高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.2 第1课时 椭圆的简单几何性质优化练习 新人教A版选修21


2.2.2 第 1 课时 椭圆的简单几何性质

[A 组 基础巩固] 1.椭圆 6x2+y2=6 的长轴端点坐标为( )

A.(-1,0),(1,0)

B.(-6,0),(6,0)

C.(- 6,0),( 6,0) 解析:方程化为 x2+y62=1,

D.(0,- 6),(0, 6)

∴a2=6,a= 6,长轴的端点坐标为(0,± 6).

答案:D

2.正数 m 是 2 和 8 的等比中项,则椭圆 x2+ym2=1 的离心率为(

)

A.

3 2

B. 5

C.

23或

5 2

解析:由题意得 m2=2×8=16,

∵m 是正数,∴m=4, ∴c2=4-1=3,∴c= 3,

D. 23或 5

∴e=

3 2 .故选

A.

答案:A 3.若 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)上的一点,且P→F1·P→F2=0,

tan∠PF1F2=12,则此椭圆的离心率为(

)

A.

5 3

B.

2 3

C.13

D.12

解析:在 Rt△PF1F2 中,设 PF2=1,则 PF1=2,F1F2= 5,故此椭圆的离心率

e=22ac= 35.

答案:A

4.椭圆 C1:2x52 +y92=1 和椭圆 C2:9-x2 k+25y-2 k=1(0<k<9)有(

)

A.等长的长轴

B.相等的焦距

C.相等的离心率

D.等长的短轴

解析:对椭圆 C1,c1= a21-b21=4,对椭圆 C2,∵0<k<9,∴25-k>9-k>0.

其焦点在 y 轴上,∴c2= 25-k- -k =4,故选 B 答案:B

1

5.若椭圆中心在原点,对称轴为坐标轴,长轴长为 2 3,离心率为 33,则该椭圆的方程为

()

x2 y2 A.12+ 8 =1

x2 y2

y2 x2

B.12+ 8 =1 或12+ 8 =1

x2 y2 C. 3 + 2 =1

x2 y2

y2 x2

D. 3 + 2 =1 或 3 + 2 =1

解析:由题意知 a= 3,

又∵e= 33,∴c=1,

∴b2=a2-c2=3-1=2,

x2 y2

y2 x2

所求椭圆方程为 3 + 2 =1 或 3 + 2 =1.故选 D.

答案:D 6.已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率为12,焦距为 8,则该椭圆的方程是

________.

解析:由题意知,2c=8,c=4,

∴e=ca=4a=12,

∴a=8,从而 b2=a2-c2=48,

y2 x2 ∴方程是64+48=1.

y2 x2 答案:64+48=1

x2 y2 7.已知椭圆a2+b2=1

有两个顶点在直线

x+2y=2

上,则此椭圆的焦点坐标是________.

解析:直线与 x 轴,y 轴的交点分别为 A(2,0),B(0,1),由题意 a=2,b=1,椭圆方程为x42

+y2=1,c2= a2-b2=3,故椭圆的焦点坐标为(± 3,0).

答案:(± 3,0) x2 y2
8.过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2

=60°,则该椭圆的离心率为________.

2

解析:如图所示,在 Rt△PF1F2 中,

|F1F2|=2c,

∴|PF1|=

2c3,|PF2|=

4c . 3

由椭圆定义知 2c + 4c =2a, 33

∴e=ca=

3 3.

3 答案: 3

9.设椭圆方程为 mx2+4y2=4m(m>0)的离心率为12,试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点

坐标及顶点坐标. x2 y2
解析:椭圆方程可化为 4 + m =1.

(1)当 0<m<4 时,a=2,b= m,c= 4-m,

∴e=ca= 42-m=12,

∴m=3,∴b= 3,c=1,

∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是 4,2 3,焦点坐标为 F1(-1,0),F2(1,0),顶点坐标为 A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,- 3),B2(0, 3). (2)当 m>4 时,a= m,b=2,

∴c= m-4,

∴e=ca= m-m 4=12,解得 m=136,

∴a=4 3 3,c=2 3 3,

83 ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 3 ,4,焦点坐标为

F1???0,-2 3 3???,F2???0,2 3 3???,顶

点坐标为 A1???0,-4 3 3???,A2???0,4 3 3???,B1(-2,0),B2(2,0).

x2 y2 10.已知椭圆k+8+ 9 =1

的离心率

e=

3 2 ,求

k

的值.

解析:(1)当椭圆的焦点在 x 轴上时,

a2=k+8,b2=9,得 c2=k-1.

3

由 e= 23,可得kk- +18=34,即 k=28.

(2)当椭圆的焦点在 y 轴上时, a2=9,b2=k+8,得 c2=1-k.



e=

3 1-k 3 2 ,得 9 =4,即

k=-243.

