浙江省台州中学2014届高三上学期第三次统练数学文试题Word版含解析_图文


台州中学 2013 学年第一学期第三次统练试题

高三 数学(文科)

参考公式:

球的表面积公式 S ? 4πR2

棱柱的体积公式 V ? Sh

球的体积公式V ? 4 πR3
3

其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高

其中 R 表示球的半径

棱台的体积公式

V

?

1 3 h(S1

?

S1S2 ? S2 )

棱锥的体积公式V ? 1 Sh 3

其中 S1 ,S2 分别表示棱台的上底、下底面积,

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高

h 表示棱台的高

如果事件 A ,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P(B)

选择题部分(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四项中,只有一项

是符合题目要求的。

1.复数 ( 2 ? i )2 = i
A.-3 -4i

B.-3+4i

C.3-4i

D.3+4i

2.设集合 M ? {x x ? sin n? , n ? Z},则满足条件 P { 3 , ? 3} ? M 的集合 P 的个数是

3

22

A. 1

B.3

C.4

D.8

3.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所

示,则该几何体的体积是

A.8

B. 20 3

C. 17 3

D. 14 3

4.等比数列{an}中,“公比 q>1”是“数列{an}单调递增”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.函数

f

(x)

?

e2x ?1 的图象 ex

A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称

B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

?x ? y ? 1,

6.设变量

x、y

满足

? ?

x

?

y

?

0,

则目标函数 z=2x+y 的最小值为

??2x ? y ? 2 ? 0,

A.6

B.4

C.2

D. 3 2

7.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数字,

把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲乙“心相近”.现

任意找两人玩这个游戏,则他们“心相近”的概率为

A. 1 9

B. 2 9

C. 7 18

D. 4 9

8.已知直线 m、l ,平面?、? ,且 m ? ? ,l ? ? ,给出下列命题:

①若? ∥ ? ,则 m⊥ l ;

②若? ⊥ ? ,则 m∥ l ;

③若 m⊥ l ,则? ∥ ? ;

④若 m∥ l ,则? ⊥ ? .其中正确命题的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

9.设函数 f (x) ? (x ? 3)3 ? x ?1 ,数列{an}是公差不为 0 的等差数列,

f (a1) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ?

A.0

B.7

C.14

D.21

10.已知双曲线

C

:

x a

2 2

?

y2 b2

? 1 的左、右焦点分别是 F1, F2 ,正三角形 AF1F2 的一边 AF1 与双

曲线左支交于点 B ,且 AF1 ? 4BF1 ,则双曲线 C 的离心率的值是

A. 3 ? 1 2

B. 13 ?1 3

C. 13 ? 1 3

D. 3 ?1 2

非选择题部分(共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。

11.经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程

是________.

12. 执行右面的框图,若输出结果为 1 ,则输入的实数 x 的值是______. 2

13.椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的焦点到直线 2x ? y ? 0 的距离为

.

4

14.下图是样本容量为 200 的频率分布直方图.

第 14 题图

根据样本的频率分布直方图估计,数据落在[2,10)内的概率约为________.

15.已知 2 ? 2 ? 2 2 , 3 ? 3 ? 3 3, 4 ? 4 ? 4 4 , …,若 6 ? a ? 6 a (a,t 均为

3 3 8 8 15 15

t

t

正实数),则类比以上等式,可推测 a,t 的值,a+t=

.

16.已知 P 是圆 C: (x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1上的一个动点,A( 3 ,1),则 OP OA 的最小值为

______. 17.给出下列五个命题中,其中所有正确命题的序号是_______.
①函数 f (x) ? x2 ? 3x ? 3 x2 ?5x?4 的最小值是 3

② 函 数 f (x) ?| x2 ? 4 |,若 f (m) ? f (n),且 0 ? m ? n , 则 动 点 P(m,n) 到 直 线

5x ?12y ? 39 ? 0的

最小距离是 3 ? 2 2 .













f (x) ? x sin x ?1, 当

x1,x2

?

????

? 2

,? 2

???,且

|

x1 |?|

x2

| 时,有f

( x1 )

?

f

(x2 ) ”是真命题.

④函数 f (x) ? 3 cos2 ax ? sin x cos x ? 3 sin2 ax ?1的最小正周期是 1 的充要条件是

2

2

a ?1.

