安徽省合肥一六八中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理宏志班201811230250


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合肥一六八中学 2018—2019 学年第一学期期中考试

高二数学试题(宏志班)

一、选择题(共 60 题,每题 5 分。每题仅有一个正确选项。) 1.已知 a、b 是两条平行直线,且 a∥平面 β ,则 b 与 β 的位置关系是( )

A.平行

B.相交

C.b 在平面 β 内

D.平行或 b 在平面 β 内

2.在下列命题中,不是公理的是( )

A.平行于同一条直线的两条直线互相平行

B.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内

C.空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两角相等或互补

D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

3.如果 ac>0,bc>0,那么直线 ax+by+c=0 不通过( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

4.直线(a2+1)x﹣y+1=0(其中 a∈R)的倾斜角的取值范围是( )

A.[0, ]

B.[ , ) C.( , ] D.[ ,π )

5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.12π

B.24π

C.

D.72π

6.半径为 5 的球内有一个高为 8 的内接正四棱锥,则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为 ()

A.

B.

C.

D.

-1-

7.三棱柱 ABC﹣A'B'C′的所有棱长都等于 2,并且 AA'⊥平面 ABC,M 是侧棱 BB′的中点, 则直线 MC′与 A′B 所成的角的余弦值是( )

A.

B.

C.

D.

8.直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),

斜率的取值范围是( )

A.

B.

为端点的线段总有公共点,则直线 l

C.

D.[1,+∞)

9.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是四边形 BCC1B1 内的动点,且 A1F∥平面 D1AE,下列说法正确的个数是( )
①点 F 的轨迹是一条线段 ②A1F 与 D1E 不可能平行 ③A1F 与 BE 是异面直线 ④当 F 与 C1 不重合时,平面 A1FC1 不可能与平面 AED1 平行

A.1

B.2

C.3

D.4

10.在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cosθ ,sinθ )到直线 x﹣my﹣2=0 的距离.当 θ 、

m 变化时,d 的最大值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

11.生于瑞士的数学巨星欧拉在 1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:

“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离

之半.”这就是著名的欧拉线定理.设△ABC 中,设 O、H、G 分别是外心、垂心和重心,

下列四个选项错误的是( )

A.HG=2OG

B. + + =

-2-

C.设 BC 边中点为 D,则有 AH=3OD

D.S△ABG=S△BCG=S△ACG

12.如图 1,直线 EF 将矩形纸 ABCD 分为两个直角梯形 ABFE 和 CDEF,将梯形 CDEF 沿边 EF 翻 折,如图 2,在翻折的过程中(平面 ABFE 和平面 CDEF 不重合)下面说法正确的是( )

A.存在某一位置,使得 CD∥平面 ABFE

B.存在某一位置,使得 DE⊥平面 ABFE

C.在翻折的过程中,BF∥平面 ADE 恒成立

D.在翻折的过程中,BF⊥平面 CDEF 恒成立 二、填空题(共 20 分,每题 5 分)
13、已知直线 l1 : ax? 2 y? 6 ? 0与 l2 : x ? ?a ?1? y ? a2 ?1 ? 0 平行,则实数 a 的取值 是
________ 14.球的半径为 5cm,被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为 6cm 和 8cm,则这两个平

面之间的距离是

cm.

15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天 池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积 水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注:① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面 积;② 一尺等于十寸)

16.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为棱 AB 上一点,且 AE=1,BE=3,以 E 为球心,线段 EC 的
长为半径的球与棱 A1D1,DD1 分別交于 F,G 两点,则△AFG 的面积为________
三、解答题(共 70 分,每题必需要有必要的解答过程)
17.(10 分) 设直线 l 的方程为( a +1)x+y+2- a =0 ( a ∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求直线 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

-3-

18.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,?OBC 的边 BC 所在的直线方程是 l : x ? y ? 3 ? 0 , (1)如果一束光线从原点 O 射出,经直线 l 反射后,经过点 (3, 3) ,求反射后光线所在直线的
方程;
(2)如果在 ?OBC 中, ?BOC 为直角,求 ?OBC 面积的最小值.
19.(12 分)如图是一个以 A1B1C1 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为 ABC, 已知 A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2,求:
(Ⅰ)该几何体的体积; (Ⅱ)截面 ABC 的面积. 20(12 分).如图,已知正三棱锥 P﹣ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内 的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (Ⅰ)证明:G 是 AB 的中点; (Ⅱ)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F,并求四面体 PDEF 的体积.
21.(12 分)如图,四面体 ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD=∠CBD, AB=BD.
-4-

(1)证明:平面 ACD⊥平面 ABC; (2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值.

22.(12 分)如图,在三棱锥

中, 是正三角形, 为其中心.面



, 是 的中点,

.

