ?? x?>0,

所以函数f ? x?在[0,+?)上单调递增,又f ?0? ? 0,

所以x ? (0,+?)时,恒有f ? x?>f ?0? ? 0,

即x3>x2 ? ln(x+1)恒成立,

故当x ? (0,+?)时,有ln(x+1)>x2 ? x3.

对任意正整数n,取x ? 1 ? (0,+?), n

则有

ln(

1 n

+1)>

1 n2

?

1 n3

,所以结论成立.

评析: 利用导数证明不等式,就是把不等式恒 成立的问题通过构造函数,转化为利用导数求 函数最值的问题.

1.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法:
?1?确定函数f ? x?的定义域;?2?令f ?? x?=0,求出 此方程在f ? x?的定义域内的一切实根; ?3?把函数f ? x?无定义的点的横坐标和上面的各
实根按由小到大的顺序排列起来,这些点把定 义域分成若干个小区间;
?4?确定f ?? x?在各小开区间内的符号,根据f ?? x?的 符号判断函数f ? x?在每个相应的小开区间的增减性.

2.求可导函数y=f ? x?的极值的方法: ?1?求导数f ?? x?; ?2?求方程f ?? x?=0的根; ?3?检验f ?? x?在每个根左、右的符号,
如果根的左侧附近为正,右侧附近为负,
则f ? x?在这个根处取得极大值;
如果根的左侧附近为负,右侧附近为正,
则f ? x?在这根处取得极小值.

3.求可导函数f ? x?在闭区间[a,b]上的最值的方法: ?1?求f ? x?在(a,b)内的极值; ?2?将求得的极值与f ?a?,f ?b?比较,其中最大的一个
为最大值,最小的一个为最小值. 4.注意:
?1?利用导数求单调区间时,必须先求定义域; ?2?使导函数f ?? x?=0的点称为函数的驻点,则可导函
数的极值点必是驻点,但驻点不一定是极值点.求一 个可导函数的极值时,常常把驻点附近的函数值的讨 论情况列成表格,注意这里的“可导”两字必不可少.

已知函数f ? x? ? 2x+1 ? ln x+3,求f ? x?的单调区间.
x
错解: 因为f ? x?=2x+1-ln x+3,
x

所以f

?

?

x

?=2-

1 x2



1 x



2

x2-x-1= x2

?

2

x+1?? x2

x-1?

.

令f ?? x? ? 0,得x ? -1 或x ? 1.
2

令f ?? x? ? 0得-1 ? x ? 1,
2

所以f ? x?的增区间为(-?,-1) (1,+?),
2

减区间为(- 1 ,1). 2

错解分析: 上述错解中忽视了函数的单调区间是 定义域的子集的条件,任何性质的讨论都必须在 定义域内进行,其次,如果一个函数单调性相同 的区间不止一个,这些区间之间不能用“ ”连接, 而应用“逗号”或“和”字隔开.

正解: 因为f ? x?=2x+1-ln x+3
x 的定义域为(0,+?),

f

?

?

x

?=2-

1 x2



1 x



2

x2-x-1= x2

?

2

x+1?? x2

x-1?

.

x ? (0,+?).

令f ?? x? ? 0,得x ? 1.令f ?? x? ? 0得0 ? x ? 1,

所以f ? x?的增区间为(1,+?),

减区间为(0,1).


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