⑤ 已 知 等 差 数 列 ?an? 的 前 n 项 和 为 Sn , OA、OB 为 不 共 线 的 向 量 , 又

OC ? a1OA ? a4026 OB,

若 CA ? ? AB ,则 S4026 ? 2013 .
三、解答题本大题共 5 小题.共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本小题满分 14 分) ?ABC 中内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ,已知 2a ? 3c , cos C ? 3 .
4

(1)求 sin B 的值;(2)若 D 为 AC 中点,且 ?ABD 的面积为 39 ,求 BD 的长度. 8

19.(本小题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 (n ? N *) ,数列{bn}

满足 b1 ? 1,且 bn?1 ? bn ? 2 .

(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式;

(Ⅱ)设 cn

? an ? sin2

n? 2

? bn ? cos2

n? 2

(n ? N *) ,求数列{cn}的前 2n 项和T2n .

20.(本小题满分 14 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,已知

?A ? 45 , ?C ? 90 , ?ADC ? 105 , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平

面 BDC,设点 F 为棱 AD 的中点. (1)求证:DC ? 平面 ABC;
(2)求直线 BF 与平面 ACD 所成角的余弦值.

A

A

F

D

BA

D

B

CA C

21.(本小题满分 15 分)已知函数 f (x) ? (x3 ? 6x2 ? 3x ? t)ex ,t ? R .若函数 y ? f (x) 依次

在 x ? a, x ? b, x ? c(a ? b ? c) 处取到极值.
(1)求 t 的取值范围; (2)若 a ? c ? 2b2 ,求 t 的值. 22.(本小题满分 15 分)如图,已知抛物线 y 2 ? 4x 的焦点为 F,过 F 的直线交抛物线于 M、N
两点,其准线 l 与 x 轴交于 K 点.
(1)求证:KF 平分∠MKN;
(2)O 为坐标原点,直线 MO、NO 分别交准线于点 P、Q,求 PQ ? MN 的最小值.

y

Q

M

K

F

x

O

P N

台州中学 2013 学年第一学期第三次统练试题 数学文科参考答案

1.【答案】A

【解析】解:因为 ( 2 ? i )2 ? 3 ? 4i ? ?3 ? 4i ,故选 A

i

?1

2.【答案】C

【解析】: M ? {0, 3 , ? 3} ,由 P { 3 , ? 3} ? M 得,0?P,这样的集合 P 共有 4 个,

22

22

故选 C 3.【答案】C

【解析】几何体是正方体截去一个三棱台, V ? 23 ? 1 ? (1 ? 2 ? 2? 1 ) ? 2 ? 17

32

2

3

4. 【答案】D 【解析】a1<0,q>1 时,{an}递减。a1<0,0<q<1 时,{an}递增 5. 【答案】D

【解析】

f (?x) ?

e?2x ?1 e?x

?

1? e2x ex

?

f

(x)

? f (x) 是偶函数,图像关

于 y 轴对称. 6.【答案】 C 【解析】由题意可得,在点 B 处取得最小值,所以 z=2,故选 C

7. 【答案】D 【解析】:试验包含的所有事件共有 6×6=36 种猜数的结果。 其中满足题设条件的有如下情形:
若 a=1,则 b=1,2;他们“心相近”的概率为 若 a=2,则 b=1,2,3; 若 a=3,则 b=2,3,4; 若 a=4,则 b=3,4,5; 若 a=5,则 b=4,5,6; 若 a=6,则 b=5,6 共 16 种。 故他们“心相近”的概率为 P=16/36=4/9,选 D 8. 【答案】B 【解析】①④对,②③错

9.【答案】D
【解析】 f (a1) ? f (a2 ) ?? ? f (a7 ) ? (a1 ? 3)3 ? a1 ?1? (a2 ? 3)3 ? a2 ?1??(a7 ? 3)3 ? a7 ?1 ? 14 ,即 (a1 ? 3)3 ? a1 ? 3 ? (a2 ? 3)3 ? a2 ? 3 ??(a7 ? 3)3 ? a7 ? 3 ? 0 ,根据等差数

列的性质得 (a4 ? 3 ? 3d )3 ? (a4 ? 3 ? 2d )3 ?? ? (a4 ? 3 ? 3d )3 ? 7(a4 ? 3) ? 0 ,即

(a4 ? 3 ? 3d )3 ? (a4 ? 3 ? 3d )3 ? (a4 ? 3 ? 2d )3 ? (a4 ? 3 ? 2d )3 ?? ? (a4 ? 3)3 ? 7(a4 ? 3) ? 0