面,
-5-

(1)证明: 面 ; (2)求 与面 所成角的正弦值.
-6-

合肥一六八中学 2018—2019 学年第一学期期中考试

高二数学试题(宏志班)参考答案

一.选择题

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

答案 D

C

A

B

C

B

A

B

C

C

C

C

二、填空题 13. -1 14. 1 或 7 15. 3 16. 4 三、解答题 17.(1)3x+y=0 或 x+y+2=0;(2)a≤-1.

18(1)设点 O

关于直线 l

的对称点为

A(x0 ,

y0 )

?

,由题意应有

?? ? ?

x0

?? 2

y0 ? ?1 x0 ? y0 ? 3 ?
2

0

,解得

? ? ?

x0 y0

?3 ? ?3



所以点 A(3, ? 3) .因为反射后光线经过点 A(3, ? 3) 和点 (3, 3) ,所以反射后光线所在直线的

方程为 x ? 3.

(2)设 OD 为 ?OBC 的一条高,则| OD |? 3 ,设 ?BOD ? ? (0 ? ? ? ? ) ,可得

2

2

| BC |?| BD | ? | DC |?| OD | ? tan θ ? | OD | ,所以 ?OBC 的面积 S ? 1 | BC | ? | OD |

tan θ

2

? 1 (| OD | ? tan θ ? | OD |)? | OD | ? 1 ? 2 | OD | ? tan θ ? | OD |? | OD |?| OD |2 ? 9 , 当 且 仅

2

tan θ

2

tan θ

2

当? ? ? 时,等号成立. 4
所以, ?OBC 面积的最小值是 9 . 2
19.(Ⅰ)过 C 作平行于 A1B1C1 的截面 A2B2C,交 AA1,BB1 分别于点 A2,B2.
由直三棱柱性质及∠A1B1C1=90°可知 B2C⊥平面 ABB2A2,

则该几何体的体积 V=

= ×2×2×2+ × ×(1+2)×2×2=6,

(Ⅱ)在△ABC 中,AB=

=,

BC=

=,

-7-

AC=

=2 .

则 S△ABC= ×2 ×



20.(Ⅰ)证明:∵P﹣ABC 为正三棱锥,且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影,

∴PD⊥平面 ABC,则 PD⊥AB,

又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影,

∴DE⊥面 PAB,则 DE⊥AB,

∵PD∩DE=D,

∴AB⊥平面 PDE,连接 PE 并延长交 AB 于点 G,

则 AB⊥PG,

又 PA=PB,

∴G 是 AB 的中点;

(Ⅱ)在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F,F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影.

∵正三棱锥 P﹣ABC 的侧面是直角三角形,

∴PB⊥PA,PB⊥PC,

又 EF∥PB,所以 EF⊥PA,EF⊥PC,因此 EF⊥平面 PAC,

即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影.

连结 CG,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 D 是正三角形 ABC 的中心.

由(Ⅰ)知,G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD= CG.

由题设可得 PC⊥平面 PAB,DE⊥平面 PAB,所以 DE∥PC,因此 PE= PG,DE= PC.
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得 DE=2,PG=3 ,PE=2 . 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF=PF=2. 所以四面体 PDEF 的体积 V= ×DE×S△PEF= ×2× ×2×2= .
21.(1)证明:如图所示,取 AC 的中点 O,连接 BO,OD. ∵△ABC 是等边三角形,∴OB⊥AC. △ABD 与△CBD 中,AB=BD=BC,∠ABD=∠CBD, ∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD. ∵△ACD 是直角三角形, ∴AC 是斜边,∴∠ADC=90°.

-8-

∴DO= AC. ∴DO2+BO2=AB2=BD2. ∴∠BOD=90°. ∴OB⊥OD. 又 DO∩AC=O,∴OB⊥平面 ACD. 又 OB? 平面 ABC, ∴平面 ACD⊥平面 ABC.
(2)解:设点 D,B 到平面 ACE 的距离分别为 hD,hE.则 = .
∵平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,



= = =1.

∴点 E 是 BD 的中点. 建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取 AB=2.

则 O(0,0,0),A(1,0,0),C(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(0, ,0),E



=(﹣1,0,1), =

, =(﹣2,0,0).

设平面 ADE 的法向量为 =(x,y,z),则

,即

,取 =



同理可得:平面 ACE 的法向量为 =(0,1, ).

∴cos

=

=

=﹣ .

∴二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值为 .

-9-

22.(1)连结 ,因为 是正三角形 的中心,所以 在 上且

,又



所以在 中有



所以

,又 平面 , 平面 ,

所以 平面 .

(2)解法一:作

交 的延长线于 ,作

交 的延长线于 ,

由面

面 知 面 ,所以

,又

,所以

所以 面 ,所以面

面 ,作

,则 面

连结 ,则 为 与面 所成角,



,即所求角的正弦值为 .

解法二:以 中点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.























.

设面 的法向量为

,则

- 10 -







,即所求角的正弦值为 .

- 11 -


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