河北省献县宏志中学2012届高三数学文科仿真模拟卷20


河北省献县宏志中学 2012 届高三数学文科仿真模拟卷 20

第I卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
(1)已知集合 A ? ??1,0, a? , B ? ?x | 0 ? x ?1?,若 A B ? ? ,则实数 a 的取值范围是

A.?1?

B. (??, 0)

C. (1, ??)

(2)设等比数列{an} 的公比 q

?

2 ,前 n 项和为 Sn

,则

S4 a3

的值为

D. (0,1)

A. 15

B. 15

C. 7

D. 7

4

2

4

2

(3)某班级有男生 20 人,女生 30 人,从中抽取 10 个人的样本,恰好抽到了 4 个男生、6

个女生.给出下列命题:(1)该抽样可能是简单的随机抽样;(2)该抽样一定不是系统

抽样;(3)该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率.其中真命题的个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

(4)已知复数 z1 ? cos 23 ? i sin 23 和复数 z2 ? cos37 ? i sin 37 ,则 z1 ? z2 为

A. 1 ? 3 i 22

B. 3 ? 1 i 22

C. 1 ? 3 i 22

D. 3 ? 1 i 22

(5)已知命题 p :抛物线 y ? 2x2 的准线方程为 y ? ? 1 ;命题 q :若函数 f (x ? 1) 为偶 2
函数,则 f (x) 关于 x ? 1对称.则下列命题是真命题的是

A. p ? q

B. p ? ( ?q ) C. (?p) ? (?q)

D. p ? q

(6)已知图象不间断函数 f (x) 是区间[a, b]上的单调函数,

且在区间 (a,b)上存在零点.图 1 是用二分法求方程

f (x) ? 0 近似解的程序框图,判断框内可以填写的内容
有如下四个选择:
① f (a) f (m) ? 0 ; ② f (a) f (m) ? 0 ;

输入精确度 d 和区间 (a, b)

③ f (b) f (m) ? 0 ; ④ f (b) f (m) ? 0

其中能够正确求出近似解的是( )

A.①、③

B.②、③

C.①、④

D.②、④

m? a?b 2

(7)等差数列{an} 的首项为 a1 ,公差为 d ,前 n 项和 为 Sn .则“ d ?| a1 | ”是“ Sn 的最小值为 S1 ,且 Sn
无最大值”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件



a?m

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件
(8)曲线 y ? x3 ? 3x 在点 (0, 0) 处的切线方程为

否 | a ? b |? d 或 f (m) ? 0

A. y ? ?x

B. y ? ?3x

C. y ? x

D. y ? 3x

( 9 ) 已 知 三 个 互 不 重 合 的 平 面 ?、?、? , 且

? ? ? a ,? ? ? b , ? ? ? c ,给出下列命


输出 a

结束

图1

题:①若 a ? b,a ? c ,则 b ? c ;②若 a ? b ? P , 则 a ? c ? P ;③若 a ? b,a ? c ,则? ? ? ;④若 a // b ,则 a // c .其中正确命题个数为
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

(10)已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1的离心率为 e ,则它的渐近线方程为

A. y ? ? e ?1 x

B. y ? ? e2 ?1 x

C. y ? ? 1? e2 x

D. y ? ? 1? e x

(11)设 f (x) ? x3 ? x , x ? R . 若当 0 ? ? ? ? 时, f (msin? ) ? f (1? m) ? 0 恒成立, 2

则实数 m 的取值范围是

A. (0,1)

B. (??,0)

C. (??, 1) 2

D. (??,1)

? 2x3

1

(12)已知函数

f

(x)

?

?
? ?
?
??

, x ? ( ,1] x ?1 2 1 x ? 1 , x ?[0, 1]

,函数

g?x?

?

a

sin?? ?

π 6

x ?? ?

?

2a

?

2 (a>0),若

?3 6

2

存在 x1、x2 ?[0,1] ,使得 f (x1) ? g(x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是

A.[1 , 4] 23

B. (0, 1 ] 2

C.[ 2 , 4] 33

D.[ 1 ,1] 2

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题纸相应的位置上. (13)在棱长为 2 的正方体内随机取一点,取到的点到正方体中心的距离大于 1 的概率为.
(14)已知 O 为坐标原点,点 M 的坐标为 (2,1) ,点 N(x, y) 的坐标 x 、 y 满足不等式组

???xx

? ?