?2(a4 ? 3)((a4 ? 3)2 ? 27d 2 ) ? 2(a4 ? 3)((a4 ? 3)2 ?12d 2 ) ? 2(a4 ? 3)((a4 ? 3)2 ? 3d 2 )

? (a4 ? 3)3 ? 7(a4 ? 3) ? 0 ,即 (a4 ? 3)(7(a4 ? 3)2 ? 84d 2 ? 7) ? 0 ,?a4 ? 3 ? 0, 即 a4 ? 3 ,

?a1 ? a2 ?? ? a7 ? 7a4 ? 21,故选 D.
10.【答案】B 11.【答案】2x+5y=0 或 x+2y+1=0 解析:分截距为 0 或不为 0 两种情况可求 2x+5y=0 或 x+2y+1=0.
12. 答案: 2
【解析】若执行 y ? x ?1,则 x ? 3 ? ???,1? ,所以不成立,
2
若执行 y ? log2 x ,则 x ? 2 ? ?1, ??? ,成立
13.【答案】1 14.【答案】0.4 解析 (0.02+0.08)×4=0.4. 15.【答案】41 【解析】照此规律:a=6,t=a2-1=35

16.【答案】2( 3 -1)
【解析】如图:作 PQ?OA 于 Q,CD?OA 于 D,根据向量数量积的几何意义得

OP OA min=|OA|?|OQ|min=|OA|?|OT|=2 (|OD|-1)=2( 3 -1)

17







































?? x 2

? ??

x

2

? ?

3x 5x

? ?

0 4

?

0







x ? ???,0? ?4,? ?? , 当 x ? ? ??,0? 时 , f (x) ? x2 ? 3x ? 3 x2?5x?4 是 减 函 数 ,

f (0)min ? 3,当 x ??4,? ?? 时 f (x) ? x2 ? 3x ? ? ? ? ?3 x2 ?5x?4 是增函数, f (4)min ? 9 ? 3,所以 x ? ??,0 4,? ? , f (x)min ? 3 .①正确.
在②中,由图像知, 0 ? m ? 2,2 ? n ? 2 2 ,? f (m) ?| m2 ? 4 |? 4 ? m2,f (n) ?| n2 ? 4 |

? n2 ? 4, f (m) ? f (n)?4 ? m2 ? n2 ? 4 ,即 m2 ? n2 ? 8 ,则动点 P(m,n) 的轨迹是以

O(0,0) 为圆心,半径 r ? 2 2 的圆(虚线),所以点 P(m,n) 到直线 5x ?12 y ? 39 ? 0 的最 小 距 离 是 d ? r ( d 是 点 P 到 直 线 的 距 离 ), d ? | 5? 0 ?12? 0 ? 39 | ? 3 ,
13 ?d ? r ? 3 ? 2 2 ,因为是点 P 的值取不到,所以 d ? r 也不能取到最小值.故②错.

在③中,函数

f

(x)

?

x sin

x

?1 是偶函数,且

x ? ???0,?2

? ??

时,

f

?( x)

?

sin

x

?

x cos

x

?

0

即 f (x) ? x sin x ?1 是增函数,当| x1 |?| x2 | 时, 有f (x1) ? f (x2 ) ,故③正确.

在④中,由 f (x) ? 3 cos2 ax ? sin x cos x ? 3 sin2 ax ?1整理得,

2

2

f (x) ? sin(2ax ? ? ) ?1,函数的周期T ? 2? ? 1,a ? ?1,故④错误.

3

| 2a |

在⑤中,由 CA ? ? AB 知, A、B、C 三点共线,且 OC ? a1OA ? a4026 OB,所以 a1 ? a4026

? 1,所以

S4026

?

(a1

?

a4026 ) ? 4026 2

?

2013 ,故⑤正确.

18.解:(1)由 cos C ? 3 ,得 sin C ? 13 ,由正弦定理得 sin A ? a sin C ? 39 ,

4

4

c

8

a ? c,? A ? C,? A? (0, ? ) ?cos A ? 5

2

8

?sin B ? sin( A ? C) ? 39 3 ? 5 13 ? 13 ……………………………7 分 8 4 84 4
(2) sin B ? sin C ,? B ? C,?b ? c 。

由 ?ABD 的面积为 39 ,? 1 ? b c sin A ? 1 c2 ? 39 ? 39 ,得 c ? 2 ,

4

22

48 8

BD2 ? 12 ? 22 ? 2?1? 2? 5 ? 5 ,? BD ? 10 .……………………………14 分

82

2

19.【解析】 (Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? 2 ;

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ,∴ an ? 2an?1 ,

∴{an}是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴ an ? 2n

由 bn?1 ? bn ? 2 ,得{bn}是等差数列,公差为 2

又首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ?1

(Ⅱ)

cn

?

