2017-2018学年高中数学必修五教材用书(28份) 人教课标版24(优秀教案)


等比数列的前项和 第一课时 等比数列的前项和

等比数列的前项和公式

[提出问题]

已知等比数列{},公比为,是其前项的和,则=++…+=+++…+-.

问题:若=,则与有何关系?

提示:=.

问题:若≠,你能用,直接表示吗?如何表示?

提示:能.∵=+++…+-,①

两边同乘以,可得

=++…+-+,②

①-②得(-)=-,

∴当≠时,=.

[导入新知]

等比数列的前项和公式

已知量

首项与公比

首项,末项与公比

公式

= 错误!

= 错误!

[化解疑难] .在运用等比数列的前项和公式时,一定要注意对公比的讨论(=或≠). .当≠时,若已知及,则用公式=较好;若已知,则用公式=较好.

[例] 在等比数列{}中: ()若=,=,且>,求; ()若=,=,求和公比.

等比数列的前项和公式的基本运算

[解] ()∵{}为等比数列且=,=, ∴=. ∴=. ∴=(负舍). ∴===. ()①当≠时,==, 又=·=, ∴(++)=, 即(++)=, 解得=-(=舍去), ∴=. ②当=时,=3a, ∴=. 综上得(\\(=,=-(),))

或(\\(=(),=.))

[类题通法] 在等比数列{}的五个量,,,,中,与是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时, 均可以用与表示与,从而列方程组求解,在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的 目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. [活学活用] 在等比数列{}中: ()若=,=,求; ()若+=,+=,求和. 解:()设首项为, ∵=,=, ∴=,即=, ∴===. ()设公比为,由通项公式及已知条件得 (\\(+=,+=(),)) 即 错误! ∵≠+≠,

∴②÷①得=,即=, ∴=. ∴==×=, ===.

等比数列前项和的性质

[例] 设等比数列{}的前项和为,已知=,=,求+++的值.

[解] 由等比数列前项和的性质,可知,-,-,…,--,…成等比数列.

由题意可知上面数列的首项为=,公比为=,

故--=(≥),

所以+++=-==.

[类题通法]

等比数列前项和的重要性质

()等比数列{}的前项和,满足,-,-,-,…成等比数列(其中,-,-,…均不为),

这一性质可直接应用.

()等比数列的项数是偶数时,=;

等比数列的项数是奇数时,=.

[活学活用]

.设等比数列{}的前项和为.若=,=,则等于( )









解析:选 法一:设等比数列{}的首项为,公比为.

若=,则有=,显然不符合题意,故≠.











(\\(=( - -)=,=( - -)=,))

两式相除得+=,解得=,

故=或=-.

若=,代入解得=,此时

===.

若=-,代入解得=-,此时

===.故选.

法二:在等比数列{}中,,-,-也成等比数列,故(-)=(-),则(-)=(-),解得

=.

法三:设等比数列的公比为.

则=+=,=+++=(+)(+)=(+)×=,

解得=. 故=+++++=(++)(+)=(++)×=.故选. .等比数列{}共有项,其和为-,且奇数项的和比偶数项的和大,则公比=. 解析:由题意知(\\(奇+偶=-,奇-偶=,)) ∴(\\(奇=-,偶=-.)) ∴公比===. 答案:
等比数列的综合应用 [例] 等比数列{}的前项和为,已知,,成等差数列. ()求{}的公比; ()若-=,求. [解] ()∵,,成等差数列, ∴=+,显然{}的公比≠, 于是=+, 即(++)=+, 整理得+=, ∴=-(=舍去). ()∵=-,又-=, ∴-·=,解得=. 于是= =. [类题通法] 解决等差、等比数列的综合题时,重点在于读懂题意,而正确利用等差、等比数列的 定义、通项公式及前项和公式是解决问题的关键. [活学活用] 已知数列{}的前项和=-,=,其中>,求数列{}的前项和.
解:当≥时,=--=(-)-[(-)-(-)]=-+, 当=时,==×-=也适合上式, ∴{}的通项公式=-+(∈*). 又=, ∴=-+, 于是=-+,+=-+, ∴==-=.