2y ?3? 3y ?3 ?

0 0.

则 OM

? ON

的取值范围是.

?? y ? 1

(15)对于命题:

若O 是线段 AB 上一点,则有 OB ? OA ? OA ? OB ? 0.

将它类比到平面的情形是:

若 O 是△ ABC 内一点,则有 S?OBC ? OA ? S?OCA ? OB ? S?OBA ? OC ? 0..
将它类比到空间的情形应该是: 若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有. (16)已知一个三棱锥的三视图如图 2 所示,其中俯视图是等腰直角三 角形,则该三棱锥的外接球体积为.

主视图 22
俯视图

图2

2
2 左视图

三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分 12 分)

某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取 10 名同学的成

绩进行统计分析,两班成绩的茎叶图如图 3 所示,成绩不小

于 90 分为及格.

(Ⅰ)甲班 10 名同学成绩标准差

乙班 10 名同学

成绩标准差(填“>”,“<”);

(Ⅱ)从甲班 4 名及格同学中抽取两人,从乙班 2 名



257

7

368

8

24

9

68

10

80 分以下的同学中取一人,求三人平均分不及格的概率.

乙 89 678 1235 1
图3

(18)(本小题满分 12 分) 如图 4,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平
面 ABCD,?ABC ? 60? ,点 E、G 分别是 CD、PC 的中点,点 F 在 PD 上,且 PF:FD=2: 1
(Ⅰ)证明: EA ? PB ;
(Ⅱ)证明:BG 面 AFC.

(19)(本小题满分 12 分)

如图 5, ?ABC中, sin ?ABC ? 3 , AB ? 2,

2

3

点 D 在线段 AC 上,且 AD ? 2DC , BD ? 4 3 3
(Ⅰ)求 BC 的长; (Ⅱ)求 ?DBC 的面积.

A
B
图 54

D C

(20)(本小题满分 12 分)
设 a 为实数,函数 f (x) ? ex ? 2x ? 2a , x ? R . (Ⅰ)求 f (x) 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ?1且 x ? 0 时, ex ? x2 ? 2ax ?1.

(21)(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为

2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴 2

长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满

足 OA ? OB ? tOP (O 为坐标原点),当 PA ? PB < 2 5 时,求实数 t 取值范围. 3

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图 6,直线 AB 过圆心 O,交圆 O 于 A、B,直线 AF 交圆 O
于 F(不与 B 重合),直线 l 与圆 O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF
垂直,垂足为 G,连接 AC.
求证:(Ⅰ) ?BAC ? ?CAG; (Ⅱ) AC2 ? AE ? AF .
图6
(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

平面直角坐标系中,将曲线

? ? ?

x y

? ?

4 cos sin α

α



?

为参数)上的每一点纵坐标不变,横坐标变

为原来的一半,然后整个图象向右平移1个单位,最后横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍

得到曲线 C1 . 以坐标原点为极点,x 的非负半轴为极轴,建立的极坐标中的曲线 C2 的方程

为 ? ? 4sin? ,求 C1 和 C2 公共弦的长度.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
对于任意实数 a(a ? 0) 和 b ,不等式 | a ? b | ? | a ? 2b |?| a | (| x ?1| ? | x ? 2 |) 恒成 立,试求实数 x 的取值范围.

参考答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

(1)D (2)A (3)B (4)A (5)D

(7)A (8)B (9)C (10)B (11)D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

(13)1? ? 6

(14)[1,6]

(6)C (12)A

V V V (15)

OA OB · O?BCD

· + O?ACD

+O? ABD

V · OC +O?ABC

· OD = 0

(16) 4 3?

三、解答题:本大题共共 70 分.

(17)(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)>.

…………………3 分

(Ⅱ)抽取情况为:

92,94,78; 92,94,79; 92,106,78; 92,106,79;92,108,78;

92,108,79; 94,106,78; 94,106,79; 94,108,78;

94,108,79; 106,108,78; 106,108,79.

总共有 12 种.