故满足条件的 k 值为 k=28 或-243.

[B 组 能力提升] 1.我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆, 设其近地点 A 距地面为 n 千米,远地点 B 距地面为 m 千米,地球半径为 R 千米,则飞船运行

轨道的短轴长为( )

A.2 m+R n+R 千米

B. m+R

C.mn 千米

D.2mn 千米

解析:设运行轨道的长半轴长为 a,焦距为 2c,

n+R 千米

由题意,可得?????aa- +cc= =nm+ +RR, , 解得 a=m+2 n+R,c=m-2 n,

故 b= a2-c2= ???m+2 n+R???2-???m-2 n???2 = R2+ m+n R+mn= m+R n+R .

即 2b=2 m+R n+R . 答案:A
x2 y2 2.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1, F2, 过 F2 的直线与圆 x2+y2=b2 相切于点 A,并与椭圆 C 交于不 同的两点 P,Q,如图,若 A,F2 为线段 PQ 的三等分点,则 椭圆的离心率为( )

2 A. 3

3 B. 3

5 C. 3

7 D. 3

解析:连接 PF1,由题意知 OA=b, ∴|PF1|=2b, ∴|PF2|=2a-2b, ∴|AF2|=a-b.

4

在 Rt△OAF2 中有 b2+(a-b)2=c2, 将 b2=a2-c2 代入整理得

3a2-3c2-2a a2-c2=0,

即 3-3e2=2 1-e2, 即 9e4-14e2+5=0, 解得 e2=59或 e2=1(舍去),

∴e= 35.故选 C.

答案:C 3.已知椭圆的长轴长为 20,离心率为35,则该椭圆的标准方程为________.

解析:由条件知,2a=20,ca=35,

∴a=10,c=6,b=8,

x2 y2

y2 x2

故标准方程为100+64=1 或100+64=1.

x2 y2

y2 x2

答案:100+64=1 或100+64=1

4.(2015·高考浙江卷)椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y=bcx 的对称点 Q

在椭圆上,则椭圆的离心率是________.

解析:设椭圆的另一个焦点为 F1(-c,0),如图,连接 QF1,QF,设 QF 与直线 y=bcx 交于点 M. 由题意知 M 为线段 QF 的中点,且 OM⊥FQ. 又 O 为线段 F1F 的中点, ∴F1Q∥OM, ∴F1Q⊥QF,|F1Q|=2|OM|. 在 Rt△MOF 中,tan∠MOF=||MOFM||=bc,|OF|=c, 可解得|OM|=ca2,|MF|=bac, 故|QF|=2|MF|=2abc,|QF1|=2|OM|=2ac2.
5

由椭圆的定义得|QF|+|QF1|=2abc+2ac2=2a,

整理得 b=c,∴a= b2+c2= 2c,

故 e=ca= 22.

答案:

2 2

5.已知

F1,F2

x2 y2 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点

P

在椭圆上,且∠F1PF2=π2

.记线

段 PF1 与 y 轴的交点为 Q,O 为坐标原点,若△F1OQ 与四边形 OF2PQ 的面积之比为 1∶2,求

该椭圆的离心率.

解析:依题知,F1P⊥F2P,所以△F1QO∽△F1F2P,因为△F1OQ 与四边形 OF2PQ 的面积之比为 1∶

2,所以SSFF11FO2QP=13,所以OFF1P1=

1 ,设椭圆的焦距为 3

2c,

则 F1P=

3c,F2P=

F1F22-F1P2=c,由椭圆的定义可得:

3c+c=2a,所以,e=ca=

2 3+1

= 3-1. 6.如图,椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的上顶点为 A,左顶点为 B,F 为右焦 点,过 F 作平行于 AB 的直线交椭圆于 C、D 两点.作平行四边形 OCED, E 恰在椭圆上. (1)求椭圆的离心率;

(2)若平行四边形 OCED 的面积为 6,求椭圆的方程.

解析:(1)∵焦点为

F(c,0),AB

b 斜率为a,

故 CD 方程为 y=ba(x-c).

与椭圆联立后消去 y 得 2x2-2cx-b2=0.

∵CD 的中点为 G???c2,-b2ca???,点 E 的坐标为???c,-bac???,

将 E???c,-bac???代入椭圆方程并整理得 2c2=a2,

∴e=ca= 22.

(2)由(1)知 CD 的方程为 y= 22(x-c),b=c,a= 2c. 与椭圆联立消去 y 得 2x2-2cx-c2=0.

6

∵平行四边形 OCED 的面积为

S=c|yC-yD|= 22c

xC+xD 2-4xCxD

= 22c c2+2c2

= 26c2= 6,

∴c= 2,a=2,b= 2. x2 y2
故椭圆方程为 4 + 2 =1.

7


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