因此{}是公比为的等比数列,且=-+=, 于是{}的前项和 ==.
[典例] 设数列{}是等比数列,其前项和为,且=3a,求此数列的公比. [解] 当=时,=3a=3a,符合题目条件; 当≠时,=3a, 因为≠, 所以++=, --=, 解得=-. 综上所述,公比的值是或-. [易错防范] .易忽视=这一情况,从而得出错解. .在用等比数列求和公式求和前,先看公比,若其中含有字母,就应按=,=,≠且 ≠讨论.
[成功破障] 已知等比数列{}中,=,=,求和. 解:若=,则=3a=,符合题意. 此时,=,==. 若≠,则由等比数列的前项和公式, 得===, 解得=(舍去)或=-. 此时,==×(-)=. 综上所述,=,=或=-,=.
[随堂即时演练]

.数列{-}的前项和为( )

.-

.-

.-

.-

解析:选 数列{-}为等比数列,首项为,公比为,故其前项和为==-.

.等比数列{}中,=+,=+,则公比等于( )





解析:选 =+,=+,等式两边分别相减得

-=3a,即=4a,∴=.

.已知等比数列{}中,=,=,=,则=.

解析:∵=,=,=,

∴=,即=,

∴=.

答案:

.等比数列{}的前项和=,前项和=,则它的前项和=.

解析:由等比数列前项和的性质知,-,-成等比数列,

故(-)=(-),

即(-)=(-),

解得=.

答案:

.在等比数列{}中:

()=,=,求;

()若=,=,=,求和.

解:()由题意知(\\( + =, ++ =,))

解得(\\(=,=)) 或(\\(=,=-(),))

从而=×+-,

或=错误!.

()∵等比数列{}中,=,=,=,

∴=.∴=.

∴=-.∴=×-.∴=+=.

[课时达标检测]

一、选择题

.等比数列,,,,…(≠)的前项和等于( )

(\\((--)

= ))

(\\((---)

= ))

解析:选 注意对公比是否为进行分类讨论,易知选.

.在等比数列{}中,如果+=,+=,那么+等于( )









解析:选 由等比数列的性质知,+,+,+,+成等比数列,其首项为,公比为=.

∴+=×=.

.已知{}是首项为的等比数列,是{}的前项和,且=,则数列的前项和为( )

或或

解析:选 易知公比≠. 由=,得·=, 解得=. ∴是首项为,公比为的等比数列. ∴其前项和为=. .已知数列{}的前项和为,=,=+,则等于( ) .--


解析:选 由=+=(+-)得+=, 所以{}是以==为首项,为公比的等比数列,所以=-.

.等比数列{}的公比<,已知=,+=++,则{}的前 项和等于( )



.-





解析:选 由+=++得+=+-,

即--=,又<,解得=-,

又=,∴=-,

==.

二、填空题

.设等比数列{}的公比=,前项和为,则=.

解析:∵=,=,

∴==.

答案:

.等比数列{}共有项,它的全部各项的和是奇数项的和的倍,则公比=.

解析:设{}的公比为,则奇数项也构成等比数列,其公比为,首项为,

=,奇=. 由题意得=, ∴+=,∴=. 答案: .已知等比数列的前项中,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则=+++的值 为. 解析:设公比为, 由错误!得错误! ∴=+++=(+++) =·=. 答案: 三、解答题 .设等比数列{}的前项和为.已知=6a+=,求和. 解:设{}的公比为,由题设得(\\(=,+=,)) 解得(\\(=,=)) 或(\\(=,=.)) 当=,=时,=×-,=(-); 当=,=时,=×-,=-. .已知等差数列{}满足:=,=. ()求数列{}的通项公式; ()设等比数列{}的各项均为正数,为其前项和,若=,=,求. 解:()∵等差数列{},∴设公差为,-=? =? =,=+(-)=-(∈*). ()由()可知==×-=, 又∵正项等比数列{},∴==? =, ∴==-.
.已知等比数列{}中,=,公比=. ()为数列{}的前项和,证明:=; ()设=3a+3a+…+,求数列{}的通项公式. 解:()证明:因为=×-=, ==, 所以=.
()=3a+3a+…+=-(++…+)=-. 所以{}的通项公式为=-. .设等比数列{}的前项和为,若+=求数列的公比.

解:法一:若=,则有=3a,=6a,=9a,但≠,即+≠,与题设矛盾,故≠.同理可 得≠-,依题意+=.
∴+=×. 整理,得(--)=,由于≠,得--=. ∵≠-,∴≠-,∴=-,∴=-. 法二:+=,∴,,成等差数列. ∴-=-, ∴++…+=---, ∴(++)(+)=. ∵≠,≠++≠, ∴+=,=-=-. 法三:∵+=,又,-,-成等比数列.∴由(\\(+=, - = - )) 消去,得=,又由法一知≠, ∴==-,∴=-.
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语 的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁 能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样; 从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起 相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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