? 2n ? ??(2n ?1)

n为奇数 n为偶数

Tn ? 2 ? 23 ? ? 22n?1 ? [3 ? 7 ? ? (4n ?1)]

? 22n?1 ? 2 ? 2n2 ? n 3

20.【解析】(1)证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45 ∴ ?ADB ? 45 即 AB ? BD 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD 平面 BDC=BD ∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥CD.

, ?ABD ? 90

又 ?DCB ? 90 ,∴DC⊥BC,且 AB BC ? B ∴DC ? 平面 ABC. …………………… 7 分 (2)解:作 BE⊥AC,垂足为 E。
由(1)知平面 ABC⊥平面 ACD,又平面 ABC ? 平面 ACD=AC,∴BF⊥平面 ADC, ∴ ?AFE 即为直线 BF 与平面 ACD 所成角

设 CD ? a 得 AB= BD ? 2a, BC ? 3a ,AC= 7a

∴ BE ? 2 3 a , BF ? 2a , FE ? 2 a

7

14

2a ∴ cos ?BFE ? 14 ? 7 ∴直线 BF 与
2a 7

平面 ACD 所成角的余弦值为 7 。……..14 分 7
21. 【解析】

(1)① f ?(x) ? (3x2 ?12x ? 3)ex ? (x3 ? 6x2 ? 3x ? t)ex ? (x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3)ex

f (x)有3个极值点,? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3 ? 0有3个根a,b, c.

令g(x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3, g '(x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3(x ?1)(x ? 3)

g ( x)在(-?,-1),(3,+?)上递增,(-1,3)上递减.

g(x)有3个零点????gg((3-)1?)>00??8 ? t ? 24. ② a,b, c是f (x)的三个极值点

? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3 ? (x-a)(x-b)(x-c)=x3 ? (a ? b ? c)x2 ? (ab ? bc ? ac)x ? abc

?a ? b ? c ? 3

?

??ab ??t ?

? 3

ac ? bc ? ?abc

?

?9

?b

?

1或

?

3 2

(舍

?a ?1? 2 3

? b ? (-1,3)) ??b ? 1

?t ? 8

??c ? 1? 2 3

22. 【解析】解:(1)抛物线焦点坐标为 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 …………….2 分

设直线

MN

的方程为

x

?

my

?

1。设

M、N

的坐标分别为

(

y12 4

,

y1 ),

(

y22 4

,

y2

)



? ? ?

x? y2

my ? 1 ?
? 4x

y2

?

4my

?

4

?

0

,

∴ y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4 ……..4 分

设 KM 和 KN 的斜率分别为 k1, k2 ,显然只需证 k1 ? k2 ? 0 即可. ∵ K (?1,0)

∴ k1 ? k2 ?

y1 ? y12 ? 1

y2 ? 4( y1 ? y2 )( y1 y2 ? 4) ? 0

y

2 2

?1

( y12 ? 4)( y12 ? 4)

……………………6 分

4

4

(2)设

M、N

的坐标分别为 ( y12 4

,

y1), (

y22 4

,

y2 ) ,由

M,O,P

三点共线可求出

P

点的坐标为

(?1,? 4 ) ,由 N,O,Q 三点共线可求出 Q 点坐标为 (?1,? 4 ) ,…………7 分

y1

y2

设直线

MN

的方程为

x

?

my

?

1

。由

? ? ?

x? y2

my ? 1 ?
? 4x

y2

?

4my

?

4

?

0



y1

?

y2

?

4m, y1y2

?

?4

则|

PQ

|?|

4 y1

?

4 y2

|?

4( y1 ? y2 ) | y1y2 |

?

( y1 ? y2 )2 ? 4 y1y2

? 16m2 ? 16 ? 4 m2 ? 1 ……………9 分

又直线 MN 的倾斜角为? ,则 m ? 1 ,? ? (0,? ) tan ?

∴ | PQ |? 4 1 ? 1 ? 4 ….10 分 tan 2 ? sin?

同理可得| MN

|??

4 sin2 ?

……..13



PQ

?

MN

?4 sin ?

?

4 sin 2

?

? 8(?

?? 2

时取到等号)

…………..15 分


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