…………………9 分

这 12 种平均分不及格是 92,94,78; 92,94,79;共 2 种. …………………11 分

所以三人平均分不及格的概率为 1 . …………………12 分 6

(18)(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)证明:因为面 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60? ,

所以 ?ACD为等边三角形,

又因为 E 是 CD 的中点,所以 EA ? AB .……2 分

又 PA ⊥平面 ABCD,所以 EA ? PA. ……3 分 所以 EA ? 面 PAB,所以 EA ? PB . ……5 分 (Ⅱ)取 PF 中点 M ,所以 PM ? MF ? FD.…………………………………………6 分
连接 MG , MG // CF ,所以 MG // 面 AFC.……………………………………8 分 连接 BM ,BD,设 AC ? BD ? O ,连接 OF , 所以 BM // OF ,所以 BM // 面 AFC. ················10 分 所以面 BGM // 面 AFC,所以 BG // 面 AFC.…………………………………12 分

(19)(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)因为 sin ?ABC ? 3 ,所以 cos ?ABC ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 . ····· 2 分

2

3

33

在 ?ABC中,设 BC ? a, AC ? 3b ,

则由余弦定理可得 9b2 ? a 2 ? 4 ? 4 a ① ··············· 5 分 3

4b2 ? 16 ? 4

在 ?ABD和 ?DBC 中,由余弦定理可得 cos ?ADB ?

3,

16 3 b

3

b2 ? 16 ? a2

cos ?BDC ?

3

.····················· 7 分

8 3b

3

因为 cos?ADB ? ?cos?BDC ,

4b2 ? 16 ? 4 b2 ? 16 ? a 2

所以有

3 ??

3

,所以 3 b2 ? a2 =-6 ②

16 3 b

8 3b

3

3

由①②可得 a ? 3,b ? 1,即 BC ? 3. ················· 9 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?ABC的面积为 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 2 2 ,

2

3

所以 ?DBC 的面积为 2 2 . ····················12 分 3

(注:也可以设

BA

?

? a , BC

?

? b

,所以

BD

?

1

? a

?

2

? b

,用向量法解决;或者以

B



33

原点, BC 为 x 轴建立平面直角坐标系,用坐标法解答;或者过 A 作 BC 平行线

交 BD延长线于 E ,用正余弦定理解答.具体过程略)

(20)(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)解:由 f (x) ? ex ? 2x ? 2a, x ? R 知 f ' (x) ? ex ? 2, x ? R 。 …………………2 分
令 f ' (x) ? 0 ,得 x ? ln 2 。于是,当 x 变化时, f ??x? 和 f ?x? 的变化情况如下表:

x f '(x)

(??,ln 2)

ln 2

?

0

(ln 2, ??)
+

f (x)

单调递减

2 ? 2ln 2 ? 2a

单调递增

……………………………4 分

故 f (x) 的单调递减区间是 (??, ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2, ??) 。 f (x) 在 x ? ln 2 处取

得极小值。极小值为 f (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a

…………………6 分

(Ⅱ)证明:设 g(x) ? ex ? x2 ? 2ax ?1, x ? R ,于是 g' (x) ? ex ? 2x ? 2a, x ? R 。

由(Ⅰ)知当 a ? ln 2 ?1时 g ' (x) 取最小值为 g' (ln 2) ? 2(1? ln 2 ? a) ? 0

于是对任意 x ? R ,都有 g ' (x) ? 0 ,所以 g (x) 在 R 内单调递增。

…………8 分

于是,当a ? ln2 ?1 时,对任意 x ?(0, ??) ,都有 g(x) ? g(0) ,而 g(0) ?0 …………10 分

从而对任意x ?(0, ??) ,都有g(x) ? 0 。即ex ? x 2 ? 2ax ? 1? 0, 故ex ? x2 ? 2ax ?1. …12 分

(21)(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)由题意知 e ? c ? a

2 2



所以 e2

?

c2 a2

?

a2 ? b2 a2

?

1. 2

即 a2 ? 2b2 . ···························· 2 分

又因为 b ? 2 ? 1,所以 a2 ? 2 , b2 ? 1. 1?1

故椭圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. ··················· 4 分 2

(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在.

设 AB : y ? k(x ? 2) , A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) , P(x, y) ,

? y ? k(x ? 2),



? ?

x

2

?? 2

?

y2

? 1.

得 (1? 2k 2 )x2

? 8k 2x ? 8k 2 ? 2 ? 0 .

