2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):函数、导数及其应用


第一节 函数及其表示 [备考方向要明了] 考 什 么 1.了解构成函数的要素,了解映射 的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需 要选择恰当的方法(如图象法、列表 法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单 应用. 怎 么 考 1.考查方式多为选择题或填空题. 2.函数的表示方法是高考的常考内容,特别是图象法与解 析式更是高考的常客,如 2012 年新课标全国 T10 等. 3.分段函数是高考的重点也是热点,常以求解函数值,由 函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主,如 2012 年江西 T3 等. [归纳· 知识整合] 1.函数与映射的概念 函数 两集合 A, B 对应关系 f:A→B A,B 是两个非空数集 按照某种确定的对应关系 f,对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中有唯 一确定的数 f(x)和它对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数 映射 A,B 是两个非空集合 按某一个确定的对应关系 f,对于集合 A 中的任意一个元素 x 在集合 B 中都有 唯一确定的元素 y 与之对应 对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个映射 名称 记法 y=f(x),x∈A 对应 f:A→B 是一个映射 [探究] 1.函数和映射的区别与联系是什么? 提示:二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合,可以不是数集,而函数中的两个集 合必须是非空数集,二者的联系是函数是特殊的映射. 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A }叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. 3.相等函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数. [探究] 2.若两个函数的定义域与值域都相同,它们是否是同一个函数? 提示:不一定.如函数 y=x 与 y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是同一个函数;再如 y=sin x 与 y=cos x,其定义域都为 R,值域都为[-1,1],显然不是同一个函数.因为定义域和对应 关系完全相同的两个函数的值域也相同,所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函 数. 4.函数的表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图象法. 5.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数 称为分段函数,分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并 集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)给出下列五个命题,正确的有( ①函数是定义域到值域的对应关系; ②函数 f(x)= x-4+ 1-x; ③f(x)=5,因这个函数的值不随 x 的变化而变化,所以 f(t2+1)也等于 5; ④y=2x(x∈N)的图象是一条直线; ⑤f(x)=1 与 g(x)=x0 表示同一个函数. A.1 个 C.3 个 B .2 个 D.4 个 ) ? ?x-4≥0, 解析:选 B 由函数的定义知①正确;②错误;由? 得定义域为? ,所以不是函 ?1-x≥0, ? 数;因为函数 f(x)=5 为常数函数,所以 f(t2+1)=5,故③正确;因为 x∈N,所以函数 y=2x(x∈N) 的图象是一些离散的点,故④错误;由于函数 f(x)=1 的定义域为 R,函数 g(x)=x0 的定义域为 {x|x≠0},故⑤错误.综上分析,可知正确的个数是 2. 2.(教材习题改编)以下给出的对应是从集合 A 到 B 的映射的有( ) ①集合 A={P|P 是数轴上的点},集合 B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对 应. ②集合 A={P|P 是平面直角坐标系中的点},集合 B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系 f:平面 直角坐标系中的点与它的坐标对应; ③集合 A={x|x 是三角形},集合 B={x|x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对应它的内切 圆; ④集合 A={x|x 是新华中学的班级},集合 B={x|x 是新华中学的学生},对应关系 f:每一个班 级都对应班里的学生. A.1 个 C.3 个 B .2 个 D.4 个 解析:选 C 由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个,即一个班级对应的学生不止一 个,所以④不是从集合 A 到集合 B 的映射. 2 ? ?x +1,x≤1, ? 3.(2012· 江西高考)若函数 f(x)= 则 f(f(10))=( ?lg x,x>1, ? ) A.lg 101 C.1 解析:选 B B .2 D.0 f(10)=lg 10=1,故 f(f(10))=f(1)=12+1=2. x+2 ,则 f(f(4))=________;若 f(a)=2,则 a=________. x-6 4.(教材习题改编)已知函数 f(x)= 解析:∵f(x)= x+ 2 4+ 2 ,∴f(4)= =-3. x- 6 4- 6 -3+2 1 ∴f(f(4))=f(-3)= = . -3-6 9 ∵f(a)=2,即 解得 a=14. 答案: 1 9 14 a+ 2 = 2, a- 6 5.(教材习题改编)A={x|x 是锐角},B=(0,1),从 A 到 B 的映射是“求余弦”,与 A 中元素 60° 相对应的 B 中的元素是________;与 B 中元素 3 相对应的 A 中的元素是________. 2 1 1 解析:∵cos 60° = ,∴与 A 中元素 60° 相对应的 B 中的元素是 . 2 2 又∵cos 30° = 答案: 1 2 30° 3 3 ,∴与 B 中元素 相对应的 A 中的元素是

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