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ?1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ? 1 . ·············· 6 分 2

x1 ?

x2

8k 2 ? 1? 2k 2

, x1

x2

?

8k 2 ? 2 . 1? 2k 2

∵ OA

? OB

?

tOP

,∴ (x1

?

x2 ,

y1

?

y2 )

? t(x, y) , x

?

x1 ? t

x2

?

8k 2 t(1? 2k 2 )



y

?

y1 ? t

y2

?

1[k t

(

x1

?

x2 ) ? 4k] ?

?4k t(1? 2k 2 )

.

∵点

P

在椭圆上,∴

t

2

(8k (1 ?

2 )2 2k 2

)2

?

2

t

2

(?4k )2 (1? 2k 2

)2

?2,

∴16k 2 ? t2 (1? 2k 2 ) . ························· 8 分

∵ PA ? PB < 2 5 ,∴ 3

1? k2

x1 ? x2

?

25 3

,∴ (1? k 2 )[(x1 ? x2 )2 ? 4x1

x2 ] ?

20 9



(1

?

k

2

)[

(1

64k 4 ? 2k 2

)2

?4

8k 2 ? 1? 2k

2
2

]

?

20 9



∴ (4k 2 ?1)(14k 2 ?13) ? 0 ,∴ k 2 ? 1 . ·················10 分 4

∴1 4

? k2

?

1 2

,∵16k 2

? t2 (1? 2k 2 ) ,∴ t 2

16k 2 ?
1? 2k 2

8 ?8?
1? 2k 2



∴ ?2 ? t ? ? 2 6 或 2 6 ? t ? 2 ,

3

3

∴实数 t 取值范围为 (?2,? 2 6 ) ? ( 2 6 ,2) . ··············12 分

3

3

(注意:可设直线方程为 my ? x ? 2 ,但需要讨论 m ? 0 或 m ? 0 两种情况)

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

证明:(Ⅰ)连结 BC ,? AB 是直径, ? ?ACB ? 90? ,? ?ACB ? ?AGC ? 90 .………2 分

? GC 切圆 O 于 C ,? ?GCA ? ?ABC . ………4 分

? ?BAC ? ?CAG .……………………………………5 分

(Ⅱ)连结 CF ,? EC 切圆 O 于 C ,

图6

? ?ACE ? ?AFC.……………………………………6 分

又 ?BAC ? ?CAG, ? ?ACF ∽ ?AEC.……………8 分

?

AC AE

?

AF ,? AC2 AC

?

AE? AF .

···················10 分

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

解:曲线

? ?

x y

? ?

4cos α sin α

(?

为参数)上的每一点纵坐标不变,

?

? x ? 2cosα 横坐标变为原来的一半得到 ?y ? sin α ,················ 1 分
?

然后整个图象向右平移1个单位得到

???xy

? ?

2 c osα sin α

?

1,

···········

2分

? x ? 2cosα ?1

最后横坐标不变,纵坐标变为原来的

2

倍得到

? ?

y

?

2

sin

α

, ······ 3 分

所以 C1 为 (x ? 1)2 ? y2 ? 4 , ······················ 4 分 又 C2 为 ? ? 4sin? ,即 x2 ? y2 ? 4 y , ················· 5 分 所以 C1 和 C2 公共弦所在直线为 2x ? 4 y ? 3 ? 0 , ············· 7 分

所以 (1,0) 到 2x ? 4y ? 3 ? 0 距离为 5 , 2

所以公共弦长为 2 4 ? 5 ? 11. ···················10 分 4

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

解:原式等价于 | a ? b | ? | a ? 2b | ?| x ?1| ? | x ? 2 |,设 b ? t ,

|a|

a

则原式变为| t ?1| ? | 2t ?1|?| x ?1| ? | x ? 2 | 对任意 t 恒成立. ······ 2 分

因为|

t

?

1|

?

|

2t

? 1 |?

? ? ????

t

3t,t ? 1 2
? 2,?1 ? t

?

? ?

? 3t,t ? ?1

1 ,最小值为 t ? 2

1 时取到,为 3 .

2

2

·

6分

??

所以有

3 2



x

?1

?

x

?

2

?

???21,x1<? 3x<,x 2? ??3 ? 2x,x ?

2 , 解得
1

x

?[3 4

,

9 ].·········10 4




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